Lineaire algebra/Lineair onafhankelijk stelsel

De ruimte die door de vector $x$ wordt voortgebracht, is dezelfde als de ruimte die door $x$ en een veelvoud van $x$ wordt voortgebracht. De toevoeging van dat veelvoud is overbodig, want dat was al element van de deelruimte. We zeggen dat dat veelvoud (lineair) afhankelijk is van $x$. Zo ook met de ruimte die door twee vectoren wordt opgespannen. Die verandert niet als we een vector toevoegen die er al toe behoort. Elke lineaire combinatie van $x$ en $y$ is lineair afhankelijk van $x$ en $y$. Een vector $z$ buiten de door $x$ en $y$ voortgebrachte deelruimte voegt iets nieuws toe, als het tenminste niet de 0 is. Zo'n vector is lineair onafhankelijk van $x$ en $y$. Liever zeggen we dat $x,y$ en $z$ een lineair onafhankelijk stelsel vormen. Daarin kun je er geen weglaten zonder dat de voortgebrachte deelruimte verandert.

Definitie 3.1.a

Het eindige stelsel vectoren $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ heet lineair onafhankelijk als de 0 alleen als lineaire combinatie met alle coëfficiënten 0 geschreven kan worden, dus als:

$\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}x_{i}=0\Rightarrow \forall _{i}\,\alpha _{i}=0$.

Definitie 3.1.b

Een willekeurig stelsel vectoren $(x_{i},i\in I)$ heet lineair onafhankelijk als elk eindig deelstelsel lineair onafhankelijk is.

Definitie 3.1.c

Een stelsel vectoren heet lineair afhankelijk als dit stelsel niet lineair onafhankelijk is.

Voorbeelden

In de driedimensionele euclidische ruimte zijn de de vectoren $(1,1,0)$ en $(0,1,2)$ lineair onafhankelijk, want stel maar dat:

$a(1,1,0)+b(0,1,2)=0$.

Dan is dus:

$a(1,1,0)+b(0,1,2)=(a,a+b,2b)=(0,0,0)$,

zodat volgt: $a=0$ en $b=0$.

De drie vectoren $(1,1,0),(0,1,2)$ en $(-1,0,2)$ zijn niet lineair onafhankelijk, want:

$(1,1,0)-(0,1,2)+(-1,0,2)=0$.

Een lineair onafhankelijk stelsel bevat nooit de 0, want we zouden de 0 als lineaire combinatie kunnen vormen met voor de 0 de coëfficiënt 1 en de overige 0.

Stelling 3.1

De vectoren in een lineair onafhankelijk stelsel zijn alle ongelijk aan 0.

Laten we uit een lineair onafhankelijk stelsel een vector weg, zeg $x_{1}$, dan zit deze niet meer in de door de rest voortgebrachte deelruimte, want stel maar dat

$x_{1}=\alpha _{2}x_{2}+\ldots +\alpha _{m}x_{m}$

dan is

$-x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\ldots +\alpha _{m}x_{m}=0$.

En omdat $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}$ lineair onafhankelijk zijn, moeten alle coëfficiënten gelijk zijn aan 0, maar de coëfficiënt van $x_{1}$ is $-1$.

Daarom geldt de volgende stelling.

Stelling 3.2

Is een stelsel vectoren lineair afhankelijk, dan is er ten minste een vector die een lineaire combinatie is van de overige.

Voorbeelden

De drie vectoren $(1,1,0),(0,1,2)$ en $(-1,0,2)$ zijn lineair afhankelijk, want er geldt:

$(1,1,0)-(0,1,2)+(-1,0,2)=0$.

We kunnen elk als lineaire combinatie van de andere twee schrijven, bijvoorbeeld:

$(1,1,0)=(0,1,2)-(-1,0,2)$.

Ook de drie vectoren $(1,1,0),(0,1,2)$ en $(2,2,0)$ zijn lineair afhankelijk, want er geldt:

$2(1,1,0)-(2,2,0)=0$.

We kunnen wel $(2,2,0)$ schrijven als een veelvoud van $(1,1,0)$, maar de vector $(0,1,2)$ is geen lineaire combinatie van $(1,1,0)$ en $(2,2,0)$.