Lineaire algebra/Tensor

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek

Inhoud

[bewerken] Inleiding

De term Tensor (Latijn: tendere, spannen) werd voor het eerst omstreeks 1840 gebruikt door Hamilton, die daarmee de absolute waarde van een quaternion aanduidde, dus niet een tensor in de huidige betekenis. Tensor in de tegenwoordige betekenis als generalisatie van vector en matrix werd als term ingevoerd door Woldemar Voigt in 1898.

[bewerken] Tensor als tensorproduct

Van twee vectoren v en w uit resp. de vectorruimten V en W, beide over hetzelfde lichaam K, vormen we het tensorproduct:

v \otimes w

als (formele) bilineaire vorm.

Er geldt dus voor willekeurige vectoren v1 en v2 uit V, w1 en w2 uit W en scalairen λ uit K:

(v_1+v_2)\otimes w = v_1\otimes w + v_2\otimes w
v\otimes(w_1 + w_2) = v\otimes w_1 + v\otimes w_2
(\lambda v)\otimes w = \lambda\,(v\otimes w) = v\otimes(\lambda w)

Let wel dat er tussen de tensorproducten v\otimes w en w\otimes v in het algemeen geen relatie is, zelfs als V = W, hoewel ze dan wel beide tot dezelfde ruimte behoren. Zijn V en W verschillend dan behoren beide tensorproducten zelfs tot verschillende vectorruimten.

De ruimte van tensorproducten, het tensorproduct V \otimes W van de ruimtem V en W, is de lineaire ruimte voortgebracht door alle tensorproducten en bevat dus alle sommen van de vorm:

\sum_{j=1}^k v_j\otimes w_j,\qquad k\in\N,\quad v_1,\dots,v_k\in V,\quad w_1,\dots,w_k\in W,

die de meest algemen vorm van een tensor van rang 2 zijn

De bovenstaande voorstelling van een tensor uit het tensorproduct V \otimes W is niet eenduidig; ze kan op vele manieren gerealiseerd worden.

Omdat V \otimes W zelf ook een vectorruimte overK is, kunnen we het tensorproduct

u\otimes(v\otimes w)

vormen van een vector u uit de vectorruimte U over K en v \otimes w uit V \otimes W.

Het blijkt dat we voor de verdere theorie geen onderscheid hoeven te maken tussen:

u\otimes(v\otimes w) en (u\otimes v) \otimes w,

zodat we ze gelijkstellen aan de trilineaire vorm:

u\otimes v\otimes w

Zo verdergaand kunnen we tensorproducten maken met willekeurig veel factoren:

v_1\otimes v_2\otimes\dots\otimes v_n,\qquad v_j\in V_j,\quad j=1,\dots,n.


Een willekeurige tensor kan nu voorgesteld worden als lineaire combinatie van tensorprodukten van basisvectoren van de vectorruimten:

\sum_{j_1\in d_1,\dots,j_n\in d_n} T_{j_1,\dots,j_n}\;e^{(1)}_{j_1}\otimes\dots\otimes e^{(n)}_{j_n}.

Daarin is ei(k) de i-de basisvector van de ruimte Vk, waaruit de k-de factor van het tensorproduct komt. Het getal dk is de dimensie van Vk.

[bewerken] Voorbeeld

Zij a en c uit V met basids (e) en b en d uit W met basis (f), en

a = 3e1 + 7e2
b = 2f1 + f2
c = 5e1 − e2
d = f1 + 4f2

Dan is

a\otimes b=(3e_1+7e_2)\otimes(2f_1+f_2)=
=6e_1\otimes f_1+3e_1\otimes f_2+14e_2\otimes f_1+7e_2\otimes f_2
c\otimes d=(5e_1-e_2)\otimes(f_1+4f_2)=
=5e_1\otimes f_1+20e_1\otimes f_2-e_2\otimes f_1-4e_2\otimes f_2,

zodat

a\otimes b+c\otimes d=11e_1\otimes f_1+23e_1\otimes f_2+13e_2\otimes f_1+3e_2\otimes f_2

[bewerken] Tensor als multilineaire afbeelding

Een tensor T is een multilineaire afbeelding in een vectorruimte W:

T:V_1^{}\times V_2^{}\times\dots\times V_n^{}\to W.

gedefinieerd op het Cartesisch product van de vectorruimten V_1,\ \dots,\ V_n alle, net als W, over het lichaam K. Het aantal n van deze ruimten heet de rang van T

Multilineair betekent:

T(v_1,\dots,x_i+y_i,\dots,v_n)=T(v_1,\dots,x_i,\dots ,v_n)+T(v_1,\dots ,y_i,\dots ,v_n)
T(v_1,\dots ,\lambda x_i,\dots , v_n)=\lambda T(v_1,\dots ,x_i,\dots ,v_n)

voor willekeurige indices, vectoren en scalairen.

Een tensor als multilineaire vorm kan geïdentificeerd worden met het tensorproduct, volgens:

T(v_1, \dots\ , v_n) = v_1\otimes v_2\otimes\dots\otimes v_n,\qquad v_j\in V_j,\quad j=1,\dots,n.

[bewerken] Tensor als generalisatie van matrix

Als praktische toepassing van tensoren is het meestal voldoende een tensor op te vatten als generalisatie van het begrip matrix. We kunnen dan onderscheiden:

  • tensoren van de rang 0: scalairen
  • tensoren van de rang 1: rij- en kolomvectoren
  • tensoren van de rang 2: matrices
  • tensoren van de rang 3: drievoudig geïndiceerde, dus blokvormig geordende, getallen,
  • tensoren van de rang m: m-voudig geïndiceerde getallen,

Een tensor van rang m is een m-voudig geïndiceerde set getallen:

T=(T_{i_1,i_2,...,i_m})_{i_k=1,\dots,n_k,\;k=1,\dots,m}

Voor het gemak wordt een tensor vaak slechts aangeduid door het algemene element (een reëel of complex getal):

T_{i_1,i_2,...,i_m},

waarbij het uit de contekst duidelijk is welke waarden de indices doorlopen.

Analoog aan het gedrag van vectoren en matrices onder bepaalde transformaties, worden ook aan tensoren wat dat betreft bepaalde eisen gesteld.

[bewerken] Tensor in de wiskunde

Om het begrip tensor goed te funderen wordt een tensor in de wiskunde ingevoerd door middel van het tensorproduct van modulen en algebra's.

[bewerken] Tensor in de natuurkunde

In de natuurkunde komen o.a. tensoren voor als traagheidstensor en spanningstensor. Anders dan veel verbanden gaat het daarbij niet om een evenredigheid, maar om een richtingsafhankelijke evenredigheid. Voor een rotatie geldt bijvoorbeeld als verband tussen het koppel \vec{T} en de hoekversnelling \vec{\alpha}:

\vec T=I\cdot {\vec\alpha}.

Daarin is de tensor I het traagheidsmoment van het beschouwde object. Een object dat langs meerdere assen kan draaien heeft in principe voor elke rotatie-as een ander traagheidsmoment. Deze 'traagheidstensor' kan voor bewegingen in drie dimensies geschreven worden als een 3x3-matrix die het traagheidmoment langs alle mogelijke assen aangeeft.

[bewerken] (r,s)-tensor

Een aparte klasse van tensoren zijn de zogeheten (r,s)-tensoren. Het zijn tensoren van de rang r+s met r factoren uit de duale ruimte V * van een vectorruimte V en s factoren uit de ruimte zelf. Het zijn dus elementen van

\begin{matrix}(V^*)^{\otimes r}\otimes V^{\otimes s} &=& \underbrace{V^*\otimes\cdots\otimes V^*}&\otimes&\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}\\&& r && s\end{matrix}

Zo is een scalair een (0,0)-tensor, een vector uit V een (0,1)-tensor, een element van V * , een eenvorm, een (1,0)-tensor, een bilineaire vorm op V een (2,0)-tensor en kan een (1,1)-tensor als een endomorfisme van V opgevat worden.

Voor (r,s)-tensoren zijn de volgende drie bewerkingen belangrijk:

  • Door het "vermenigvuldigen" van een (r1,s1)-tensor met een (r2,s2)-tensor ontstaat een (r1 + r2,s1 + s2)-tensor in de ruimte:
((V^*)^{\otimes r_1}\otimes V^{\otimes s_1})\otimes((V^*)^{\otimes r_2}\otimes V^{\otimes s_2})\cong(V^*)^{\otimes(r_1+r_2)}\otimes V^{\otimes(s_1+s_2)}.
  • Door contractie wordt uit een (r,s)-tensor een (r-1,s-1)-tensor gevormd: uit de tensor
\lambda_1\otimes\cdots\otimes\lambda_i\otimes\cdots\otimes\lambda_r\otimes v_1\otimes\cdots\otimes v_j\otimes\cdots\otimes v_s
ontsaat voor een covariante index i en een contravariante index j de tensor
\lambda_i(v_j)\,(\lambda_1\otimes\cdots\otimes\lambda_{i-1} \otimes\lambda_{i+1}\otimes\cdots\otimes\lambda_r\otimes v_1\otimes\cdots\otimes v_{j-1}\otimes v_{j+1}\otimes\cdots\otimes v_s)
  • Als op V een inproduct gegeven is, kunnen V en V * met elkaar geïdentificeerd worden, zodat er een verband gelegd kan worden tussen (r,s)-tensoren en (r + k,s − k)-tensoren.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Persoonlijke instellingen