Lineaire algebra/Kwadratische vorm

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Bij een symmetrische bilineare vorm op de vectorruimte kan een afbeelding gedefinieerd worden door:

Daarvoor geldt dan:

Dit lijkt veel op de uitwerking van een kwadraat, en heet dan ook een kwadratische vorm.

Definitie 22.1[bewerken]

Zij een lineaire ruimte over een lichaam . Een kwadratische vorm op is een afbeelding van naar waarvoor een symmetrische bilineaire vorm op bestaat, zodanig dat:


Zoals we boven zagen geldt voor de bilineaire vorm die bij bestaat:

Als de karakteristiek van verschilt van 2, is deze bilineaire vorm uniek.

Definitie 22.2[bewerken]

Zij een lineaire ruimte over een lichaam waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en een kwadratische vorm op . De bilineaire vorm

heet de met geassocieerde bilineaire vorm.

Stelling 22.1[bewerken]

Zij een lineaire ruimte over een lichaam waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en een kwadratische vorm op . De met geassocieerde bilineaire vorm is eenduidig bepaald.

Stelling 22.2[bewerken]

Een kwadratische vorm is een homogene afbeelding van de tweede graad, want:


Laat een geordende basis van de vectorruimte zijn. Dan is

,

waarin de matrix van is t.o.v. de basis .

Omdat symmetrisch is, is ook de matrix symmetrisch. Omgekeerd hoort bij iedere symmetrische matrix een symmetrische bilineaire vorm en bijgevolg een kwadratische vorm.

Stelling van Sylvester[bewerken]

Door overgang op een basis waarvoor de matrix van de met geassocieerde bilineaire vorm diagonaal is, kan als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten geschreven worden. Voor de vector met coordinaten t.o.v. deze basis geldt:

Stel dat het lichaam van scalairen is, dan kunnen we van alle de wortel nemen en kunnen we schrijven:

met .

Als de scalairen reële getallen zijn, dus , doen we iets soortgelijks. We schrijven:

met

Aangezien we maar termen opnemen en niet alle termen kunnen we veronderstellen dat is. We kunnen daarenboven nog een afspraak maken dat de eerste coëfficiënten positief zijn en de laatste negatief:

voor
voor

Dan bestaat er een basis zodat met

Hieruit volgt de stelling van Sylvester:

Het aantal termen en de signatuur van een kwadratische vorm is uniek bepaald, onafhankelijk van de gekozen basis.

Bewijs

We bewijzen de stelling van Sylvester uit het ongerijmde.

Stel dat en ook met . We kunnen veronderstellen dat . Neem nu

In die verzameling hebben we voorwaarden. Er zijn dus zeker oplossingen buiten de nul oplossing. Neem nu , dan is (t.o.v. de eerste basis) en (t.o.v. de tweede basis). Dus is en is dus is wat een contradictie is. De enige mogelijkheid is dus dat .

Hieruit volgt dat een symmetrisch bilineair product positief is als of anders gezegd als de signatuur gelijk is aan en het is definiet als daarenboven . Een positief definiet symmetrisch bilineair product wordt ook een inproduct genoemd.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.