Lineaire algebra/Dimensie

De verzameling vectoren van een basis is niet eenduidig bepaald. Als een basis de verschillende vectoren $x$ en $y$ bevat en we vervangen $x$ door $x+y$, is het nieuwe stelsel ook een basis en verschillend van de oorspronkelijke basis.

Wel kan, weer steunend op een fundamentele veronderstelling over de wiskunde, aangetoond worden dat twee verschillende bases "evenveel" elementen hebben. Voor eindige bases is zo'n fundamentele veronderstelling niet nodig. Wij zullen laten zien dat voor lineaire ruimten met eindige bases het aantal elementen in iedere basis hetzelfde is.

Stelling 6.1

Een basis $B$ kan niet een echt deel zijn van een andere basis $B'$.

Bewijs:

Stel $x\in B'\setminus B$. $B$ is een basis, dus $x$ is een lineaire combinatie van elementen van $B$. Maar omdat $B'$ ook een basis is, kan dit alleen als $x=0$ en de 0 maakt nooit deel uit van een basis. We hebben een tegenspraak, dus $B'\setminus B=\varnothing$, oftewel $B'=B$.

Stelling 6.2

Het aantal elementen in een eindig volledig stelsel is minstens gelijk aan het aantal elementen in een eindig onafhankelijk stelsel.

Bewijs:

Laat $A=(v_{1},\ldots ,v_{m})$ een volledig stelsel zijn en $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ een onafhankelijk stelsel. Stel $m<n$. Omdat $A$ volledig is kunnen we elke $b\in B$ schrijven als een lineaire combinatie van vectoren $v$ uit $A$. Laat $v_{k}$ de eerste vector in de lineaire combinatie $b_{1}$ zijn die een coëfficiënt ongelijk 0 heeft. Vervang in $A$ $v_{k}$ door $b_{1}$. Het nieuwe stelsel blijft volledig. We herhalen nu het voorgaande door de eerste $v$ in $b_{2}$ met coëfficiënt ongelijk 0 te vervangen door $b_{2}$. Omdat de $b$'s onafhankelijk zijn, komt de nieuwe $v_{1}=b_{1}$ niet in de combinatie voor. Zo kunnen we alle $v$'s vervangen. Het nieuwe volledige stelsel bestaat uit de vectoren $b_{1},\ldots ,b_{m}$. en bevat niet $b_{n}$. Die kan dus geschreven worden als lineaire combinatie van $b_{1},\ldots ,b_{m}$, wat in tegenspraak is met de onafhankelijkheid van $B$. Conclusie: $n\leq m$.

Een direct gevolg van deze stelling is:

Stelling 6.3

Twee eindige bases van dezelfde vectorruimte bevatten evenveel elementen.

Zou een vectorruimte een eindige basis kunnen hebben en ook een niet-eindige?

Stelling 6.4

Als een vectorruimte $V$ een eindige basis $E$ bezit, is iedere basis eindig.

Bewijs:

Noem $n$ het aantal elementen van $E$. Stel $B$ is een niet-eindige basis van $V$. Laat $b_{1}$ een element van $B$ zijn en vervang dit, net als in de vorige stelling, door een element $e_{k_{1}}$ van $E$. Neem $b_{2}\in B-\{e_{k_{1}}\}$ en vervang deze door $e_{k_{2}}$, etc. Na $n$ stappen is $E$ echt deel van $B'$, wat niet kan.

Uit het voorgaande zien we dat als een vectorruimte een eindige basis bezit, alle bases eindig zijn en alle evenveel elementen hebben. Dat aantal elementen is dus een karakteristiek getal voor de vectorruimte. We noemen het de dimensie van de vectorruimte. Voor het gemak zeggen we dat de dimensie van een vectorruimte met een niet-eindige basis oneindig is.

Definitie 6.1

Het aantal elementen in een eindige basis van een vectorruimt $V$ noemen we de dimensie van $V$, genoteerd als $\dim(V)$. Als een vectorruimte geen eindige basis heeft, zeggen we dat de dimensie oneindig is.

Voorbeelden

In de lineaire ruimte $\mathbb {R} ^{n}$ vormen de zgn. eenheidsvectoren $\,(e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0))$, dus met een 1 op de $i$-de positie en overigens 0-en, een basis. De dimensie van $\mathbb {R} ^{n}$ is dus $n$.

De complexe getallen vormen een tweedimensionale vectorruimte over de reële getallen. De complexe getallen 1 en $i$ vormen zoals bekend een basis.

De lineaire ruimte van polynomen met reële coëfficiënten heeft een basis met (aftelbaar) oneindig veel elementen en is dus oneindigdimensionaal.