Lineaire algebra/Tensor

Inleiding

De term Tensor (Latijn: tendere, spannen) werd voor het eerst omstreeks 1840 gebruikt door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton (1805-1865), die daarmee de absolute waarde van een quaternion aanduidde, dus niet een tensor in de huidige betekenis. Tensor in de tegenwoordige betekenis, namelijk als generalisatie van vector en matrix, werd als term ingevoerd door de Duitse natuurkundige Woldemar Voigt (1850-1919) in 1898.

Tensor als tensorproduct

Van twee vectorruimten $V$ en $W$, beide over hetzelfde lichaam $K$, vormen we het tensorproduct:

$V\otimes W$

door formeel aan elk paar elementen $(v_{i},w_{j})$ van een basis $v_{1},\dots ,v_{n}\in V$ en $w_{1},\dots ,w_{m}\in W$, het element

$v_{i}\otimes w_{j}$

toe te wijzen, en deze $n\times m$ elementen op te vatten als basis van $V\otimes W$. Een willekeurig element T van dit tensorproduct is dus van de vorm:

$T=\sum _{ij}T_{ij}v_{i}\otimes w_{j}$

Voor willekeurige tensors T en S definieren we:

$T+S=\sum _{ij}T_{ij}v_{i}\otimes w_{j}+\sum _{ij}S_{ij}v_{i}\otimes w_{j}=\sum _{ij}(T_{ij}+S_{ij})v_{i}\otimes w_{j}$

en

$\lambda T=\lambda \sum _{ij}T_{ij}v_{i}\otimes w_{j}=\sum _{ij}\lambda T_{ij}v_{i}\otimes w_{j}$

Van twee vectoren $v=\sum \alpha _{i}v_{i}$ en $w=\sum \beta _{j}w_{j}$ uit resp. de vectorruimten $V$ en $W$, definieren we het tensorproduct $v\otimes w$ door

$v\otimes w=\sum \alpha _{i}v_{i}\otimes \sum \beta _{j}w_{j}=\sum _{ij}\alpha _{i}\beta _{j}v_{i}\otimes w_{j}$

als (formele) bilineaire afbeelding.

Er geldt dus voor willekeurige vectoren $v$ en $v'$ uit $V$, $w$ en $w'$ uit $W$ en scalair $\lambda$ uit $K$:

$(v+v')\otimes w=v\otimes w+v'\otimes w$

$v\otimes (w+w')=v\otimes w+v\otimes w'$

$(\lambda v)\otimes w=\lambda \,(v\otimes w)=v\otimes (\lambda w)$

Let wel dat er tussen de tensorproducten $v\otimes w$ en $w\otimes v$ in het algemeen geen relatie is, zelfs als V = W, hoewel ze dan wel beide tot dezelfde ruimte behoren. Zijn V en W verschillend dan behoren beide tensorproducten zelfs tot verschillende vectorruimten.

De ruimte van tensorproducten, het tensorproduct $V\otimes W$ van de ruimten $V$ en $W$, is de lineaire ruimte voortgebracht door alle tensorproducten.

De bovenstaande voorstelling van een tensor uit het tensorproduct $V\otimes W$ is niet eenduidig; ze kan op vele manieren gerealiseerd worden.

Omdat $V\otimes W$ zelf ook een vectorruimte over $K$ is, kunnen we het tensorproduct

$u\otimes (v\otimes w)$

vormen van een vector $u$ uit de vectorruimte $U$ over $K$ en $v\otimes w$ uit $V\otimes W$.

Het blijkt dat we voor de verdere theorie geen onderscheid hoeven te maken tussen:

$u\otimes (v\otimes w)$ en $(u\otimes v)\otimes w$,

zodat we ze gelijkstellen aan de trilineaire vorm:

$u\otimes v\otimes w$

Zo verdergaand kunnen we tensorproducten maken met willekeurig veel factoren:

$v_{1}\otimes v_{2}\otimes \dots \otimes v_{n},\qquad v_{j}\in V_{j},\quad j=1,\dots ,n$.

Een willekeurige tensor kan nu voorgesteld worden als lineaire combinatie van tensorproducten van basisvectoren van de vectorruimten:

$\sum _{j_{1}\in d_{1},\dots ,j_{n}\in d_{n}}T_{j_{1},\dots ,j_{n}}\;e_{j_{1}}^{(1)}\otimes \dots \otimes e_{j_{n}}^{(n)}$.

Daarin is e_i^(k) de i-de basisvector van de ruimte $V_{k}$, waaruit de k-de factor van het tensorproduct komt. Het getal $d_{k}$ is de dimensie van $V_{k}$.

Voorbeeld

Zij a en c uit $V$ met basis (e) en b en d uit $W$ met basis (f), en

$a=3e_{1}+7e_{2}$

$b=2f_{1}+f_{2}$

$c=5e_{1}-e_{2}$

$d=f_{1}+4f_{2}$

Dan is

$a\otimes b=(3e_{1}+7e_{2})\otimes (2f_{1}+f_{2})=$

$=6e_{1}\otimes f_{1}+3e_{1}\otimes f_{2}+14e_{2}\otimes f_{1}+7e_{2}\otimes f_{2}$

$c\otimes d=(5e_{1}-e_{2})\otimes (f_{1}+4f_{2})=$

$=5e_{1}\otimes f_{1}+20e_{1}\otimes f_{2}-e_{2}\otimes f_{1}-4e_{2}\otimes f_{2}$,

zodat

$a\otimes b+c\otimes d=11e_{1}\otimes f_{1}+23e_{1}\otimes f_{2}+13e_{2}\otimes f_{1}+3e_{2}\otimes f_{2}$

Tensor als multilineaire afbeelding

Een tensor $T$ is een multilineaire afbeelding in een lichaam $K$:

$T:V_{1}^{}\times V_{2}^{}\times \dots \times V_{n}^{}\to K$.

gedefinieerd op het Cartesisch product van de vectorruimten $V_{1},\ \dots ,\ V_{n}$ alle over het lichaam $K$. Het aantal $n$ van deze ruimten heet de rang van $T$

Multilineair betekent:

$T(v_{1},\dots ,x_{i}+y_{i},\dots ,v_{n})=T(v_{1},\dots ,x_{i},\dots ,v_{n})+T(v_{1},\dots ,y_{i},\dots ,v_{n})$

$T(v_{1},\dots ,\lambda x_{i},\dots ,v_{n})=\lambda T(v_{1},\dots ,x_{i},\dots ,v_{n})$

voor willekeurige indices, vectoren en scalairen.

Een tensor als multilineaire vorm kan geïdentificeerd worden met het tensorproduct, volgens:

$T(v_{1},\dots \ ,v_{n})=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \dots \otimes v_{n},\qquad v_{j}\in V_{j},\quad j=1,\dots ,n$.

Tensor als generalisatie van matrix

Als praktische toepassing van tensoren is het meestal voldoende een tensor op te vatten als generalisatie van het begrip matrix. We kunnen dan onderscheiden:

• tensoren van de rang 0: scalairen
• tensoren van de rang 1: rij- en kolomvectoren
• tensoren van de rang 2: matrices
• tensoren van de rang 3: drievoudig geïndiceerde, dus blokvormig geordende, getallen,
• tensoren van de rang m: m-voudig geïndiceerde getallen,

Een tensor van rang m is een m-voudig geïndiceerde set getallen:

$T=(T_{i_{1},i_{2},...,i_{m}})_{i_{k}=1,\dots ,n_{k},\;k=1,\dots ,m}$

Voor het gemak wordt een tensor vaak slechts aangeduid door het algemene element (een reëel of complex getal):

$T_{i_{1},i_{2},...,i_{m}}$,

waarbij het uit de contekst duidelijk is welke waarden de indices doorlopen.

Analoog aan het gedrag van vectoren en matrices onder bepaalde transformaties, worden ook aan tensoren wat dat betreft bepaalde eisen gesteld.

Tensor in de wiskunde

Om het begrip tensor goed te funderen wordt een tensor in de wiskunde ingevoerd door middel van het tensorproduct van modulen en algebra's.

Tensor in de natuurkunde

In de natuurkunde komen o.a. tensoren voor als traagheidstensor en spanningstensor. Anders dan veel verbanden gaat het daarbij niet om een evenredigheid, maar om een richtingsafhankelijke evenredigheid. Voor een rotatie geldt bijvoorbeeld als verband tussen het koppel ${\vec {T}}$ en de hoekversnelling ${\vec {\alpha }}$:

${\vec {T}}=I\cdot {\vec {\alpha }}$.

Daarin is de tensor I het traagheidsmoment van het beschouwde object. Een object dat langs meerdere assen kan draaien heeft in principe voor elke rotatie-as een ander traagheidsmoment. Deze 'traagheidstensor' kan voor bewegingen in drie dimensies geschreven worden als een 3x3-matrix die het traagheidmoment langs alle mogelijke assen aangeeft.

(r,s)-Tensor

Een aparte klasse van tensoren zijn de zogeheten (r,s)-tensoren. Het zijn tensoren van de rang r+s met r factoren uit de duale ruimte $V*$ van een vectorruimte $V$ en s factoren uit de ruimte zelf. Het zijn dus elementen van

${\begin{matrix}(V^{*})^{\otimes r}\otimes V^{\otimes s}&=&\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} &\otimes &\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} \\&&r&&s\end{matrix}}$

Zo is een scalair een (0,0)-tensor, een vector uit $V$ een (0,1)-tensor, een element van $V*$, een eenvorm, een (1,0)-tensor, een bilineaire vorm op $V$ een (2,0)-tensor en kan een (1,1)-tensor als een endomorfisme van $V$ opgevat worden.

Voor (r,s)-tensoren zijn de volgende drie bewerkingen belangrijk:

• Door het "vermenigvuldigen" van een $(r_{1},s_{1})$-tensor met een $(r_{2},s_{2})$-tensor ontstaat een $(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})$-tensor in de ruimte:

$((V^{*})^{\otimes r_{1}}\otimes V^{\otimes s_{1}})\otimes ((V^{*})^{\otimes r_{2}}\otimes V^{\otimes s_{2}})\cong (V^{*})^{\otimes (r_{1}+r_{2})}\otimes V^{\otimes (s_{1}+s_{2})}.$

• Door contractie wordt uit een (r,s)-tensor een (r-1,s-1)-tensor gevormd: uit de tensor

$\lambda _{1}\otimes \cdots \otimes \lambda _{i}\otimes \cdots \otimes \lambda _{r}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{j}\otimes \cdots \otimes v_{s}$

ontstaat voor een covariante index i en een contravariante index j de tensor

$\lambda _{i}(v_{j})\,(\lambda _{1}\otimes \cdots \otimes \lambda _{i-1}\otimes \lambda _{i+1}\otimes \cdots \otimes \lambda _{r}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{j-1}\otimes v_{j+1}\otimes \cdots \otimes v_{s})$

• Als op $V$ een inproduct gegeven is, kunnen $V$ en $V^{*}$ met elkaar geïdentificeerd worden, zodat er een verband gelegd kan worden tussen $(r,s)$-tensoren en $(r+k\,,\,s-k)$-tensoren.