Lineaire algebra/Matrix

Uit Wikibooks

Hoofdstukken

In het voorgaande hebben we al gezien dat een lineaire afbeelding $A:\,V \to W$ van de lineaire ruimte V naar de lineaire ruimte W, geheel bepaald is door de beelden van een basis. Immers: als $\,B=(b_1,...,b_n)$ een basis is van V en x is een element van V, dan is:

$\,x=\sum_i \xi_i b_i$ ,

zodat

$\,A(x)=\sum_i \xi_i A(b_i)$ .

De beelden van de basisvectoren uit B zijn lineaire combinaties van een basis $\,C=(c_1,...,c_m)$ van W:

$\,A(b_i)=\sum_j \gamma_{ij} c_j$ .

Zo wordt:

$\,A(x)=\sum_i \xi_i \sum_j \gamma_{ij} c_j = \sum_{ij} \xi_i \gamma_{ij} c_j$ .

Bij gegeven bases B van V en C van W wordt het beeld onder A van een vector bepaald door de getallen $\,(\gamma_{ij})$ . Daarvoor geldt:

$\,\gamma_{ij}=(\kappa_C A(b_i))_j$ ,

dus de j-de coördinaat van $\,A(b_i)$ t.o.v de basis C.

Voor een beter overzicht nemen we aan dat dim(V)=n en dim(W)=m.

De rij:

$\,(\kappa_C A(b_1),...,\kappa_C A(b_n)) = ((\gamma_{11},...,\gamma_{1m}),...,(\gamma_{n1},...,\gamma_{nm}))$

legt dus (samen met de beide bases B en C) de lineaire afbeelding A vast. Die rij is een element van $\,(K^m)^n$ , en wordt n×m-matrix genoemd. Zo'n matrix wordt overzichtelijk opgeschreven als een rechthoekig schema met n rijen en m kolommen. De n rijen zijn juist de coördinaten van de n beeldvectoren:

$\gamma= \begin{bmatrix} \gamma_{11} & \gamma_{12} & \ldots & \gamma_{1m} \\ \gamma_{21} & \gamma_{22} & \ldots & \gamma_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \gamma_{n1} & \gamma_{n2} & \ldots & \gamma_{nm} \\ \end{bmatrix}$

het is gebruikelijk om niet deze n×m-matrix , maar de m×n-matrix α waarin de beeldvectoren als kolommen voorkomen,

$\alpha = \begin{bmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \ldots & \alpha_{1n} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \ldots & \alpha_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \alpha_{m2} & \ldots & \alpha_{mn} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_{11} & \gamma_{21} & \ldots & \gamma_{n1} \\ \gamma_{12} & \gamma_{22} & \ldots & \gamma_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \gamma_{1m} & \gamma_{2m} & \ldots & \gamma_{nm} \\ \end{bmatrix}$

als de matrix van A op te vatten. Omdat beide matrices dezelfde getallen betreffen, alleen getransponeerd opgeschreven, heten ze ook elkaars getransponeerden.

$\,\alpha = \gamma^T$

Er geldt:

$\,\alpha_{ij}= \gamma_{ji}$ .

We zien ook hier dat door de keuze van bases de structuur van lineaire ruimten en afbeeldingen a.h.w. overgebracht wordt naar getalruimten en getalstructuren. We zullen ons daarom eerst daar eens mee bezighouden.

[bewerk] Definitie 12.1

Onder een n×m-matrix A (zeg: n bij m matrix) verstaan we een element van $(K^m)^n\,$ . We zeggen dat de matrix A n rijen en m kolommen heeft. Het getal

$A_{rk}=(A_r)_k\,$

heet het rk-de element van de matrix, of ook het element in de r-de rij en k-de kolom.

De wijzigingen aan deze pagina van voor 15 april 2007 vallen alléén onder de GFDL, en niet onder de CC-BY-SA-licentie.
U kunt de inhoud van deze pagina dan ook alleen onder de voorwaarden van de GFDL (her)gebruiken.

Niet alle bijdragers van voor 15 april 2007 hebben hun werk vrijgegeven onder de dubbellicentie GFDL&CC-BY-SA. Kijk hier voor meer informatie.
Lijst van gebruikers die hun wijzigingen niet hebben vrijgegeven onder beide licenties

Lineaire algebra/Matrix

Uit Wikibooks

[bewerk] Definitie 12.1

Aspecten/acties

Persoonlijke instellingen

Navigatie

Zoeken

zusterprojecten

Hulpmiddelen