Lineaire algebra/Basis

Elk element van $V$ is als een lineaire combinatie van een volledig stelsel te schrijven. Maar die combinatie hoeft niet eenduidig te zijn. We kunnen het element mogelijk op meer dan een manier schrijven. En bovendien kunnen we mogelijk vectoren uit het stelsel weglaten, zonder dat het resterende stelsel onvolledig wordt. We zoeken een stelsel dat volledig is en ook lineair onafhankelijk. Zo'n stelsel, dat we een basis van $V$ noemen, bevat pecies genoeg vectoren om heel $V$ voort te brengen.

Definitie 5.1

Een stelsel vectoren in $V$ dat lineair onafhankelijk en volledig is, heet een basis van $V$.

Elke vector uit $V$ laat zich op precies één manier schrijven als lineaire combinatie van (de elementen van) een basis. Als er immers twee verschillende combinaties waren voor dezelfde vector, was het verschil de nulvector met niet alle coëfficiënten gelijk aan 0, en dat kan niet omdat een basis een lineair onafhankelijk stelsel is.

Stelling 5.1

Elke vector uit $V$ is een unieke lineaire combinatie van de vectoren van een basis.

Maar is er wel altijd een basis? Soms wel natuurlijk: want de deelruimte die door een lineair onafhankelijk stelsel wordt voortgebracht, heeft juist dat stelsel als basis. Maar hoe zit het met een willekeurige lineaire ruimte?

Men zou als volgt tewerk kunnen gaan. Neem een volledig stelsel en laat steeds een vector weg die al een lineaire combinatie is van andere vectoren in het stelsel, tot het niet meer gaat. De overblijvende vectoren vormen een lineair onafhankelijk stelsel dat nog steeds volledig is, dus een basis. Het voert hier te ver om in te gaan op enkele fundamentele moeilijkheden bij het boven beschreven keuzeproces. Aangetoond kan worden dat met behulp van het zgn. keuze-axioma het proces uitgevoerd kan worden, met als gevolg dat iedere lineaire ruimte een basis heeft.

Stelling 5.2

Als het keuze-axioma geldt, heeft iedere lineaire ruimte een basis.

Voorbeelden

In de lineaire ruimte $\mathbb {R} ^{3}$ van de rijtjes van drie reële getallen vormen de zogenaamde eenheidsvectoren (1,0,0), (0,1,0) en (0,0,1) vanzelfsprekend een basis. Zij zijn overduidelijk lineair onafhankelijk en brengen uiteraard de hele ruimte voort.

Ook de drie vectoren (1,1,0), (1,0,1) en (0,1,1) vormen een basis, evenals het drietal (1,1,0), (2,1,0) en (-1,1,1).

In de lineaire ruimte van polynomen met reële coëfficiënten vormen de polynomen $1,\,x,\,x^{2},\,\ldots ,x^{n},\ldots$ een basis met (aftelbaar) oneindig veel elementen. Ieder polynoom is immers een (eindige) lineaire combinatie van deze polynomen.