Lineaire algebra/Getallenruimte

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek
Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Tensor

Zoals we in het voorgaande gezien hebben wordt de structuur van een lineaire ruimte over een lichaam K, door de keuze van een basis overgebracht naar een ruimte met "rijtjes" getallen uit K. Veel van de theorie over eindig-dimensionale vectorruimten over een lichaam K kan bestudeerd worden aan de hand van de ruimten van rijtjes getallen uit K met dezelfde dimensie. Zonder de algemeenheid veel schade te doen nemen we voor K de reële getallen en bestuderen de ruimte \R^n van rijtjes van een eindig aantal n reële getallen.

Inhoud

[bewerken] Definitie 13.1

Onder de \R^n verstaan we het cartesisch product met als factoren n keer de reële getallen:

\R^n = \R\times\cdots\times\R=\{(x_1,x_2,...,x_n)|x_i\in\R\}


We vatten de \R^n op voor de hand liggende wijze op als lineaire ruimte.

[bewerken] Stelling 13.1

De \R^n is met als optelling:

\,(x_1,...,x_n)+(y_1,...,y_n)=(x_1+y_1,...,x_n+y_n)

en als scalaire vermenigvuldiging:

\,a(x_1,...,x_n)=(ax_1,...,ax_n),

een lineaire ruimte over \R.


Een speciale rol spelen de zgn. eenheidsvectoren, de rijtjes met op één plaats een 1 en verder nullen.

[bewerken] Definitie 13.2

Onder de i-de eenheidsvector verstaan we de vector

\,e_i=(0,...,0,1,0,...,0),

met de 1 op de i-de plaats.

Het is duidelijk dat de eenheidsvectoren de hele ruimte voortbrengen en ook lineair onafhankelijk zijn, dus een basis vormen.

[bewerken] Stelling 13.2

Het stelsel eenheidsvectoren \,E=(e_1,...,e_n) is een basis van \R^n.

Vanwege de speciale rol van het stelsel eenheidsvectoren E heeft het ook een speciale naam.

[bewerken] Definitie 13.3

We noemen het stelsel eenheidsvectoren \,E=(e_1,...,e_n) de canonieke basis van \R^n.


Een lineaire afbeelding A: \R^n \to \R^m wordt bepaald door de beelden \,A(e_i)=a_i van de eenheidsvectoren, dus door de rij vectoren:

\,a=(a_1,...,a_n)=((a_{11},...,a_{1m}),...,(a_{n1},...,a_{nm})) \in (R^m)^n.

Zo'n rij vectoren noemen we een matrix.

[bewerken] Definitie 13.4

Onder een n×m-matrix a verstaan we een element van het cartesisch product met als factoren n keer de \,R^m, dus een rij van n m-dimensionale vectoren:

\, a\in (R^m)^n.

We noteren een n×m-matrix overzichtelijk door de vectoren zonder haken in een rechthoekig schema onder elkaar als een kolom te schrijven, omsloten door rechte haken. De bovenstaande n×m-matrix a noteren we als:

a =(a_1,...,a_n) = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} \\ \end{bmatrix}


Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Persoonlijke instellingen