Lineaire algebra/Tensor

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

Inleiding[bewerken]

De term Tensor (Latijn: tendere, spannen) werd voor het eerst omstreeks 1840 gebruikt door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton (1805-1865), die daarmee de absolute waarde van een quaternion aanduidde, dus niet een tensor in de huidige betekenis. Tensor in de tegenwoordige betekenis, namelijk als generalisatie van vector en matrix, werd als term ingevoerd door de Duitse natuurkundige Woldemar Voigt (1850-1919) in 1898.

Tensor als tensorproduct[bewerken]

Van twee vectorruimten en , beide over hetzelfde lichaam , vormen we het tensorproduct:

door formeel aan elk paar elementen van een basis en , het element

toe te wijzen, en deze elementen op te vatten als basis van . Een willekeurig element T van dit tensorproduct is dus van de vorm:

Voor willekeurige tensors T en S definieren we:

en

Van twee vectoren en uit resp. de vectorruimten en , definieren we het tensorproduct door

als (formele) bilineaire afbeelding.

Er geldt dus voor willekeurige vectoren en uit , en uit en scalair uit :

Let wel dat er tussen de tensorproducten en in het algemeen geen relatie is, zelfs als V = W, hoewel ze dan wel beide tot dezelfde ruimte behoren. Zijn V en W verschillend dan behoren beide tensorproducten zelfs tot verschillende vectorruimten.

De ruimte van tensorproducten, het tensorproduct van de ruimten en , is de lineaire ruimte voortgebracht door alle tensorproducten.


De bovenstaande voorstelling van een tensor uit het tensorproduct is niet eenduidig; ze kan op vele manieren gerealiseerd worden.

Omdat zelf ook een vectorruimte over is, kunnen we het tensorproduct

vormen van een vector uit de vectorruimte over en uit .

Het blijkt dat we voor de verdere theorie geen onderscheid hoeven te maken tussen:

en ,

zodat we ze gelijkstellen aan de trilineaire vorm:

Zo verdergaand kunnen we tensorproducten maken met willekeurig veel factoren:

.


Een willekeurige tensor kan nu voorgesteld worden als lineaire combinatie van tensorproducten van basisvectoren van de vectorruimten:

.

Daarin is ei(k) de i-de basisvector van de ruimte , waaruit de k-de factor van het tensorproduct komt. Het getal is de dimensie van .

Voorbeeld[bewerken]

Zij a en c uit met basis (e) en b en d uit met basis (f), en

Dan is

,

zodat

Tensor als multilineaire afbeelding[bewerken]

Een tensor is een multilineaire afbeelding in een lichaam :

.

gedefinieerd op het Cartesisch product van de vectorruimten alle over het lichaam . Het aantal van deze ruimten heet de rang van

Multilineair betekent:

voor willekeurige indices, vectoren en scalairen.

Een tensor als multilineaire vorm kan geïdentificeerd worden met het tensorproduct, volgens:

.

Tensor als generalisatie van matrix[bewerken]

Als praktische toepassing van tensoren is het meestal voldoende een tensor op te vatten als generalisatie van het begrip matrix. We kunnen dan onderscheiden:

  • tensoren van de rang 0: scalairen
  • tensoren van de rang 1: rij- en kolomvectoren
  • tensoren van de rang 2: matrices
  • tensoren van de rang 3: drievoudig geïndiceerde, dus blokvormig geordende, getallen,
  • tensoren van de rang m: m-voudig geïndiceerde getallen,

Een tensor van rang m is een m-voudig geïndiceerde set getallen:

Voor het gemak wordt een tensor vaak slechts aangeduid door het algemene element (een reëel of complex getal):

,

waarbij het uit de contekst duidelijk is welke waarden de indices doorlopen.

Analoog aan het gedrag van vectoren en matrices onder bepaalde transformaties, worden ook aan tensoren wat dat betreft bepaalde eisen gesteld.

Tensor in de wiskunde[bewerken]

Om het begrip tensor goed te funderen wordt een tensor in de wiskunde ingevoerd door middel van het tensorproduct van modulen en algebra's.

Tensor in de natuurkunde[bewerken]

In de natuurkunde komen o.a. tensoren voor als traagheidstensor en spanningstensor. Anders dan veel verbanden gaat het daarbij niet om een evenredigheid, maar om een richtingsafhankelijke evenredigheid. Voor een rotatie geldt bijvoorbeeld als verband tussen het koppel en de hoekversnelling :

.

Daarin is de tensor I het traagheidsmoment van het beschouwde object. Een object dat langs meerdere assen kan draaien heeft in principe voor elke rotatie-as een ander traagheidsmoment. Deze 'traagheidstensor' kan voor bewegingen in drie dimensies geschreven worden als een 3x3-matrix die het traagheidmoment langs alle mogelijke assen aangeeft.

(r,s)-Tensor[bewerken]

Een aparte klasse van tensoren zijn de zogeheten (r,s)-tensoren. Het zijn tensoren van de rang r+s met r factoren uit de duale ruimte van een vectorruimte en s factoren uit de ruimte zelf. Het zijn dus elementen van

Zo is een scalair een (0,0)-tensor, een vector uit een (0,1)-tensor, een element van , een eenvorm, een (1,0)-tensor, een bilineaire vorm op een (2,0)-tensor en kan een (1,1)-tensor als een endomorfisme van opgevat worden.

Voor (r,s)-tensoren zijn de volgende drie bewerkingen belangrijk:

  • Door het "vermenigvuldigen" van een -tensor met een -tensor ontstaat een -tensor in de ruimte:
  • Door contractie wordt uit een (r,s)-tensor een (r-1,s-1)-tensor gevormd: uit de tensor
ontstaat voor een covariante index i en een contravariante index j de tensor
  • Als op een inproduct gegeven is, kunnen en met elkaar geïdentificeerd worden, zodat er een verband gelegd kan worden tussen -tensoren en -tensoren.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.