Lineaire algebra/Covariant en contravariant

Zowel de elementen uit de $n$-dimensionale vectorruimte $V$ als de eenvormen uit de duale ruimte $V^{*}$ kunnen door keuze van een basis $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ op vanzelfsprekende wijze voorgesteld worden door rijtjes uit de $\mathbb {R} ^{n}$. Zo worden

$x=\xi _{1}v_{1}+\ldots +\xi _{n}v_{n}\in V$

en

$u=\eta _{1}v_{1}^{*}+\ldots +\eta _{n}v_{n}^{*}\in V^{*}$

voorgesteld door respectievelijk:

$\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$

en

$\eta =(\eta _{1},\ldots ,\eta _{n})$

Er geldt:

$u(x)=(\eta _{1}v_{1}^{*}+\ldots +\eta _{n}v_{n}^{*})(\xi _{1}v_{1}+\ldots +\xi _{n}v_{n})=\eta _{1}\xi _{1}+\ldots +\eta _{n}\xi _{n}$

Gaan we over op een andere basis $(w_{1},\ldots ,w_{n})$ van $V$, dan krijgen $x$ en $u$ andere coördinaten:

$x=\xi _{1}v_{1}+\ldots +\xi _{n}v_{n}=\xi '_{1}w_{1}+\ldots +\xi '_{n}w_{n}$

en

$u=\eta _{1}v_{1}^{*}+\ldots +\eta _{n}v_{n}^{*}=\eta '_{1}w_{1}^{*}+\ldots +\eta '_{n}w_{n}^{*}$

Er geldt dan:

$u(x)=\eta _{1}\xi _{1}+\ldots +\eta _{n}\xi _{n}=\eta '_{1}\xi '_{1}+\ldots +\eta '_{n}\xi '_{n}$

De relatie tussen $\xi$ en $\xi '$ wordt bepaald door de coördinatiseringen:

$\xi =\kappa _{v}x$

en

$\xi '=\kappa _{w}x$,

dus

$\xi '=\kappa _{w}\kappa _{v}^{-1}\xi =\Gamma _{wv}\xi =\Gamma \xi$

Daarin is $\Gamma$ de "gewone" coördinatentransformatie. De coördinaten $\xi$ transformeren op de gewone manier tot $\xi '$. Dat houdt in dat als een basisvector langer gekozen wordt, de bijbehorende coördinaat kleiner wordt. De coördinaten gedragen zich a.h.w. tegengesteld aan de basisvectoren. Men noemt $\xi$ en ook $x$ zelf daarom contravariant.

Anders is het met $\eta$ en $u$. De relatie tussen $\eta$ en $\eta '$ wordt bepaald door de coördinatiseringen:

$\eta =\kappa _{v^{*}}u$

en

$\eta '=\kappa _{w^{*}}u$,

zodat

$\eta '=\kappa _{w^{*}}\kappa _{v^{*}}^{-1}\eta =\Gamma _{w^{*}v^{*}}\eta =\Gamma ^{*}\eta$

Daarin is $\Gamma ^{*}$ de coördinatentransformatie van de duale bases. Daarvoor geldt:

$\Gamma ^{*}=\Gamma ^{T}$;

immers:

$\delta _{km}=w_{k}^{*}(w_{m})=w_{k}^{*}(\Gamma _{m1}v_{1}+\ldots +\Gamma _{mn}v_{n})=\Gamma _{m1}w_{k}^{*}(v_{1})+\ldots +\Gamma _{mn}w_{k}^{*}(v_{n})=\Gamma _{m1}\Gamma _{k1}^{*}+\ldots +\Gamma _{mn}\Gamma _{kn}^{*}$

De coördinaten $\eta$ transformeren dus "anders dan bij een gewone" vector tot $\eta '$. Zij gdragen zich in overeenstemming met de basisvectoren. Men noemt $\eta$ en ook $u$ zelf daarom covariant.