Lineaire algebra/Coördinatentransformatie

Nu we weten wat een coördinatisering is, realiseren we ons dat deze afhankelijk is van de basis waarop hij betrekking heeft. Wat nu als we nog een andere basis beschouwen? Een vector heeft t.o.v. beide bases coördinaten. Wat is de relatie tussen beide?

Laat $V$ een vectorruimte met dimensie $n$ over het lichaam $K$ zijn en $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ en $C=(c_{1},\ldots ,c_{n})$ twee geordende bases van $V$. Een vector $x\in V$ heeft t.o.v. beide bases coördinaten:

$x=\xi _{1}b_{1}+\ldots +\xi _{n}b_{n}=\chi _{1}c_{1}+\ldots +\chi _{n}c_{n}$

We zoeken de relatie tussen de coördinaten $\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}$ t.o.v. $B$ en de coördinaten $\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}$ t.o.v. de basis $C$.

Die relatie kunnen we te weten komen, als we het verband kennen tussen de beide bases. De basisvectoren uit $C$ kunnen we uitdrukken in die van $B$:

$c_{r}=\gamma _{r1}b_{1}+\ldots +\gamma _{r1}b_{n}=\sum _{k=1}^{n}\gamma _{rk}b_{k}$

Daarin zijn de $n^{2}$ getallen $(\gamma _{rk})$ niets anders dan de coördinaten van de basisvectoren uit $C$ t.o.v. de basis $B$.

Voor $x$ kunnen we nu afleiden:

$x=\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}b_{k}=\sum _{r=1}^{n}\chi _{r}c_{r}=\sum _{r=1}^{n}\chi _{r}\sum _{k=1}^{n}\gamma _{rk}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{r=1}^{n}\chi _{r}\gamma _{rk}b_{k}$

Omdat een vector maar op één manier als lineaire combinatie van basisvectoren kan worden geschreven, moet dus gelden dat:

$\xi _{k}=\sum _{r=1}^{n}\chi _{r}\gamma _{rk}$

Deze relatie is eigenlijk een afbeelding: $\Gamma _{BC}:K^{n}\to K^{n}$, die aan de coördinaten van een vector t.o.v. $C$ de coördinaten t.o.v. $B$ toevoegt. We noemen deze afbeelding een coördinatentransformatie en kunnen die uitdrukken in de coördinatiseringen: $\Gamma _{BC}=\kappa _{B}\kappa _{C}^{-1}$.

                        x
                       / \
                      $\kappa _{C}$  $\kappa _{B}$
                     /     \
                    /       \
                   $\chi \quad {\xrightarrow {\quad \Gamma \quad }}\quad \xi$                

Definitie 9.1

Zij $V$ een vectorruimte met dimensie $n$ over het lichaam $K$, en $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ en $C=(c_{1},\ldots ,c_{n})$ twee bases van $V$. We noemen de afbeelding $\Gamma _{BC}=\kappa _{B}\kappa _{C}^{-1}$ die de coördinaten van een vector t.o.v. $C$ afbeeldt op de coördinaten t.o.v. $B$, een coördinatentransformatie.