Lineaire algebra/Lineaire afbeelding

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek
Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Tensor

We hebben al gezien dat de coördinatisering \kappa_B: V \to K^n de lineaire ruimte V met basis B afbeeldt in (op) de lineaire ruimte Kn. Deze afbeelding heeft de volgende eigenschappen:

\kappa_B(x+y) = \kappa_B(\sum_{k=1}^n \xi_k b_k + \sum_{k=1}^n \eta_k b_k) = \kappa_B(\sum_{k=1}^n (\xi_k + \eta_k) b_k) =
\,=(\xi_1 + \eta_1,...,\xi_n + \eta_n) = (\xi_1,...,\xi_n)+ (\eta_1,...,\eta_n) = \kappa_B(x)+\kappa_B(y)

en

\kappa_B(\alpha x) = \kappa_B(\alpha \sum_{k=1}^n \xi_k b_k) =\kappa_B(\sum_{k=1}^n \alpha \xi_k b_k) = (\alpha \xi_1,...,\alpha \xi_n) = \alpha \kappa_B(x)

Een lineaire combinatie van vectoren wordt dus afgebeeld op dezelfde lineaire combinatie van de beelden van die vectoren. En dat is maar goed ook voor een coördinatisering. Zulke afbeeldingen houden dus (zo goed mogelijk) de lineaire structuur in stand; we noemen ze daarom lineaire afbeeldingen.

[bewerken] Definitie 10.1

Een afbeelding A:\,V \to W van de lineaire ruimte V naar de lineaire ruimte W, beide over K, heet lineair als geldt:

\,A(x+y) = A(x)+A(y)

en

\,A(\alpha x) = \alpha A(x).

De beide vectorruimten hoeven niet eindig-dimensionaal te zijn, noch van gelijke dimensie en de afbeelding hoeft noch injectief, noch surjectief te zijn.

[bewerken] Voorbeeld 10.1

We beelden de vectorruimte \R^2 af op zichzelf met de lineaire afbeelding A, gegeven door de beelden van de eenheisvectoren: A(1,0)=(1,1) en A(0,1)=(-1,1). Omdat de afbeelding lineair is, ligt hiermee de hele afbeelding vast, want:

\,A(\alpha_1,\alpha_2) = A(\alpha_1 (1,0)+\alpha_2 (0,1))= \alpha_1 A(1,0)+\alpha_2A(0,1)=
\, =\alpha_1 (1,1)+\alpha_2 (-1,1) = (\alpha_1 - \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2)


Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Persoonlijke instellingen