Naast eenvormen zijn er ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekent dat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.
Zij
een vectorruimte over het lichaam
. Een bilineaire vorm op
is een afbeelding
die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor
en
geldt:
![{\displaystyle B(\lambda x+y,z)=\lambda B(x,z)+B(y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50bbfb0c325e879dc2b6f2fbaaa3c128d2523d63)
en
![{\displaystyle B(z,\lambda x+y)=\lambda B(z,x)+B(z,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3278ed416f67c153392f8979560b7a1770b66388)
Een bilineaire vorm die aan de paren
en
dezelfde waarde toevoegt, heet symmetrisch.
Een bilineaire vorm
op
heet symmetrisch als voor alle
geldt:
![{\displaystyle B(x,y)=B(y,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7795bb1aff6bbea03b15e7e7f3c7b8aa019ed71)
Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als
een basis is van
, kunnen we de vectoren
en
in deze basis uitdrukken:
en ![{\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}\eta _{i}v_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed69441285219c84706073fe3ef537130404602)
Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding
van
en
vinden we dan:
![{\displaystyle B(x,y)=B\left(\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}v_{i},\sum _{j=1}^{n}\eta _{j}v_{j}\right)=\sum _{ij}\xi _{i}\eta _{j}B(v_{i},v_{j})=\sum _{ij}\xi _{i}\beta _{ij}\eta _{j}=\xi ^{T}\beta \eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff951695053562e8eaa50071738e5115d55edeff)
Daarin is
de
-matrix met elementen
die t.o.v. de gekozen basis hoort bij
.
Wat we hier gevonden hebben formuleren we in de volgende stelling.
Bij iedere lineaire vorm
op een lineaire ruimte
van dimensie
bestaat na keuze van een basis een
-matrix
, zodanig dat de lineaire vorm voorgesteld kan worden door:
![{\displaystyle B(x,y)=\xi ^{T}\beta \eta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6444a664e466b46518504523e16aee8c9746d7c4)
met
en
de coördinaten van resp.
en
t.o.v. de gekozen basis.
Geven we de coördinatisering t.o.v. de basis aan met
, dan is:
en ![{\displaystyle \kappa y=\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223a7d31f491d180708065fd91f88927e24cd1f8)
en
![{\displaystyle B(x,y)=(\kappa x)^{T}\beta \kappa y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfc55b5e7222af2a4f79913dfdb81623646ce0b)
De matrix
die bij een symmetrische bilineaire vorm
op
hoort, is symmetrisch.
Zij
de betrokken basis; dan geldt:
![{\displaystyle \beta _{ij}=B(b_{i},b_{j})=B(b_{j},b_{i})=\beta _{ji}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6bf6bf53a1f705969b6e23eea3efb8e77403233)
Als we een basis kunnen vinden ten opzichte waarvan de matrix van een bilineaire vorm diagonaal is, kan de bilineaire eenvoudig weergegeven worden.
Zij
een
-dimensionale vectorruimte over het lichaam
met karakteristiek ongelijk aan 2, en
een symmetrische bilineaire vorm op
. Dan is er een basis
van
zodat voor alle
geldt:
![{\displaystyle B(b_{i},b_{j})=\beta _{ij}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cf7178b41a6e517bad0038dea6fea25cdd8036)
Ten opzichte van deze basis is de matrix
van
dus diagonaal en wordt
bepaald door:
,
waarin
en
weer de coördinaten zijn van respectievelijk
en
ten opzichte van deze basis.