Lineaire algebra/Lineaire afbeelding

We hebben al gezien dat de coördinatisering $\kappa _{B}:V\to K^{n}$ de lineaire ruimte $V$ met basis $B$ afbeeldt in (op) de lineaire ruimte $K^{n}$. Deze afbeelding heeft de volgende eigenschappen:

$\kappa _{B}(x+y)=\kappa _{B}(\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}b_{k}+\sum _{k=1}^{n}\eta _{k}b_{k})=\kappa _{B}(\sum _{k=1}^{n}(\xi _{k}+\eta _{k})b_{k})=$

$\,=(\xi _{1}+\eta _{1},\ldots ,\xi _{n}+\eta _{n})=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})+(\eta _{1},\ldots ,\eta _{n})=\kappa _{B}(x)+\kappa _{B}(y)$

en

$\kappa _{B}(\alpha x)=\kappa _{B}(\alpha \sum _{k=1}^{n}\xi _{k}b_{k})=\kappa _{B}(\sum _{k=1}^{n}\alpha \xi _{k}b_{k})=(\alpha \xi _{1},\ldots ,\alpha \xi _{n})=\alpha \kappa _{B}(x)$

Een lineaire combinatie van vectoren wordt dus afgebeeld op dezelfde lineaire combinatie van de beelden van die vectoren. En dat is maar goed ook voor een coördinatisering. Zulke afbeeldingen houden dus (zo goed mogelijk) de lineaire structuur in stand; we noemen ze daarom lineaire afbeeldingen.

Definitie 10.1

Een afbeelding $A:\,V\to W$ van de lineaire ruimte $V$ naar de lineaire ruimte $W$, beide over $K$, heet lineair als geldt:

$A(x+y)=A(x)+A(y)$

en

$A(\alpha x)=\alpha A(x)$

Een lineaire afbeelding wordt ook homomorfisme genoemd.

De beide vectorruimten hoeven niet eindig-dimensionaal te zijn, noch van gelijke dimensie en de afbeelding hoeft noch injectief, noch surjectief te zijn.

Merk op dat eigenlijk geschreven had moeten worden:

$A(x+_{_{V}}y)=A(x)+_{_{W}}A(y)$

en

$A(\alpha \cdot _{_{V}}x)=\alpha \cdot _{_{W}}A(x)$

om onderscheid te maken tussen de bewerkingen in $V$ en in $W$. In de praktijk laten we de indices weg, aangezien dat nooit tot verwarring aanleiding geeft.

Voorbeeld 10.1

We beelden de vectorruimte $\mathbb {R} ^{2}$ af op zichzelf met de lineaire afbeelding $A$, gegeven door de beelden van de eenheidsvectoren: $A(1,0)=(1,1)$ en $A(0,1)=(-1,1)$. Omdat de afbeelding lineair is, ligt hiermee de hele afbeelding vast, want:

$A(\alpha _{1},\alpha _{2})=A(\alpha _{1}(1,0)+\alpha _{2}(0,1))=\alpha _{1}A(1,0)+\alpha _{2}A(0,1)=$

$=\alpha _{1}(1,1)+\alpha _{2}(-1,1)=(\alpha _{1}-\alpha _{2},\alpha _{1}+\alpha _{2})$

Hierboven hebben we gezien dat coördinatiseringen lineair zijn.

Stelling 10.1

Een coördinatisering is een lineaire afbeelding.

Door op natuurlijke wijze de afbeeldingen van $V$ naar $W$ van een optelling en scalaire vermenigvuldiging te voorzien via:

$(f+g)(v)=f(v)+g(v)$

en

$(\lambda f)(v)=\lambda (f(v))$

wordt de ruimte van alle afbeeldingen van $V$ naar $W$ een lineaie ruimte over hetzelfde lichaam.

Stelling 10.2

De afbeeldingen van de lineaire ruimte $V$ naar de lineaire ruimte $W$, beide over $K$, vormen een lineaire ruimte over $K$.

Bewijs

Het bewijs is triviaal en verloopt via het verifiëren van de eisen voor lineaire ruimte.

Stelling 10.3

De lineaire afbeeldingen van de lineaire ruimte$V$ naar de lineaire ruimte $W$, beide over $K$, vormen een lineaire deelruimte ${\mathcal {L}}(V,W)$ van de ruimte van alle afbeeldingen van $V$ naar $W$.

Bewijs

Met $A,B\in {\mathcal {L}}(V,W)$ is ook $\lambda A+\mu B\in {\mathcal {L}}(V,W)$.