Lineaire algebra/Getallenruimte

Zoals we in het voorgaande gezien hebben, wordt de structuur van een lineaire ruimte over een lichaam K, door de keuze van een basis, overgebracht naar een ruimte met "rijtjes" getallen uit K. Veel van de theorie over eindig-dimensionale vectorruimten over een lichaam K kan bestudeerd worden aan de hand van de ruimten van rijtjes getallen uit K met dezelfde dimensie. Zonder de algemeenheid veel schade te doen, nemen we voor K de reële getallen, en bestuderen de ruimte $\mathbb {R} ^{n}$ van rijtjes van een eindig aantal n reële getallen.

Definitie 13.1

Onder de $\mathbb {R} ^{n}$ verstaan we het cartesisch product met als factoren n keer de reële getallen:

$\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \cdots \times \mathbb {R} =\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {R} \}$

We vatten de $\mathbb {R} ^{n}$ op voor de hand liggende wijze op als lineaire ruimte.

Stelling 13.1

De $\mathbb {R} ^{n}$ is met als optelling:

$\,(x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n})=(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})$

en als scalaire vermenigvuldiging:

$\,a(x_{1},\ldots ,x_{n})=(ax_{1},\ldots ,ax_{n})$,

een lineaire ruimte over $\mathbb {R}$.

Een speciale rol spelen de zgn. eenheidsvectoren, de rijtjes met op één plaats een 1 en verder nullen.

Definitie 13.2

Onder de i-de eenheidsvector verstaan we de vector

$e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$,

met de 1 op de i-de plaats.

Het is duidelijk dat de eenheidsvectoren de hele ruimte voortbrengen en ook lineair onafhankelijk zijn, dus een basis vormen.

Stelling 13.2

Het stelsel eenheidsvectoren ${\rm {E}}=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ is een basis van $\mathbb {R} ^{n}$.

Vanwege de speciale rol van het stelsel eenheidsvectoren E heeft het ook een speciale naam.

Definitie 13.3

We noemen het stelsel eenheidsvectoren ${\rm {E}}=(e_{1},.\ldots ,e_{n})$ de canonieke basis van $\mathbb {R} ^{n}$.

Een lineaire afbeelding $A:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ wordt bepaald door de beelden $A(e_{i})=a_{i}$ van de eenheidsvectoren, dus door de rij vectoren:

$a=(a_{1},\ldots ,a_{n})=((a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))\in (R^{m})^{n}$.

Zo'n rij vectoren noemen we een matrix.

Definitie 13.4

Onder een m×n-matrix a verstaan we een element van het cartesisch product met als factoren n keer de $R^{m}$, dus een rij van n vectoren die alle m-dimensionaal zijn:

$a\in (R^{m})^{n}.$

We noteren een m×n-matrix overzichtelijk door voor elk van de n vectoren $a_{i}$ uit de rij, de coördinaten ervan zonder haken in een rechthoekig schema onder elkaar als een kolom te schrijven, en het geheel te omsluiten door rechte haken. De bovenstaande m×n-matrix a noteren we dan als:

$a=(a_{1},\ldots ,a_{n})={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}$