Lineaire algebra/Coördinatentransformatie

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

Nu we weten wat een coördinatisering is, realiseren we ons dat deze afhankelijk is van de basis waarop hij betrekking heeft. Wat nu als we nog een andere basis beschouwen? Een vector heeft t.o.v. beide bases coördinaten. Wat is de relatie tussen beide?

Laat een vectorruimte met dimensie n over het lichaam zijn en en twee geordende bases van . Een vector heeft t.o.v. beide bases coördinaten:

We zoeken de relatie tussen de coördinaten t.o.v. en de coördinaten t.o.v. de basis .

Die relatie kunnen we te weten komen als we het verband kennen tussen de beide bases. De basisvectoren uit kunnen we uitdrukken in die van :

Daarin zijn de getallen niets anders dan de coördinaten van de basisvectoren uit t.o.v. de basis .

Voor kunnen we nu afleiden:

Omdat een vector maar op één manier als lineaire combinatie van basisvectoren kan worden geschreven, moet dus gelden dat:

Deze relatie is eigenlijk een afbeelding: , die aan de coördinaten van een vector t.o.v. de coördinaten t.o.v. toevoegt. We noemen deze afbeelding een coördinatentransformatie en kunnen die uitdrukken in de coördinatiseringen: .

                        x
                       / \
                        
                     /     \
                    /       \
                                   

Definitie 9.1[bewerken]

Zij een vectorruimte met dimensie over het lichaam , en en twee bases van . We noemen de afbeelding die de coördinaten van een vector t.o.v. afbeeldt op de coördinaten t.o.v. , een coördinatentransformatie.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.