Lineaire algebra/Covariant en contravariant

Uit Wikibooks

Zowel de elementen uit de n-dimensionale vectorruimte V als de eenvormen uit de duale ruimte V^* kunnen door keuze van een basis $(v_1,...,v_n)\,$ op vanzelfsprekende wijze voorgesteld worden door rijtjes uit de $\R^n$ . Zo worden

$x=\xi_1v_1+\ldots+\xi_nv_n \in V$

en

$u=\eta_1v_1^*+\ldots+\eta_nv_n^* \in V^*$

voorgesteld door respectievelijk:

$\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$

en

$\eta=(\eta_1,\ldots,\eta_n)$

Er geldt:

$u(x) = (\eta_1v^*_1+...+\eta_nv^*_n)(\xi_1v_1+...+\xi_nv_n) = \eta_1\xi_1+\ldots+\eta_n\xi_n$

Gaan we over op een andere basis $(w_1,...,w_n)\,$ van V dan krijge x en u andere coördinaten:

$x=\xi_1v_1+\ldots+\xi_nv_n=\xi'_1w_1+\ldots+\xi'_nw_n$

en

$u=\eta_1v_1^*+\ldots+\eta_nv_n^*=\eta'_1w_1^*+\ldots+\eta'_nw_n^*$

Er geldt dan:

$u(x)=\eta_1\xi_1+\ldots+\eta_n\xi_n=\eta'_1\xi'_1+\ldots+\eta'_n\xi'_n$

De relatie tussen ξ en ξ' en wordt bepaald door de coördinatiseringen:

$\xi=\kappa_vx\,$

en

$\xi'=\kappa_wx,\,$

dus

$\xi'=\kappa_w\kappa_v^{-1}\xi=\Gamma_{wv}\xi=\Gamma\xi\,.$

Daarin is Γ de "gewone" coördinatentransformatie. De coördinaten ξ transformeren op de gewone manier tot ξ'. Dat houdt in dat als een basisvector langer gekozen wordt, de bijbehorende coördinaat kleiner wordt. De coördinaten gedragen zich a.h.w. tegengesteld aan de basisvectoren. Men noemt ξ en ook x zelf daarom contravariant.

Anders is het natuurlijk met η en u. De relatie tussen η en η' en wordt bepaald door de coördinatiseringen:

$\eta=\kappa_{v^*}u\,$

en

$\eta'=\kappa_{w^*}u,\,$

zodat

$\eta'=\kappa_{w^*}\kappa_{v^*}^{-1}\eta=\Gamma_{w^*v^*}\eta=\Gamma^*\eta\,$

Daarin is Γ^* de coördinatentransformatie van de duale bases. Daarvoor geldt:

$\Gamma^*=\Gamma^T\,,$

immers:

$\delta_{km}=w^*_k(w_m)=w^*_k(\Gamma_{m1}v_1+...+\Gamma_{mn}v_n)= \Gamma_{m1}w^*_k(v_1)+...+\Gamma_{mn}w^*_k(v_n)= \Gamma_{m1}\Gamma^*_{k1}+...+\Gamma_{mn}\Gamma^*_{kn}$

De coördinaten η transformeren dus "anders dan bij een gewone" vector tot η'. Zij gdragen zich in overeenstemming met de basisvectoren. Men noemt η en ook u zelf daarom covariant.

Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.

Lineaire algebra/Covariant en contravariant

Uit Wikibooks

Weergaven

Persoonlijke instellingen

Navigatie

Zoeken

zusterprojecten

Afdrukken/exporteren

Hulpmiddelen