Klassieke Mechanica/Traagheidskrachten

Traagheidskrachten

Inleiding

Wanneer men in een auto zit die door een bocht gaat, dan heeft men de indruk naar buiten te worden gedrukt. Theoretisch is er geen kracht die dat fenomeen veroorzaakt. Het is ons lichaam dat gewoon rechtdoor wil blijven gaan zolang er geen kracht is die het naar het middelpunt van de bocht duwt.

Voor een voorwerp dat een cirkel beschrijft, moet men theoretisch opschrijven dat de som van de krachten gelijk is aan de massa x een normale versnelling.

$\sum _{i}{\vec {F}}_{i}=m{\vec {a}}_{n}$

Dikwijls echter wil men een beweging beschrijven binnen een bewegend systeem, bv. een assenkruis verbonden aan de auto. Binnen dat systeem blijft de persoon op zijn plaats en is er dus geen versnelling. Men wil daar dus opschrijven dat de som van alle krachten 0 is. Beide voorstellingen zijn gemakkelijk te verzoenen als men rechterlid van vorige vergelijking naar links overbrengt. Men kan dat dan interpreteren als een traagheidskracht: $-m{\vec {a}}_{n}={\vec {F}}_{T}$. Hiermede krijgt men dan:

$\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\,+\,{\vec {F}}_{T}=0$

Deze voorstelling van zaken komt ook beter overeen met onze ervaring. Bemerk wel dat de zin van de traagheidskracht het tegengestelde is van de zin van de versnelling. Daar men hier de formule voor het statisch evenwicht gebruikt (som van alle krachten = 0) in een situatie waarin wel versnellingen optreden, noemt men dit dynamisch evenwicht.

Wanneer men de beweging van een voorwerp binnen een bewegend systeem wil beschrijven, dan zal men schrijven:

$\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\,+\,\sum {\vec {F}}_{T,i}=m{\vec {a}}_{rel}$

Hierbij bevat de som van de traagheidskrachten de massa x alle versnellingstermen buiten de relatieve versnelling. Om precies te weten wat dit allemaal kan zijn moet men teruggaan naar het hoofdstuk over versnellingen in bewegende systemen. Het verschil tussen een traagheidskracht en de andere krachten is dat er bij traagheidskrachten geen ander voorwerp is dat die kracht uitoefent.

Vele fenomenen kan men zich beter voorstellen als men met traagheidskrachten werkt i.p.v. met de versnellingen. Sommigen houden ervan om een dynamische situatie (met versnellingen) te herleiden to een statische, met som van de krachten = 0, door het gebruik van traagheidskrachten; Hierbij worden alle versnellingen x massa overgeheveld naar linkerlid en er als traagheidskrachten gepresenteerd. In die context spreekt men ook wel van traagheidsreacties.

remmende auto met traagheidsreactie

Op het einde van het hoofdstuk over vlakke dynamica werd het voorbeeld behandeld van een afremmende auto. Wanneer men daar de massa x versnelling vervangt door een traagheidsreactie F_T, dan ziet men, veel duidelijker dan op de figuur met de versnelling, het koppel (F_T,(F_V+F_A)) dat de neus van de wagen naar beneden duwt. Verdere uitleg infra.

Resultante en aangrijpingspunt

Wanneer een voorwerp onderworpen is aan traagheidskrachten, rijst natuurlijk de vraag hoe groot die is en waar die aangrijpt. Feitelijk grijpen de traagheidskrachten aan op elk element van het voorwerp. Men krijgt dus een veld van kleine traagheidskrachtjes. Men zal dit in een gegeven punt kunnen samenstellen tot een resultante met of zonder bijhorend moment volgens de regels uitgelegd in het hoofdstuk over equivalente vectorsystemen

Het eenvoudigste geval heeft men bij een voorwerp dat onderworpen is aan een lineaire versnelling. Dan heeft men een veld van evenwijdige traagheidskrachten analoog aan het veld gecreëerd door de aantrekkingskracht van de aarde. Men zal dat veld dus ook kunnen samenstellen tot een zuivere kracht aangrijpend in het massacentrum van het voorwerp en met grootte de totale massa van het voorwerp x de lineaire versnelling. Bv. bij een auto die remt, kan men het neerduiken van de neus verklaren door een traagheidskracht in het massacentrum die de wagen naar voor probeert te duwen. Daar de wrijving van de wielen met de grond de wagen naar achter duwt, krijgt men een moment dat de neus naar beneden draait.

staaf bevestigd aan roterende verticale staaf

Een iets ingewikkelder maar toch nog eenvoudige situatie wordt gevormd door een staaf die met één uiteinde aan de verticale draaiende as is bevestigd. De lengte van de staaf is l en de massa/lengte-eenheid is ρ. Elk deeltje van de staaf beschrijft een cirkel, die groter wordt naarmate dit deeltje verder van het scharnier af ligt. Als s de afstand is van het scharnier tot een bepaald punt, dan is de straal van de cirkel die dat punt beschrijft s.sinθ. De bijhorende middelpuntvliedende krachten vormen dus een driehoekig krachtveld van evenwijdige krachten. Volgens de formules voor het samenstellen van evenwijdige krachten heeft men:

$s_{Z}\,=\,{\frac {\int _{0}^{l}{\omega ^{2}.s\sin \theta .s.\rho .ds}}{\int _{0}^{l}{\omega ^{2}.s\sin \theta .\rho .ds}}}$

De noemer geeft ook de grootte van de resultante. Dat blijkt ρ.ω².l²sinθ/2. Men kan dit lezen als ρ.ω² x het oppervlak van een driehoek met hoogte l en basis l.sinθ

Voor het berekenen van het aangrijpingspunt kan men ρ, ω² en sinθ voor het integraalteken brengen en wegdelen (voor θ niet 0). Men krijgt als resultaat:

s_Z = (l³/3)/(l²/2) = (2/3)l.

Dit komt overeen met de positie van het zwaartepunt van een driehoek. Het evenwicht van deze staaf werd reeds besproken bij het berekenen van de evenwichtsstand met de methode van Lagrange. Bij gebruik van virutele arbeid kan men het berekenen van de resultante en het aangrijpingspunt echter vermijden. Zie hiervoor infra.

Voor meer complexe situaties, zoals bv. als er nog een tweede staaf aan die eerste staaf hangt, is het gebruik van traagheidsreacties niet meer aangewezen.

Rotaties

Bij rotaties rond een as met vaste richting zal men geen traagheidskracht maar een traagheidsmoment M_T (niet te verwarren met het traagheidsmoment I!) moeten invoeren volgens hetzelfde recept als bij de traagheidskracht:

$M_{T}=-I.\alpha$

In sommige situaties zal men zowel een traagheidskracht als een traagheidsmoment moeten invoeren. Wat men moet invoeren en welk traagheidsmoment I men hierbij moet gebruiken, kan men zien door te kijken naar de manier waarop de kinetische energie kan worden opgeschreven.

• Als er in de kinetische energie een term mv²/2 voor komt, dan moet men een traagheidskracht -ma invoeren in het massacentrum. Voor de kinetische energie is men dan immers vertrokken van

$\int m{\vec {a}}\cdot d{\vec {r}}$

• Als er in de kinetische energie een term mω²/2 voor komt, dan moet men een traagheidsmoment M_T = -I.α invoeren met traagheidsmoment I zoals in de kinetische energie. Men is dan immers voor E_k vertrokken van

$\int I.\alpha .d\theta$

Deze aanpak is echter niet erg gebruikelijk.

Traagheidskrachten en virtuele arbeid

Bij het gebruik van traagheidskrachten in combinatie met de methode van de virtuele arbeid, kan men soms ook rechtstreeks de virtuele arbeid van de traagheidskrachten berekenen zonder over de berekening van een resultante en een aangrijpingspunt te passeren. Dit is bv. het geval bij de roterende staaf van hierboven. Men heeft als krachten het gewicht en de traagheidsreacties. Voor de virtuele arbeid krijgt men, in een klassiek xy-assenkruis met oorsprong in het scharnier:

${\vec {G}}\cdot {\vec {d}}{\vec {r}}+\int _{0}^{l}{d{\vec {F}}_{T}\cdot d{\vec {r}}}=-G.\delta y+\int _{0}^{l}{\delta x.dF_{T}}=0$

Hierin is (let op het minteken bij y_G):

$y_{G}=-(l/2)\cos \theta \quad \mathrm {en} \quad \delta y=(l/2)\sin \theta .\delta \theta$

$\displaystyle dF_{T}=\omega ^{2}s\sin \theta .\rho .ds$

$x_{T}=s\sin \theta \quad \mathrm {en} \quad \delta x=s\cos \theta .\delta \theta$

Alles invullen:

$-G.(l/2)\sin \theta .\delta \theta +\int _{0}^{l}{\omega ^{2}s\sin \theta .\rho .s\cos \theta .\delta \theta .ds}=0$

Of met gewicht G = ρlg en alles wat geen functie is van s voor het integraalteken:

$-\rho lg(l/2)\sin \theta +\rho \omega ^{2}\sin \theta \cos \theta \ \int _{0}^{l}{s^{2}.ds}=0$

ρ kan weggedeeld worden en voor θ verschillend van 0 ook sinθ:

$\displaystyle gl^{2}/2=\omega ^{2}\cos \theta .l^{3}/3$

En uiteindelijk:

$\cos \theta ={\frac {3g}{2\omega ^{2}l}}$

wat hetzelfde is als hoger gevonden bij de methode van Lagrange.