Lineaire algebra/Covariant en contravariant

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

Zowel de elementen uit de -dimensionale vectorruimte als de eenvormen uit de duale ruimte kunnen door keuze van een basis op vanzelfsprekende wijze voorgesteld worden door rijtjes uit de . Zo worden

en

voorgesteld door respectievelijk:

en

Er geldt:

Gaan we over op een andere basis van , dan krijgen en andere coördinaten:

en

Er geldt dan:

De relatie tussen en wordt bepaald door de coördinatiseringen:

en

,

dus

Daarin is de "gewone" coördinatentransformatie. De coördinaten transformeren op de gewone manier tot . Dat houdt in dat als een basisvector langer gekozen wordt, de bijbehorende coördinaat kleiner wordt. De coördinaten gedragen zich a.h.w. tegengesteld aan de basisvectoren. Men noemt en ook zelf daarom contravariant.

Anders is het met en . De relatie tussen en wordt bepaald door de coördinatiseringen:

en

,

zodat

Daarin is de coördinatentransformatie van de duale bases. Daarvoor geldt:

;

immers:

De coördinaten transformeren dus "anders dan bij een gewone" vector tot . Zij gdragen zich in overeenstemming met de basisvectoren. Men noemt en ook zelf daarom covariant.

Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.