Lineaire algebra/Bilineaire vorm

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

Naast eenvormen zijn er ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekent dat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.

Definitie 20.1[bewerken]

Zij een vectorruimte over het lichaam . Een bilineaire vorm op is een afbeelding die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor en geldt:

en


Een bilineaire vorm die aan de paren en dezelfde waarde toevoegt, heet symmetrisch.

Definitie 20.2[bewerken]

Een bilineaire vorm op heet symmetrisch als voor alle geldt:

Matrixvoorstelling[bewerken]

Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als een basis is van , kunnen we de vectoren en in deze basis uitdrukken:

en

Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding van en vinden we dan:

Daarin is de -matrix met elementen die t.o.v. de gekozen basis hoort bij .

Wat we hier gevonden hebben formuleren we in de volgende stelling.

Stelling 20.1[bewerken]

Bij iedere lineaire vorm op een lineaire ruimte van dimensie bestaat na keuze van een basis een -matrix , zodanig dat de lineaire vorm voorgesteld kan worden door:

met en de coördinaten van resp. en t.o.v. de gekozen basis.


Geven we de coördinatisering t.o.v. de basis aan met , dan is:

en

en

Stelling 20.2[bewerken]

De matrix die bij een symmetrische bilineaire vorm op hoort, is symmetrisch.

Bewijs[bewerken]

Zij de betrokken basis; dan geldt:


Diagonaalvorm[bewerken]

Als we een basis kunnen vinden ten opzichte waarvan de matrix van een bilineaire vorm diagonaal is, kan de bilineaire eenvoudig weergegeven worden.

Stelling 20.3[bewerken]

Zij een -dimensionale vectorruimte over het lichaam met karakteristiek ongelijk aan 2, en een symmetrische bilineaire vorm op . Dan is er een basis van zodat voor alle geldt:

Ten opzichte van deze basis is de matrix van dus diagonaal en wordt bepaald door:

,

waarin en weer de coördinaten zijn van respectievelijk en ten opzichte van deze basis.


Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.