Lineaire algebra/Lineaire combinatie

Zoals we gezien hebben zijn de scalaire veelvouden van vectoren en ook de som van vectoren weer vectoren uit dezelfde ruimte. We kunnen dus combinaties maken van de som van veelvouden van vectoren.

Definitie 2.1

Een geordend eindig aantal vectoren $x_{1},\ldots ,x_{m}$ of een geïndiceerd willekeurig aantal $(x_{i},i\in I)$ noemen we een stelsel vectoren.

Definitie 2.2.a

Onder een lineaire combinatie van een eindig stelsel van m vectoren $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ verstaan we een som van scalaire veelvouden van deze vectoren, dus een vector van de vorm:

$\alpha _{1}x_{1}+\ldots +\alpha _{m}x_{m}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}x_{i}$

Definitie 2.2.b

Onder een lineaire combinatie van een willekeurig stelsel vectoren verstaan we een lineaire combinatie van een eindig aantal van deze vectoren.

Voorbeelden

In de driedimensionele euclidische ruimte is de vector (2,5,6) een lineaire combinatie van de vectoren (1,1,0) en (0,1,2), want:

$(2,5,6)=(2,2,0)+(0,3,6)=2(1,1,0)+3(0,1,2)$

De complexe getallen zijn lineaire combinaties van de complexe getallen 1 en $i$; immers een complex getal is van de vorm:

$a+bi=a\cdot 1+b\cdot i$

De scalaire veelvouden van een vector $x$ vormen a.h.w. een deelverzameling van $V$, een soort lijn, die geheel door $x$ bepaald wordt. Voegen we nog een vector $y$ die geen veelvoud van $x$ is toe dan vormen de lineaire combinaties van $x$ en $y$ een soort vlak door de lijnen die door $x$ en door $y$ bepaald woren. De "lijnen" en het vlak" zijn zelf ook lineaire ruimte over $K$

Definitie 2.3

We zeggen dat de deelverzameling $D(x_{i},i\in I)$ van $V$ die bestaat uit de lineaire combinaties van het stelsel vectoren $(x_{i},i\in I)$ door dit stelsel wordt voortgebracht of opgespannen.

Een eindig stelsel van $m$' vectoren $x_{1},\ldots ,x_{m}$ brengt dus de deelverzameling

$D(x_{1},\ldots ,x_{m})=\{\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}x_{i}|\alpha _{i}\in K\}$

voort.

Voor een willekeurig stelsel $(x_{i},i\in I)$ geldt dat bij elke vector $x$ in de voortgebrachte deelverzameling een eindig aantal vectoren $x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}}$ gevonden kan worden waarvan $x$ een lineaire combinatie is, dus:

$x\in D(x_{i},i\in I)\Leftrightarrow \exists {m};{\alpha _{1}\ldots ,\alpha _{m}\in K};{i_{1}\ldots ,i_{m}\in I}:x=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}x_{i_{k}}$

Uit het vorige volgt dat de deelverzameling $D(x_{i},i\in I)$ van $V$ een lineaire deelruimte is van $V$.

Voorbeelden

In de driedimensionele euclidische ruimte brengen de vectoren (1,1,0) en (0,1,2) een vlak voort van alle lineaire combinaties van deze twee vectoren.

De complexe getallen worden voortgebracht door de complexe getallen 1 en $i$.

Stelling 2.1

De door een stelsel vectoren voortgebrachte deelverzameling $D(x_{i},i\in I)$ van $V$ is een lineaire deelruimte.

Eigenschappen van een voortbrengend deel

Als een deelruimte $D$ van vectorruimte $V$ voortgebracht wordt door een een stelsel vectoren $S$ uit $V$, dan blijft $D$ onveranderd als men

• aan $S$ een vector uit $D$ toevoegt.
• uit $S$ een vector schrapt welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit $S$.
• een vector uit $S$ met een van nul verschillende scalair vermenigvuldigt.
• bij een vector uit $S$ een andere vector uit $S$ optelt.