Lineaire algebra/Lineaire combinatie

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

Zoals we gezien hebben zijn de scalaire veelvouden van vectoren en ook de som van vectoren weer vectoren uit dezelfde ruimte. We kunnen dus combinaties maken van de som van veelvouden van vectoren.

Definitie 2.1[bewerken]

Een geordend eindig aantal vectoren of een geïndiceerd willekeurig aantal noemen we een stelsel vectoren.

Definitie 2.2.a[bewerken]

Onder een lineaire combinatie van een eindig stelsel van m vectoren verstaan we een som van scalaire veelvouden van deze vectoren, dus een vector van de vorm:

Definitie 2.2.b[bewerken]

Onder een lineaire combinatie van een willekeurig stelsel vectoren verstaan we een lineaire combinatie van een eindig aantal van deze vectoren.

Voorbeelden[bewerken]

In de driedimensionele euclidische ruimte is de vector (2,5,6) een lineaire combinatie van de vectoren (1,1,0) en (0,1,2), want:

De complexe getallen zijn lineaire combinaties van de complexe getallen 1 en i; immers een complex getal is van de vorm:

.


De scalaire veelvouden van een vector x vormen a.h.w. een deelverzameling van V, een soort lijn, die geheel door x bepaald wordt. Voegen we nog een vector y die geen veelvoud van x is toe dan vormen de lineaire combinaties van x en y een soort vlak door de lijnen die door x en door y bepaald woren. De "lijnen" en het vlak" zijn zelf ook lineaire ruimte over K

Definitie 2.3[bewerken]

We zeggen dat de deelverzameling van V die bestaat uit de lineaire combinaties van het stelsel vectoren door dit stelsel wordt voortgebracht of opgespannen.

Een eindig stelsel van m vectoren brengt dus de deelverzameling

voort.

Voor een willekeurig stelsel geldt dat bij elke vector x in de voortgebrachte deelverzameling een eindig aantal vectoren gevonden kan worden waarvan x een lineaire combinatie is, dus:

Uit het vorige volgt dat de deelverzameling van V een lineaire deelruimte is van V.

Voorbeelden[bewerken]

In de driedimensionele euclidische ruimte brengen de vectoren (1,1,0) en (0,1,2) een vlak voort van alle lineaire combinaties van deze twee vectoren.

De complexe getallen worden voortgebracht door de complexe getallen 1 en i.

Stelling 2.1[bewerken]

De door een stelsel vectoren voortgebrachte deelverzameling van V is een lineaire deelruimte.

Eigenschappen van een voortbrengend deel[bewerken]

Als een deelruimte D van vectorruimte V voortgebracht wordt door een een stelsel vectoren S uit V, dan blijft D onveranderd als men

  • aan S een vector uit D toevoegt.
  • uit S een vector schrapt welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit S.
  • een vector uit S met een van nul verschillende scalair vermenigvuldigt.
  • bij een vector uit S een andere vector uit S optelt.


Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.