Lineaire algebra/Duale ruimte

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

De lineaire ruimte van de eenvormen op V is nauw met V verbonden en wordt daarom op een speciale manier aangeduid.

Definitie 16.1[bewerken]

De lineaire ruimte van de eenvormen op V heet de duale ruimte V* van V.

Voorbeelden[bewerken]

Neem steeds ,

  • Zij , dan zijn de projecties element van de duale ruimte .
  • Zij , d.w.z de ruimte van de continue functies op , dan is een element van de duale ruimte van .
  • Zij , d.w.z. de lineaire ruimte van alle veeltermen, dan zijn en twee verschillende elementen van de duale ruimte van de veeltermen.

Stelling 16.1[bewerken]

Als V de dimensie n heeft, is ook de dimensie van V* gelijk aan n.

Bewijs[bewerken]

Kies een basis van V en definieer de eenvormen door:

dus 1 als i=j en 0 als i en j verschillend zijn

Deze eenvormen vormen een basis van de duale ruimte, want ze zijn onafhankelijk en een willekeurige eenvorm u is een lineaire combinatie van deze eenvormen, immers voor iedere basisvector geldt:

Voor lineaire combinaties van de gelden vergelijkbare uitspraken omdat de onderliggende afbeeldingen lineair zijn.

Voor de eenvorm u geldt daarom dat

Iedere willekeurige eenvorm u is dus te schrijven als lineaire combinatie van de n eenvormen .


De bovengenoemde basis van de duale ruimte die als het ware bij een basis van de oorspronkelijke ruimte hoort speelt een speciale rol en heeft daarom ook een speciale naam.

Definitie 16.2[bewerken]

De basis van de duale ruimte V* die met de basis van V verbonden is door:

heet de duale basis van .

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.