Lineaire algebra/Lineaire combinatie

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek
Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Tensor

Zoals we gezien hebben zijn de scalaire veelvouden van vectoren en ook de som van vectoren weer vectoren uit dezelfde ruimte. We kunnen dus combinaties maken van de som van veelvouden van vectoren.

Inhoud

[bewerken] Definitie 2.1

Een geordend eindig aantal vectoren \,x_1,...,x_m of een geïndiceerd willekeurig aantal \,(x_i,i\in I) noemen we een stelsel vectoren.

[bewerken] Definitie 2.2.a

Onder een lineaire combinatie van een eindig stelsel van m vectoren \,(x_1,...,x_m) verstaan we een som van scalaire veelvouden van deze vectoren, dus een vector van de vorm:

\,\alpha_1 x_1+...+\alpha_m x_m= \sum_{i=1}^m \alpha_i x_i

[bewerken] Definitie 2.2.b

Onder een lineaire combinatie van een willekeurig stelsel vectoren verstaan we een lineaire combinatie van een eindig aantal van deze vectoren.

[bewerken] Voorbeelden

In de driedimensionele euclidische ruimte is de vector (2,5,6) een lineaire combinatie van de vectoren (1,1,0) en (0,1,2), want:

(2,5,6)=(2,2,0)+(0,3,6)=2(1,1,0)+3(0,1,2)\,

De complexe getallen zijn lineaire combinaties van de complexe getallen 1 en i; immers een complex getal is van de vorm:

a+bi = a\cdot 1+ b\cdot i\,.


De scalaire veelvouden van een vector x vormen a.h.w. een deelverzameling van V, een soort lijn, die geheel door x bepaald wordt. Voegen we nog een vector y die geen veelvoud van x is toe dan vormen de lineaire combinaties van x en y een soort vlak door de lijnen die door x en door y bepaald woren. De "lijnen" en het vlak" zijn zelf ook lineaire ruimte over K

[bewerken] Definitie 2.3

We zeggen dat de deelverzameling \,D(x_i,i\in I) van V die bestaat uit de lineaire combinaties van het stelsel vectoren \,(x_i,i\in I) door dit stelsel wordt voortgebracht of opgespannen.

Een eindig stelsel van m vectoren \,x_1,...,x_m brengt dus de deelverzameling

D(x_1,...,x_m)=\{\sum_{i=1}^m \alpha_i x_i|\alpha_i \in K\}

voort.

Voor een willekeurig stelsel \,(x_i,i\in I) geldt dat bij elke vector x in de voortgebrachte deelverzameling een eindig aantal vectoren \,x_{i_1},...,x_{i_m} gevonden kam worden waarvan x een lineaire combinatie is, dus:

x \in D(x_i,i\in I) \Larr \Rarr \exist{m};{\alpha_1 \ldots,\alpha_m \in K};{i_1 \ldots,i_m \in I}:x=\sum_{k=1}^m \alpha_k x_{i_k}

[bewerken] Voorbeelden

In de driedimensionele euclidische ruimte brengen de vectoren (1,1,0) en (0,1,2) een vlak voort van alle lineaire combinaties van deze twee vectoren.

De complexe getallen worden voortgebracht door de complexe getallen 1 en i.


Zoals we al eerder vermeldden, is de voortgebrachte deelverzameling een lineaire deelruimte.

[bewerken] Stelling 2.1

De door een stelsel vectoren voortgebrachte deelverzameling \,D(x_i,i\in I) van V is een lineaire deelruimte.


Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Persoonlijke instellingen