Klassieke Mechanica/Lagrange

De methode van Lagrange

De methode die de wiskundige Lagrange uitwerkte voor het opstellen van de differentiaalvergelijkingen, die de beweging van een systeem beschrijven, behoort waarschijnlijk tot één van de belangrijkste bijdragen aan de fysica na de wetten van Newton. De man wordt als Fransman beschouwd, maar werd met de naam 'Lagrangia' in Turijn geboren in 1736. Daar staat dan ook een standbeeld van hem. Hij werkte zowel in Frankrijk als in Pruisen en stierf uiteindelijk in Parijs in 1813. Hij werd er begraven in het Pantheon. Hij en Euler worden beschouwd als de grootste wiskundigen van de achttiende eeuw. Zijn aanpak gaat uit van de kinetische en potentiële energie. Dit zijn scalaire functies, die vrij gemakkelijk op te schrijven zijn. Als scalaire functies zijn ze ook additief. De totale kinetische enrgie van een systeem is de som van de kinetische energieën van de delen. Verder gebruikt hij zogenaamde veralgemeende coördinaten. Dit kan elke parameter zijn waarmee de positie van een onderdeel van een systeem eenduidig kan aangegeven worden. De bewegingsvergelijkingen worden afgeleid door differentiëren, een vrij eenvoudige bewerking. Zijn aanpak bleek ook buiten de mechanica toepasbaar.

De aanpak van Lagrange bouwt verder op de ideeën van vrijheidsgraden en veralgemeende coördinaten, die reeds in het hoofdstuk over virtuele arbeid voorgesteld werden. Even ter herhaling: het aantal vrijheidsgraden van een systeem is het aantal onafhankelijke parameters dat nodig is om de positie van het systeem eenduidig te bepalen, bij behoud van de bestaande verbindingen. Onafhankelijk betekent dat het mogelijk is de waarde van één parameter te veranderen zonder dat er iets verandert aan de andere. Deze parameters noemt men de veralgemeende coördinaten q_i. Wie niet vertrouwd is met deze begrippen, wordt sterk aangeraden om de paragraaf uit virtuele arbeid eens te lezen vooraleer verder te gaan.

Binnen een systeem zijn de verschillende punten dus aan beperkingen onderworpen, die men verbindingen noemt. Deze verbindingen kunnen onder verschillende vormen voorkomen. Er zijn:

• holonome verbindingen. De naam is ontleed aan het griekse ὁλος = geheel en νομος = regel. Dit zijn verbindingen die kunnen beschreven worden als een functie van 2 of meer coördinaten en eventueel de tijd, zodat het totaal aantal parameters om het systeem te beschrijven met 1 kan verminderd worden. Ze nemen normaal de vorm aan van een functie

$f({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3},...,{\vec {r}}_{n},t)=0$

• niet-holonome verbindingen: de verbinding kan niet in de bovenstaande vorm gegoten worden, maar is bv. te schrijven als een ongelijkheid :$({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})^{2}<C$ of als differentiaalvergelijkingen, die samen met de bewegingsvergelijkingen moeten worden opgelost.

Men onderscheidt verder:

• scleronome verbindingen: verbindingen die niet veranderen in de tijd, niet expliciet functie zijn van de tijd. Van het Grieks σκληρος = hard, niet veranderend.
• rheonome verbindingen: verbindingen die wel veranderen in de tijd. Van het Grieks ρεω = vloeien.

Vergelijkingen van Lagrange van de eerste vorm

Voor wat volgt wordt ondersteld dat men werkt met holonome verbindingen. In de praktijk is dat meestal het geval. Het formalisme van Lagrange kan afgeleid worden uit de virtuele arbeid of via variatierekenen. Meest klassiek is de afleiding vertrekkend van virtuele arbeid, die ook hier zal gevolgd worden. Hiervoor moet de formulering echter eerst uitgebreid worden voor dynamische situaties. De wet van Newton kan geschreven worden in functie van de impuls p van een puntmassa in het i-de punt als:

$\sum _{j}{\vec {F_{i,j}}}={\dot {\vec {p_{i}}}}$

waarbij het linkerlid alle krachten bevat die op die massa werken.
Wanneer men het rechterlid naar het linkerlid overbrengt, bekomt men een som die 0 moet zijn als in de statica. Daarbij wordt de $-{\dot {\vec {p}}}_{i}$ meestal gezien als een traagheidskracht. Men noemt dit ook het principe van d'Alembert. Past men hierop nu virtuele arbeid toe en sommeert men over het hele systeem, dan krijgt men:

$\sum _{i}(\sum _{j}{\vec {F}}_{i,j}-{\dot {\vec {p}}}_{i})\cdot \delta {\vec {r}}_{i}=0$

Beschouwt men alleen virtuele verplaatsingen die verenigbaar zijn met de verbindingen, dan is er een reeks krachten die geen arbeid leveren: de inwendige krachten bij een star voorwerp, de ideale verbindingskrachten. De krachten die wel arbeid leveren zullen actieve krachten genoemd worden. De bovenstaande formule kan dus vereenvoudigd worden tot:

$\sum _{i}(\sum _{j}{\vec {F}}_{i,j}^{a}-{\dot {\vec {p}}}_{i})\cdot \delta {\vec {r}}_{i}=0$     (I)

waarbij F^a een actieve kracht voorstelt.

Men moet deze virtuele arbeid nu echter kunnen uitdrukken als functie van de veralgemeende coördinaten q_i. Dit gebeurt op basis van de transformatievergelijkingen:

${\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i}(q_{1},q_{2},q_{3}...,q_{n},t)$

In tegenstelling tot de virtuele arbeid in de statica, kunnen deze transformatievergelijkingen ook expliciet de tijd bevatten. Men vindt voor een paar afgeleide grootheden:

${\vec {v}}_{i}=\sum _{j}{{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}{\frac {dq_{j}}{dt}}}+{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial t}}=\sum _{j}{{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial t}}$     (II)

De virtuele verplaatsing kan dan geschreven worden in functie van de veralgemeende coördinaten als:

$\delta {\vec {r}}_{i}=\sum _{j}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}$

Er wordt hier geen rekening gehouden met de (expliciete) tijdsafhankelijkheid omdat men alleen kijkt naar de arbeid bij een verplaatsing volgens de parameterlijnen van de veralgemeende coördinaten. Klassiek zegt men dat men bij virtuele arbeid het systeem beschouwt op een bepaald ogenblik en dan kijkt naar de mogelijke verplaatsingen verenigbaar met de verbindingen. Voor de werkelijke verplaatsing moet men ook de verplaatsing als expliciete functie van de tijd meerekenen. Een hypothese is te stellen dat er alleen expliciete tijdsafhankelijkheid kan optreden bij holonome verbindingen indien er een vrijheidsgraad in het systeem is, waaraan men reeds een beweging opgelegd heeft zodat die niet meer als effectieve vrijheidsgraad beschouwd wordt.

verschil tussen virtuele en reële verplaatsing

Voorbeeld. Stelt men dat een systeem, zoals in de figuur hiernaast, met constante hoeksnelheid rond draait. dan is er geen vrijheidsgraad van rotatie rond de as. De reële verplaatsing dr is dan de som van de virtuele verplaatsing δr en een bijdrage r.ω.dt loodrecht op de gleuf. Als men zou vragen welk moment er moet uitgeoefend worden op de as om een constante hoeksnelheid te bekomen tijdens het trillen van de massa, dan zou men wel een vrijheidsgraad van rotatie rond de as moeten beschouwen. Bemerk dat er door de verbindingskracht tussen blok en staaf wel uitwisseling van arbeid gebeurt tijdens een reële verplaatsing want dan is er wel een component van de kracht in de richting van de verplaatsing. Een voorbeeld is echter geen bewijs.

De virtuele arbeid van de actieve krachten wordt zoals in de statica:

$\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\cdot \delta {\vec {r}}_{i}=\sum _{i,j}{\vec {F}}_{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j}Q_{j}\delta q_{j}$

De Q_j die hierin voorkomt noemt men de veralgemeende kracht en beantwoordt dus aan:

$Q_{j}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}$

Deze Q_j hoeven niet de dimensie van een kracht te hebben, maar de producten met de δq_j moeten de dimensie hebben van een arbeid.

Tenslotte zullen een paar ingenieuse transformaties toegepast worden op de term

$\sum _{i}{\dot {\vec {p}}}_{i}\cdot \delta {\vec {r}}_{i}=\sum _{i,j}m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}$

Als men het differentiëren naar de tijd naar voor brengt, krijgt men meer dan nodig is:

${\frac {d}{dt}}(m_{i}{\vec {v}}_{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}})=m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}+m_{i}{\vec {v}}_{i}\cdot {\frac {d}{dt}}({\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}})$

De term die men nodig heeft wordt dus:

$\sum _{i}m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}=\sum _{i}\left[{\frac {d}{dt}}(m_{i}{\vec {v}}_{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}})\right]-m_{i}{\vec {v}}_{i}\cdot {\frac {d}{dt}}({\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}})$      (III)

Wanneer men naar de uitdrukking II voor de snelheid kijkt, dan blijkt dat

${\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial {\vec {v}}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}$

Hiermede word de eerste term in III:

$\sum _{i}{\frac {d}{dt}}(m_{i}{\vec {v}}_{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}})=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}(m_{i}{\vec {v}}_{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}})=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}_{j}}}(m_{i}.v_{i}^{2}/2)\right)={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)$ met T = de kinetische energie van het systeem.

Om de afleiding naar de tijd in de tweede term in (III) uit te rekenen, volgt men dezelfde weg als bij de snelheid:

${\frac {d}{dt}}({\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}})=\sum _{k}{\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}\partial t}}$

Wanneer men deze uitdrukking vergelijkt met de uitdrukking voor de snelheid , dan blijkt dat

${\frac {d}{dt}}({\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}})={\frac {\partial {\vec {v}}_{i}}{\partial q_{j}}}$

De tweede term in III kan dus geschreven worden als

$\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}\cdot {\frac {d}{dt}}({\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}})=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}_{i}}{\partial q_{j}}}=\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}(m_{i}v_{i}^{2}/2)={\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}$

Alles invullen in I

$\sum _{j}\left[\left({\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right)-Q_{j}\right]\delta q_{j}=0$

Daar de q_j onafhankelijk zijn van elkaar, moet de coëffciënt van elke δq_j gelijk zijn aan nul. Men krijgt dus een stelsel van vergelijkingen van de vorm:

$\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right]-Q_{j}=0$ voor elke q_j

Deze vorm wordt soms de vergelijkingen van Lagrange van de eerste vorm genoemd. Het stelsel bevat zoveel vergelijkingen als er vrijheidsgraden zijn.

Naar analogie met de snelheid v als afgeleide van de positie naar de tijd, worden de ${\dot {q}}_{j}$ veralgemeende snelheden genoemd.

De Lagrangiaan

Wanneer de inwerkende krachten afleidbaar zijn van een potentiële energie V, dan geldt dat de virtuele arbeid kan geschreven worden in functie van de veralgemeende coördinaten als:

$\delta A=-\sum _{j}{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}$

M.a.w. de veralgemeende kracht die hierbij hoort is, in grootte:

$Q_{j}={\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}$

Daar de potentiële energie normaal alleen afhangt van de positie en niet van de snelheid, kan de vorige formule van de vergelijkingen van Lagrange dan ook geschreven worden als:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial (T-V)}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial (T-V)}{\partial q_{j}}}=0$ voor elke q_j

Men voert nu een grootheid in die men de Lagrangiaan L noemt: L = T - V. Hiermede kan de vorige vergelijking eenvoudiger geschreven worden als:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0$ voor elke q_j

Dit wordt soms de tweede vorm van de vergelijkingen van Lagrange genoemd.

Als er nog niet-potentiaalkrachten spelen, dan kan men die natuurlijk nog altijd in het rechterlid houden:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=Q_{j}$ voor elke q_j

Dit wordt soms de derde vorm van de vergelijkingen van Lagrange genoemd.

De uitdrukking

$p_{j}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}$

wordt ook wel een veralgemeende impuls genoemd.

Alhoewel men bij bovenstaande afleiding ondersteld heeft dat de potentiaalfunctie enkel afhangt van de veralgemeende coördinaten q_j en niet van de veralgemeende snelheden, kan het formalisme ook gebruikt worden bij potentiaalfuncties waarvoor geldt:

$Q_{j}={\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)$

Dit soort functies komt o.a. voor bij de studie van elektrische velden. De potentiaalfunctie V wordt dan een veralgemeende potentiaal genoemd.

Nota : de vergelijkingen van Lagrange kunnen ook via variatierekenen afgeleid worden. Waarschijnlijk is dit zelfs de manier waarop Lagrange zelf ze afgeleid heeft.

Speciale gevallen

Wanneer de Lagrangiaan een bepaalde q_j niet bevat, dan herleidt de tweede vorm zich tot:

${\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}})=0$

waaruit dan weer ogenblikkelijk volgt dat de bijhorende veralgemeende impuls constant is:

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=C$

Men noemt de veralgemeende coördinaat q_j dan een cyclische coördinaat. (Er is echter geen volledige eensgezindheid over de juiste definitie van deze term.)

De aanwezigheid van cyclische coördinaten wijst op sommige constanten van de beweging. Als de q_j een verplaatsing voorstelt, dan zal het probleem een behoud van impuls kennen volgens die richting. Men kan ook zeggen dat een verplaatsing van het systeem in die richting geen invloed heeft op de oplossing. Wanneer de q_j een rotatie voorstelt, dan zal er een behoud van impulsmoment gelden voor het systeem. Een rotatie van het systeem verandert dan niets aan de probleemstelling.

Voorbeelden

Massa aan veer

Als eerste voorbeeld wordt een massa slingerend aan een veer beschouwd. er zijn 2 vrijheidsgraden: een translatie volgens de richting van de veer (veralgemeende coördinaat r) en een roteren rond het bevestigingspunt (veralgemeende coördinaat θ) De veer heeft een veerconstante k en rustlengte l₀. De snelheid van de massa kan eenvoudig beschreven worden in termen van poolcoördinaten. Men krijgt:

massa slingerend aan veer

$T=m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})/2$
 

$V=k(r-l_{0})^{2}/2-mgr\cos \theta$
 

$L=T-V=m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})/2-k(r-l_{0})^{2}/2+mgr\cos \theta$

Voor r:

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}$
 

${\frac {d}{dt}}m{\dot {r}}=m{\ddot {r}}$
 

${\frac {\partial L}{\partial r}}=mr{\dot {\theta }}^{2}-k(r-l_{0})+mg\cos \theta$

De eerste vergelijking wordt dus:

$m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}+k(r-l_{0})-mg\cos \theta =0$

Voor θ:

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}$
 

${\frac {d}{dt}}mr^{2}{\dot {\theta }}=2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}+mr^{2}{\ddot {\theta }}$
 

${\frac {\partial L}{\partial \theta }}=-mgr\sin \theta$

De tweede vergelijking wordt dan:

$mr^{2}{\ddot {\theta }}+2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}+mgr\sin \theta =0$

baan van massa slingerend aan veer

Er kan een factor mr weggedeeld worden:

$r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+g\sin \theta =0$

baan van massa slingerend aan veer

Het eerste wat echter opvalt is dat een eenvoudig systeem reeds aanleiding geeft tot ingewikkelde differentiaalvergelijkingen, waarvoor geen oplossing bestaat onder de vorm van een functie voor r en θ. De enige mogelijkheid om te weten wat deze vergelijkingen voorstellen is numerieke simulatie. In de afbeelding hiernaast vindt men hiervan een voorbeeld. Er werd uitgegaan van een massa van 0,2 kg aan een veer met rustlenge 0,5 m. De massa werd losgelaten uit rust vanuit een hoek van 0,5 radialen (iets meer dan 28°) en vanuit de rustlengte van de veer. Voor de berekening van de y-coördinaten werd de bevestiging van de veer in het punt (0, 1) geplaatst zodat y = 1 - r.cos θ. Het vertrekpunt bevindt zich boven het kadertje met de legende aan het begin van de dunne, binnenste lijn.

Daar er behoud van energie geldt, moet het systeem regelmatig door zijn beginpositie passeren. Hier gebeurt dat reeds na 4 s. Daar de stap voor de simulatie wat aan de grote kant was, vallen de wegen niet volledig samen. Dit heeft het voordeel dat men duidelijker ziet waar er 2x gepasseerd werd. Alleen in de buurt van het vertrekpunt vallen de 3 banen perfect samen. Na 4 s herhaalt het patroon zich. Die baan werd in rode stippellijn getekend. Dit steeds terugkeren van hetzelfde patroon wordt ook door andere simulatiesoftware getoond, maar niet door alle applets die men op internet kan vinden. Als de beginsituatie andes gekozen wordt, met bv. een beginsnelheid en een begin spanning in de veer, dan wordt de beweging complexer en.duurt het langer vooraleer het systeem terug door de beginpositie passeert. Een voorbeeld hiervan in in de onderste grafiek weergegeven. De herhalingsperiode van de beweging was hier 6 s.

Nota: gekoppelde slingers

r en hoek van massa slingerend aan veer

Dit systeem van massa en veer kan in feite op 2 manieren trillen of slingeren. Als men de massa los laat met de veer verticaal, dan krijgt men een verticaal trillen van de massa. Als de veer een staaf zou zijn, dan zou men de massa zijdelings kunnen laten slingeren. Als men de baan van de massa bekijkt in de simulatie hierboven, dan blijkt dat het systeem afwisselend de voorkeur geeft aan één van beide bewegingen. Er is eerst een diep uitrekken van de veer met een kleine zijdelingse verplaatsing en daarna een breed zijdelings slingeren met een kleinere uitrekking van de veer, waarna men opnieuw via een diepe uitrekking terugkeert naar de beginpositie. Dit gedrag is nog duidelijker als men r en θ uitzet in functie van de tijd. Men ziet duidelijk dat er op t = 2 s een grotere uitwijking is ten koste van een kleinere uitrekking van de veer. Dit gedrag staat bekend als het fenomeen van de gekoppelde slingers.

Dit fenomeen kan zeer uitgesproken zijn als de koppeling tussen de twee bewegingsvormen eerder zwak is en beide bewegingen dezelfde resonantiefrequentie hebben. De eenvoudige opstelling van de foto laat toe om dit op zeer duidelijke manier te tonen. Als men één van de twee (lege) bierflesjes doet slingeren (in een vlak loodrecht op het horizontale touw), dan zal het horizontale touw lichtjes meeschommelen met dat flesje. Hierdoor wordt ook het tweede flesje in beweging gebracht en gaat steeds harder schommelen. Daar er geen energie toegevoerd wordt aan het systeem, gaat dit ten koste van het slingeren van het eerste flesje, dat dus vertraagt. Men zou nu verwachten dat het systeem naar een toestand zal gaan waarbij beide flesjes even hard slingeren. Niets blijkt minder waar. Het tweede flesje gaat steeds harder schommelen tot het eerste flesje volledig stil valt. Daarna begint het fenomeen in omgekeerde richting. Men krijgt dus een slingeringspatroon als in de grafiek hieronder. Met de eenvoudige opstelling van de foto wisselt het maximaal slingeren minstens vier maal tussen beide flesjes.

Zeer bekend in deze context is de slinger van Wilberforce, die een verticale slingering koppelt aan een roterende slinger.Tot zover deze kleine uitweiding over het merkwaardige gedrag van gekoppelde trillingen.

proef met gekoppelde slingers

grafiek van gekoppelde slingers

Blokje in draaiende buis

Als tweede voorbeeld wordt een de beweging van een blokje in een draaiende buis bestudeerd. Gegeven is een cirkelvormige buis, die opgesteld in in een verticaal vlak en draait rond een diagonale verticale as De buis heeft een straal r en traagheidsmoment I t.o.v. de as en wordt in rotatie gehouden door een constant moment M. In de buis kan een blokje met massa m op en neer schuiven. Men vraagt de bewegingsvergelijkingen op te stellen.

De snelheid van het blokje bestaat uit een sleepsnelheid en een relatieve snelheid. Daar beide loodrecht op elkaar staan wordt de uitdrukking voor de kinetische energie van het blokje eenvoudig:

$E_{k}(kogel)={\frac {m}{2}}(v_{s}^{2}+v_{r}^{2})={\frac {m}{2}}\left[(r\sin \theta .{\dot {\varphi }})^{2}+(r{\dot {\theta }})^{2}\right]={\frac {mr^{2}}{2}}(\sin ^{2}\theta .{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {\theta }}^{2})$

kogel in roterende buis

De totale kinetische energie wordt dan:

$E_{k}=T={\frac {mr^{2}}{2}}(\sin ^{2}\theta .{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {\theta }}^{2})+{\frac {I{\dot {\varphi }}^{2}}{2}}$

Er is alleen veranderende potentiële energie voor het blokje:

$\displaystyle E_{pot}=V=-mgr\cos \theta$

De Lagrangiaan wordt dus:

$L=T-V={\frac {mr^{2}}{2}}(\sin ^{2}\theta .{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {\theta }}^{2})+{\frac {I{\dot {\varphi }}^{2}}{2}}+mgr\cos \theta$

Voor de vergelijking in θ krijgt men:

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}\quad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)=mr^{2}{\ddot {\theta }}$

${\frac {\partial L}{\partial \theta }}=mr^{2}\sin \theta \cos \theta .{\dot {\varphi }}^{2}-mgr\sin \theta$

De eerste vergelijking wordt hiermede

$mr^{2}({\ddot {\theta }}-\sin \theta \cos \theta .{\dot {\varphi }}^{2})+mgr\sin \theta =0$

Voor de vergelijking in φ

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta .{\dot {\varphi }}+I{\dot {\varphi }}$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)=mr^{2}(2\sin \theta \cos \theta .{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}+\sin ^{2}\theta .{\ddot {\varphi }})+I{\ddot {\varphi }}=M$

${\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0$ , maar φ is geen cyclische coördinaat omdat er een rechterlid is. Zonder het uitwendig moment M zou φ wel cyclisch zijn als teken van behoud van impulsmoment t.o.v. de as.

De tweede vergelijking wordt dan:

$(mr^{2}\sin ^{2}\theta +I){\ddot {\varphi }}+2mr^{2}\sin \theta \cos \theta .{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}=M$

Men herkent in de term $2mr^{2}\sin \theta \cos \theta .{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}$ het moment t.o.v. de as van de massa van het blokje x de Coriolisversnelling en in de term $mr^{2}\sin ^{2}\theta .{\ddot {\varphi }}$ het moment t.o.v. de as van de massa van het blokje x de tangentiële versnelling. De Coriolisversnelling is hier via een totaal andere weg tevoorschijn gekomen dan bij de behandeling van de versnellingen.

Nota: indien men i.p.v. het blokje een kogel zou nemen die in de buis rolt, dan zou er in de kinetische energie een term voor de rotatie-energie moeten bijkomen. Voor een massieve bol is het traagheidsmoment t.o.v. een diagonaal 2mr²/5. Dit zou een term leveren in de kinetische energie van mv_r²/5 . Hiermede wordt de uitdrukking voor de kinetische energie iets ingewikkelder en minder elegant, zonder dat er aan het inzicht iets wordt toegevoegd.

beweging van blokje in draaiende buis

Slingerende schijf

schijf slingerend in roterend systeem

Bij de behandeling van de algemene rotatie werd als tweede voorbeeld een slingerende schijf behandeld. De figuur wordt hier hernomen. Er wordt verondersteld dat het systeem met een constante hoeksnelheid ω₁ rond zijn verticale as draait. Er werd daar gezegd dat, als men alleen geïnteresseerd is in de vergelijking die het slingeren van de schijf beheerst, men deze veel sneller zou kunnen vinden met de methode van Lagrange. Dit wordt hier nu uitgewerkt.

De enige vrijheidsgraad van het systeem is het slingeren rond de horizontale as. Voor de methode van Lagrange moet men ω₁ vervangen door ${\dot {\theta }}$. De ogenblikkelijke rotatievector wordt dan:

${\vec {\omega }}={\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\dot {\theta }}}=(-\cos \theta .\omega _{1}){\vec {i}}+(\sin \theta .\omega _{1}){\vec {j}}+({\dot {\theta }}){\vec {k}}$

Daar er met een hoofdtraagheidsassenkruis gewerkt wordt, is de kinetische energie gegeven als:

$E_{kin}=T={\frac {1}{2}}(I_{xx}\omega _{x}^{2}+I_{yy}\omega _{y}^{2}+I_{zz}\omega _{z}^{2})$

$\quad ={\frac {1}{2}}(I_{xx}\cos ^{2}\theta .\omega _{1}^{2}+I_{yy}\sin ^{2}\theta .\omega _{1}^{2}+I_{zz}{\dot {\theta }}^{2})$

Voor de potentiële energie krijgt men:

$\displaystyle V=-mgr\cos \theta$

En tenslotte voor de Lagrangiaan:

$L=T-V={\frac {1}{2}}(I_{xx}\cos ^{2}\theta .\omega _{1}^{2}+I_{yy}\sin ^{2}\theta .\omega _{1}^{2}+I_{zz}{\dot {\theta }}^{2})+mgr\cos \theta$

De afgeleiden:

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=I_{zz}{\dot {\theta }}\quad {\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}})=I_{zz}{\ddot {\theta }}$

${\frac {\partial L}{\partial \theta }}=-I_{xx}\omega _{1}^{2}\cos \theta \sin \theta +I_{yy}\omega _{1}^{2}\sin \theta \cos \theta -mgr\sin \theta$

De vergelijking wordt dan:

$I_{zz}{\ddot {\theta }}+\omega _{1}^{2}\sin \theta \cos \theta (I_{xx}-I_{yy})+mgr\sin \theta =0$

De traagheidsmomenten hebben volgende volgende waarden:
I_xx = mr²/4 (uit de tabellen)
I_yy = mr²/4 + mr² = 5mr²/4 (als vorige + Steiner)
I_zz = mr²/2 + mr² = 3mr²/2 (tabel + Steiner)
Hiermede vereenvoudigt de vergelijking zich tot:

${\frac {3mr^{2}}{2}}{\ddot {\theta }}-mr^{2}\omega _{1}^{2}\sin \theta \cos \theta +mgr\sin \theta =0$

of nog:

${\ddot {\theta }}-{\frac {2\sin \theta }{3}}(\omega _{1}^{2}\cos \theta .-{\frac {g}{r}})\;=\;0$

Dit is ook precies de momentenvergelijking die vroeger gevonden werd. Natuurlijk heeft men hier geen verdere informatie over de reactiekrachten in de verschillende steunpunten.

Dynamisch evenwicht

Het is weinig gebruikelijk, maar de vergelijkingen van Lagrange kunnen ook perfect gebruikt worden voor het bepalen van het dynamisch evenwicht in meer complexe situaties. Met "dynamisch evenwicht" wordt bedoeld dat er een evenwichtstoestand optreedt in aanwezigheid van versnellingen. Een eenvoudig voorbeeld zijn de zetels van een draaimolen die onder een bepaalde hoek gaan hangen als de molen draait. Zoals de klassieke statica kan beschouwd worden als een toepassing van de wet van Newton, maar met versnelling 0, en van de rotatiewetten, maar met hoekversnelling 0, zo kan men ook de vergelijkingen van Lagrange gebruiken voor het zoeken van een positie waarbij een veralgemeende coördinaat een constante waarde aanneemt. Deze veralgemeende coördinaat wordt in het vervolg q_k genoemd. Men zoekt dan naar een positie waarbij

${\dot {q}}_{k}={\ddot {q}}_{k}=0$

Het is duidelijk dat men best zal vermijden termen te berekenen die toch 0 worden. De termen in de tweede afgeleide van q_k ontstaan uit de eerste term van de Lagrange-vergelijkingen, waar er gedifferentieerd wordt naar de tijd van termen in q_k-punt, de eerste afgeleide van q_k. Als men het geval van een potentiaal die functie is van de veralgemeende snelheid q_k-punt uitsluit, dan ontstaat de term in de tweede afgeleide van q_k, q_k-dubbel, door het differentiëren van de kinetische energie. Als dit een zuivere kwadratische (of hogere) functie is van de veralgemeende snelheid q_k-punt, dan zal elke term die volgt uit het differentiëren naar de tijd een factor in q_k-punt of q_k-dubbel bevatten. Als men deze beide later toch nul moet stellen, moet men deze eerste term dus nooit berekenen. De voorwaarde, dat de kinetische energie een zuivere kwadratische functie van q_k-punt zou zijn, is dat de parameterkromme voor q_k loodrecht staat op de andere parameterkrommen. Dit is een voorwaarde die vrij eenvoudig te controleren is. Men kan zich dan beperken tot de vergelijking:

$-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=Q_{k}$

Eerste voorbeeld: slingerende schijf

Als eerste toepassing wordt teruggekeerd naar het voorbeeld van de slingerende schijf. Uit de bewegingsvergelijking hierboven is duidelijk dat de evenwichtsstand gegeven is door (stel ${\ddot {\theta }}=0$):

$-mr^{2}\omega _{1}^{2}\sin \theta \cos \theta +mrg\sin \theta =0$

Bij de behandeling in het hoofdstuk over de algemene rotatie wordt een uitvoerige bespreking gegeven van deze vergelijking. Nu moet enkel aangetoond worden dat die hier op een eenvoudige manier kan bekomen worden als:

${\frac {\partial L}{\partial \theta }}=0$   (als er geen rechterlid is, heeft het minteken geen belang)

Als men hoger gaat kijken dan vindt men hiervoor inderdaad:

${\frac {\partial L}{\partial \theta }}=(I_{xx}-I_{yy})\omega _{1}^{2}\sin \theta \cos \theta +mgr\sin \theta =-mr^{2}\omega _{1}^{2}\sin \theta \cos \theta +mgr\sin \theta =0$

wat precies is wat er moest bekomen worden.

Men kan in feite nog een kleine verdere vereenvoudiging invoeren bij het berekenen van de kinetische energie. Als er in de algemene vorm ervan, alleen een kwadratische term in q_k-punt kan voorkomen en die later toch gelijk 0 zal gesteld worden, dan moet men die feitelijk niet opnemen in de kinetische energie. Men kan dus de kinetische energie opschrijven zoals die zal zijn op het ogenblik van het dynamisch evenwicht.

Voor het bovenstaande voorbeeld was de kinetische energie:

$E_{kin}={\frac {1}{2}}(I_{xx}\cos ^{2}\theta .\omega _{1}^{2}+I_{yy}\sin ^{2}\theta .\omega _{1}^{2}+I_{zz}{\dot {\theta }}^{2})$

$={\frac {mr^{2}}{2}}({\frac {1}{4}}\cos ^{2}\theta .\omega _{1}^{2}+{\frac {5}{4}}\sin ^{2}\theta .\omega _{1}^{2}+{\frac {3}{2}}{\dot {\theta }}^{2})$

$={\frac {mr^{2}}{2}}({\frac {\omega _{1}^{2}}{4}}+\sin ^{2}\theta .\omega _{1}^{2}+{\frac {3}{2}}{\dot {\theta }}^{2})$

Het is duidelijk dat de eerste term van bovenstaande vergelijking ook bekomen wordt als men de term in θ-punt weg laat uit de uitdrukking voor E_kin

Tweede voorbeeld: draaiende staaf

staaf roterend rond verticale as

Als tweede voorbeeld wordt een staaf met lengte l beschouwd, die scharnierend bevestigd is aan een verticale as, die met constante hoeksnelheid ω rond draait.

Met de klassieke benadering dat het traagheidsmoment in de richting van de staaf verwaarloosbaar is, heeft men dus alleen traagheidsmomenten volgens de richtingen loodrecht op de staaf, hier de y- en z-as. De totale ogenblikkelijke rotatievector wordt:

${\vec {\omega }}_{tot}=(-\omega \cos \theta ,\omega \sin \theta ,{\dot {\theta }})$

De kinetische energie wordt, zonder de term in θ-punt:

$E_{kin}={\frac {I_{yy}\omega ^{2}\sin ^{2}\theta }{2}}={\frac {ml^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}\theta }{6}}$

De potentiële energie wordt:

$V=-{\frac {mgl\cos \theta }{2}}$

$T-V={\frac {ml^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}\theta }{6}}+{\frac {mgl\cos \theta }{2}}$

${\frac {\partial (T-V)}{\partial \theta }}={\frac {ml^{2}}{3}}\omega ^{2}\sin \theta \cos \theta -{\frac {mgl\sin \theta }{2}}=0$

Indien de staaf losgelaten wordt in een begintoestand met θ gelijk aan 0, dan blijft ze in die toestand. Voor θ verschillend van 0 leidt dit tot de oplossing:

$\cos \theta ={\frac {3g}{2l\omega ^{2}}}$

met de bijkomende voorwaarde dat het rechterlid <= 1 moet zijn, anders gaat men naar een eindtoestand met θ = 0.

In termen van traagheidskrachten kan men de eindtoestand zien als een momentenevenwicht t.o.v. het scharnier van het gewicht en van een middelpuntvliedende kracht die aangrijpt op 2/3 van de lengte van de staaf, maar een grootte heeft die overeenkomt met de volledige massa halfweg de staaf.

$(m{\frac {l}{2}}\sin \theta .\omega ^{2})({\frac {2l}{3}}\cos \theta )=(mg)({\frac {l}{2}}\sin \theta )$

Dit kan gemakkelijk begrepen worden als men bedenkt dat elk deeltje van de staaf een cirkel beschrijft, die groter wordt naarmate dit deeltje verder van het scharnier af ligt. De straal van die cirkel is immers x.sinθ. De bijhorende middelpuntvliedende krachten vormen dus een driehoekig krachtveld. De totale oppervlakte van een driehoek is (basis x hoogte)/2, maar het zwaartepunt ligt op 2/3 van de top (of 1/3 van de basis). Dit voorbeeld is ook uitgewerkt in het hoofdstuk over traagheidskrachten.