Bij een symmetrische bilineare vorm
op de vectorruimte
kan een afbeelding
gedefinieerd worden door:

Daarvoor geldt dan:

Dit lijkt veel op de uitwerking van een kwadraat, en
heet dan ook een kwadratische vorm.
Zij
een lineaire ruimte over een lichaam
. Een kwadratische vorm op
is een afbeelding
van
naar
waarvoor een symmetrische bilineaire vorm
op
bestaat, zodanig dat:

Zoals we boven zagen geldt voor de bilineaire vorm
die bij
bestaat:

Als de karakteristiek van
verschilt van 2, is deze bilineaire vorm uniek.
Zij
een lineaire ruimte over een lichaam
waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en
een kwadratische vorm op
. De bilineaire vorm

heet de met
geassocieerde bilineaire vorm.
Zij
een lineaire ruimte over een lichaam
waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en
een kwadratische vorm op
. De met
geassocieerde bilineaire vorm
is eenduidig bepaald.
Een kwadratische vorm
is een homogene afbeelding van de tweede graad, want:

Laat
een geordende basis van de vectorruimte
zijn. Dan is
,
waarin
de matrix van
is t.o.v. de basis
.
Omdat
symmetrisch is, is ook de matrix
symmetrisch. Omgekeerd hoort bij iedere symmetrische matrix een symmetrische bilineaire vorm en bijgevolg een kwadratische vorm.
Door overgang op een basis waarvoor de matrix van de met
geassocieerde bilineaire vorm
diagonaal is, kan
als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten geschreven worden. Voor de vector
met coordinaten
t.o.v. deze basis geldt:

Stel dat het lichaam van scalairen
is, dan kunnen we van alle
de wortel nemen en kunnen we schrijven:

met
.
Als de scalairen reële getallen zijn, dus
, doen we iets soortgelijks. We schrijven:

met


Aangezien we maar
termen opnemen en niet alle
termen kunnen we veronderstellen dat
is. We kunnen daarenboven nog een afspraak maken dat de eerste
coëfficiënten positief zijn en de laatste
negatief:
voor 
voor 
Dan bestaat er een basis zodat
met


Hieruit volgt de stelling van Sylvester:
Het aantal termen
en de signatuur
van een kwadratische vorm is uniek bepaald, onafhankelijk van de gekozen basis.
- Bewijs
We bewijzen de stelling van Sylvester uit het ongerijmde.
Stel dat
en ook
met
. We kunnen veronderstellen dat
. Neem nu

In die verzameling hebben we
voorwaarden. Er zijn dus zeker oplossingen buiten de nul oplossing. Neem nu
, dan is
(t.o.v. de eerste basis) en
(t.o.v. de tweede basis). Dus is
en is
dus is
wat een contradictie is. De enige mogelijkheid is dus dat
.
Hieruit volgt dat een symmetrisch bilineair product positief is als
of anders gezegd als de signatuur gelijk is aan
en het is definiet als daarenboven
. Een positief definiet symmetrisch bilineair product wordt ook een inproduct genoemd.