Nu we weten wat een coördinatisering is, realiseren we ons dat deze afhankelijk is van de basis waarop hij betrekking heeft. Wat nu als we nog een andere basis beschouwen? Een vector heeft t.o.v. beide bases coördinaten. Wat is de relatie tussen beide?
Laat
een vectorruimte met dimensie
over het lichaam
zijn en
en
twee geordende bases van
. Een vector
heeft t.o.v. beide bases coördinaten:
![{\displaystyle x=\xi _{1}b_{1}+\ldots +\xi _{n}b_{n}=\chi _{1}c_{1}+\ldots +\chi _{n}c_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39f49b9ed1e908dd5b0c39f4c3c35bcfa67f46f)
We zoeken de relatie tussen de coördinaten
t.o.v.
en de coördinaten
t.o.v. de basis
.
Die relatie kunnen we te weten komen, als we het verband kennen tussen de beide bases. De basisvectoren uit
kunnen we uitdrukken in die van
:
![{\displaystyle c_{r}=\gamma _{r1}b_{1}+\ldots +\gamma _{r1}b_{n}=\sum _{k=1}^{n}\gamma _{rk}b_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8bda5710185230ab5bb924e5fa39c0198a264a)
Daarin zijn de
getallen
niets anders dan de coördinaten van de basisvectoren uit
t.o.v. de basis
.
Voor
kunnen we nu afleiden:
![{\displaystyle x=\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}b_{k}=\sum _{r=1}^{n}\chi _{r}c_{r}=\sum _{r=1}^{n}\chi _{r}\sum _{k=1}^{n}\gamma _{rk}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{r=1}^{n}\chi _{r}\gamma _{rk}b_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f10dbb787834142892872bf862f35ad3bcb588e)
Omdat een vector maar op één manier als lineaire combinatie van basisvectoren kan worden geschreven, moet dus gelden dat:
![{\displaystyle \xi _{k}=\sum _{r=1}^{n}\chi _{r}\gamma _{rk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124560e0a6a16d801c8e4f97395ee71800c2fb61)
Deze relatie is eigenlijk een afbeelding:
,
die aan de coördinaten van een vector t.o.v.
de coördinaten t.o.v.
toevoegt. We noemen deze afbeelding een coördinatentransformatie en kunnen die uitdrukken in de coördinatiseringen:
.
x
/ \
/ \
/ \
Zij
een vectorruimte met dimensie
over het lichaam
, en
en
twee bases van
. We noemen de afbeelding
die de coördinaten van een vector t.o.v.
afbeeldt op de coördinaten t.o.v.
, een coördinatentransformatie.