Lineaire algebra/Lineaire ruimte

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

Een lineaire ruimte of vectorruimte is een verzameling met een structuur, een lineaire structuur. We kunnen de elementen bij elkaar optellen en we kunnen veelvouden van de elementen maken, d.w.z. een element vermenigvuldigen met een "getal" uit het lichaam van "getallen". Een "getal", een element uit het lichaam zullen we in het vervolg een scalair noemen.

Definitie 1.1[bewerken]

Een lineaire ruimte of vectorruimte over een lichaam K is een drietal , bestaande uit een verzameling V met daarop gedefinieerd een optelling en een afbeelding , scalaire vermenigvuldiging geheten, die voldoen aan de volgende voorwaarden, die inhouden dat we op gewone wijze in V kunnen optellen en met scalairen veelvouden kunnen rekenen.

We noteren op de gebruikelijke wijze voor , en of alleen voor

Er geldt:

  1. Voor alle is en (commutativiteit optelling).
  2. Voor alle is (associativiteit optelling).
  3. Er is een element , waarvoor voor alle .
  4. Voor alle is er een , waarvoor .
  5. Voor alle en is .
  6. Voor alle is .
  7. Voor alle en is .
  8. Voor alle en is .
  9. Voor alle en is .


Als gevolg van deze eigenschappen kunnen we a.h.w. gewoon rekenen met vectoren. De belangrijkste regels waarvan we meestal gedachteloos gebruik maken, kunnen we het best eerst algemeen aantonen.

Stelling 1.1[bewerken]

Er is maar één .

Bewijs

Stel ook is een 'nul', d.w.z. dat voor alle geldt: . Dan is dus .

Stelling 1.2[bewerken]

Voor alle en geldt: als , dan is .

Bewijs
.

Stelling 1.3[bewerken]

Er is maar één tegengestelde.

Bewijs

Stel , dan is , dus m.b.v. stelling 1.2 volgt: .

Stelling 1.4[bewerken]

Voor alle en geldt: als en , dan is .

Bewijs
, dus m.b.v. stelling 1.2 volgt: .

Stelling 1.5[bewerken]

Voor alle is .

Bewijs
, dus m.b.v. stelling 1.4 volgt: .

Stelling 1.6[bewerken]

Voor alle is .

Bewijs
, dus m.b.v. stelling 1.4 volgt: .

Stelling 1.7[bewerken]

Voor alle is .

Bewijs
dus .

Stelling 1.8[bewerken]

Voor alle en geldt: als , dan is of .

Bewijs

Stel , dan:

.

Stelling 1.9[bewerken]

Voor alle geldt: als , dan is .

Bewijs

dus

, waaruit het gestelde volgt.

Stelling 1.10[bewerken]

Voor alle geldt: als , dan is .

Bewijs
.


Notatie[bewerken]

Omdat het nooit tot verwarring leidt, zullen we het element van gewoon als schrijven. Verder schrijven we voor .

Voorbeelden[bewerken]

Voorbeeld 1

We bekijken de punten in het platte vlak, dus . De voor de hand liggende optelling en scalaire vermenigvuldiging met reële getallen voldoen aan:

Daarmee is een lineaire ruimte over .

Op analoge wijze is een lineaire ruimte over .

Voorbeeld 2

Neem voor de reële getallen en , bestaande uit de nulveelterm samen met de verzameling van alle veeltermen in met een graad niet groter dan drie en met reële coëfficiënten. De optelling en scalaire vermenigvuldiging voldoen aan alle voorwaarden. is een lineaire ruimte over .

Voorbeeld 3

Noem de verzameling van reële continue functies op het interval (0,1) en definieer op de gebruikelijke manier de optelling en scalaire vermenenigvuldiging:

Dan is een lineaire ruimte over .


Soms is een deel van een lineaire ruimte zelf ook een lineaire ruimte over hetzelfde lichaam, zoals alle scalaire veelvouden van een vector. We spreken dan van een lineaire deelruimte.

Definitie 1.2[bewerken]

Een lineaire deelruimte van een lineaire ruimte over een lichaam is een deelverzameling van die een lineaire ruimte is over hetzelfde lichaam .


Hoe kunnen we zien dat een deelverzameling van een vectorruimte een deelruimte is? Omdat de vectoren in een deel van een vectorruimte al de belangrijkste eigenschappen hebben, is het voldoende om aan te tonen dat met elke vector ook de scalaire veelvouden daarvan in zitten en met elk tweetal ook hun som. Deze eisen garanderen juist dat lineaire combinaties van vectoren in , ook in liggen. De stelling geven we daarom zonder bewijs.

Stelling 1.11[bewerken]

Een deelverzameling van een lineaire ruimte is een lineaire deelruimte als:

voor alle

en

.

Stelling 1.12[bewerken]

De doorsnede van twee lineaire deelruimten en van een lineaire ruimte is ook een lineaire deelruimte van .

Bewijs

De doorsnede is niet leeg daar en beide de nulvector bevatten.

, dan en

Dus is voor alle

en ,

dus ook

Ook is voor alle

en ,

zodat

en

dus

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.