LaTeX/Wiskundige formules

Algemene formules

Normale, arithmetische uitdrukkingen kunnen in de wiskunde-context direct ingetikt worden. Bijvoorbeeld:

$ a + b = c $	$a+b=c$
$ c - a * b + d / (e + f) $	$c-a*b+d/(e+f)$

Symbolen

Binnen de wiskunde-context kun je gebruik maken van speciale symbolen. Deze symbolen worden gegenereerd door AMSTeX functies, meestal zonder argumenten. Om de symbolen te kunnen gebruiken, neem je de volgende regels op in je LaTeX-bestand:

\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

Dit pakket definieert een grote lijst wiskundige symbolen.

Speciale tekensets

AMSTeX heeft de beschikking over een aantal speciale tekensets: Schoolbord Vetgedrukt, Vetgedrukt, Vetgedrukt voor Grieks, Fraktur en Kalligrafie:

Schoolbord Vetgedrukt	\mathbb{N}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{G}, etc...	$\mathbb {N} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {G} ,{\mbox{etc...}}$
Vetgedrukt	\mathbf{x}, \mathbf{y}	$\mathbf {x} ,\mathbf {y}$
Vetgedrukt voor Grieks	\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}	${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\gamma }}$
Fraktur	\mathfrak{a}, \mathfrak{A}, etc...	${\mathfrak {a}},{\mathfrak {A}},{\mbox{etc...}}$
Kalligrafie	\mathcal{a}, \mathcal{A}, etc...	${\mathcal {a}},{\mathcal {A}},{\mbox{etc...}}$

TIP: Als je in je document veel gebruik maakt van $\mathbb {R}$, dan kan je best een nieuw commando maken in LaTeX: Zet de code \newcommand{\R}{\mathbb{R}} in de hoofding van het document en je moet enkel nog \R typen om het symbool van de reële getallen te verkrijgen.

Grieks

Wat zou wiskunde zijn zonder een compleet arsenaal aan Griekse letters?

$\alpha$	\alpha	$\vartheta$	\vartheta	$\varpi$	\varpi	$\chi$	\chi	$\mathrm {H}$	\Eta	$\Pi$	\Pi
$\beta$	\beta	$\iota$	\iota	$\rho$	\rho	$\psi$	\psi	$\Theta$	\Theta	$\mathrm {P}$	P
$\gamma$	\gamma	$\kappa$	\kappa	$\varrho$	\varrho	$\omega$	\omega	$\mathrm {I}$	I	$\Sigma$	\Sigma
$\delta$	\delta	$\lambda$	\lambda	$\sigma$	\sigma	$\mathrm {A}$	A	$\mathrm {K}$	K	$\mathrm {T}$	T
$\epsilon$	\epsilon	$\mu$	\mu	$\varsigma$	\varsigma	$\mathrm {B}$	B	$\Lambda$	\Lambda	$\Upsilon$	\Upsilon
$\varepsilon$	\varepsilon	$\nu$	\nu	$\tau$	\tau	$\Gamma$	\Gamma	$\mathrm {M}$	M	$\Phi$	\Phi
$\zeta$	\zeta	$\xi$	\xi	$\upsilon$	\upsilon	$\Delta$	\Delta	$\mathrm {N}$	N	$\mathrm {X}$	X
$\eta$	\eta	$o$	o (gewoon o)	$\phi$	\phi	$\mathrm {E}$	E	$\Xi$	\Xi	$\Psi$	\Psi
$\theta$	\theta	$\pi$	\pi	$\varphi$	\varphi	$\mathrm {Z}$	Z	$O$	O	$\Omega$	\Omega

Hebreeuws

$\aleph$

\aleph

$\beth$

\beth

$\gimel$

\gimel

$\daleth$

\daleth

Operatoren

$\pm$	\pm	$\triangleright$	\triangleright	$\setminus$	\setminus	$\circ$	\circ
$\mp$	\mp	$\times$	\times	$\bullet$	\bullet	$\star$	\star
$\vee$	\vee	$\wr$	\wr	$\ddagger$	\ddagger	$\cap$	\cap
$\dagger$	\dagger	$\oplus$	\oplus	$\smallsetminus$	\smallsetminus	$\cdot$	\cdot
$\wedge$	\wedge	$\otimes$	\otimes	$\cup$	\cup	$\triangleleft$	\triangleleft

Relaties

$\leq$	\leq	$\ni$	\ni	$\approx$	\approx
$\vdash$	\vdash	$\cong$	\cong	$\mid$	\mid
$\in$	\in	$\supset$	\supset	$\equiv$	\equiv
$\vdash$	\vdash	$\supseteq$	\supseteq	$\sim$	\sim
$\subset$	\subset	$\geq$	\geq	$\simeq$	\simeq
$\subseteq$	\subseteq	$\models$	\models	$\smile$	\smile
$\perp$	\perp	$\frown$	\frown	$\neq$	\neq

Verder geldt dat van iedere relationele operator het tegenovergestelde gemaakt kan worden door er \not voor te zetten; zo zijn er bijvoorbeeld \not\leq ($\not \leq$), \not\sim ($\not \sim$) en \not\models ($\not \models$). Dit trucje werkt ook voor de relaties die geen AMSTeX functies zijn: \not= ($\not =$), \not< ($\not <$) enzovoorts.

Pijlen

$\leftarrow$	\leftarrow	$\rightarrow$	\rightarrow	$\uparrow$	\uparrow
$\longleftarrow$	\longleftarrow	$\longrightarrow$	\longrightarrow	$\downarrow$	\downarrow
$\Leftarrow$	\Leftarrow	$\Rightarrow$	\Rightarrow	$\Uparrow$	\Uparrow
$\Longleftarrow$	\Longleftarrow	$\Longrightarrow$	\Longrightarrow	$\Downarrow$	\Downarrow
$\leftrightarrow$	\leftrightarrow	$\updownarrow$	\updownarrow	$\Updownarrow$	\Updownarrow
$\Leftrightarrow$	\Leftrightarrow	$\Longleftrightarrow$	\Longleftrightarrow	$\nwarrow$	\nwarrow
$\mapsto$	\mapsto	$\longmapsto$	\longmapsto	$\nearrow$	\nearrow
$\hookleftarrow$	\hookleftarrow	$\hookrightarrow$	\hookrightarrow	${\overleftarrow {\rightarrow }}$	\overleftarrow{\rightarrow}
$\searrow$	\searrow	$\swarrow$	\swarrow	${\overrightarrow {\leftarrow }}$	\overrightarrow{\leftarrow}

Standaard functies

Zoals eerder opgemerkt gaat het met de spatiëring waarschijnlijk verkeerd als je in de wiskunde-context gewoon tekst gaat tikken. Voor bepaalde standaardfuncties zijn daarom AMSTeX-functies ingebouwd:

\arccos	\cos	\csc	\exp	\ker	\limsup	\min
\arcsin	\cosh	\deg	\gcd	\lg	\ln	\Pr
\arctan	\cot	\det	\hom	\lim	\log	\sec
\arg	\coth	\dim	\inf	\liminf	\max	\sin
\sinh	\sub	\tan	\tanh

Kwantoren

De kwantoren zijn variabel in grootte en passen zich aan aan het predicaat dat zij meekrijgen.

$\sum$	\sum	$\coprod$	\coprod	$\biguplus$	\biguplus
$\bigcap$	\bigcap	$\bigsqcup$	\bigsqcup	$\oint$	\oint
$\bigodot$	\bigodot	$\bigoplus$	\bigoplus	$\bigwedge$	\bigwedge
$\prod$	\prod	$\int$	\int	$\bigotimes$	\bigotimes
$\bigcup$	\bigcup	$\bigvee$	\bigvee

Wanneer je bij deze kwantoren boven- en of ondergrenzen definieert, worden deze netjes gepositioneerd (zie formattering, hieronder).

Andere tekens

Verdere functies die bruikbaar zijn:

$\ldots$	\ldots	$\cdots$	\cdots	$\vdots$	\vdots	$\ddots$	\ddots
$\forall$	\forall	$\infty$	\infty	$\hbar$	\hbar	$\emptyset$	\emptyset
$\exists$	\exists	$\nabla$	\nabla	$\triangle$	\triangle	$\partial$	\partial
$\imath$	\imath	$\ell$	\ell	$\neg$	\neg	$\angle$	\angle
$\top$	\top	$\flat$	\flat	$\natural$	\natural	$\sharp$	\sharp
$\wp$	\wp	$\bot$	\bot	$\clubsuit$	\clubsuit	$\diamondsuit$	\diamondsuit
$\heartsuit$	\heartsuit	$\spadesuit$	\spadesuit

Simpele formatteringen

Veel formattering is niet mogelijk in de Wikipedia-implementatie van AMSTeX. Maar met weinig kom je gelukkig ook een heel eind.

Superscript en subscript

De voornaamste formatteringen zijn superscriptie en subscriptie. Superscriptie heeft de vorm

tekst^{tekst}

met het volgende effect:

$tekst^{tekst}$

Subscriptie daarentegen ziet er als volgt uit (met een underscore):

tekst_{tekst}

met als effect:

$tekst_{tekst}$

Bijvoorbeeld:

\forall_{i \in \N, j \in \N \setminus \{0\}} (i/j \in \mathbb{Q})

wordt

$\forall _{i\in \mathbb {N} ,j\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}(i/j\in \mathbb {Q} )$

Iets aardigs gebeurt er met het gebruik van super- en subscriptie bij kwantoren. Deze super- en subscripten worden namelijk automatisch "mooi geplaatst". Bijvoorbeeld

\sum_{i=1}^{N-1} N-i = (N-1) \cdot N/2

wordt

$\sum _{i=1}^{N-1}N-i=(N-1)\cdot N/2$

Accenten

Naast super- en subscriptie, kun je in de wiskunde-context ook accenten aanbrengen. Dit gebeurt met behulp van functies die een karakter als argument meekrijgen.

${\hat {a}}$	\hat{a}	${\check {a}}$	\check{a}
${\acute {a}}$	\acute{a}	${\grave {a}}$	\grave{a}
${\bar {a}}$	\bar{a}	${\vec {a}}$	\vec{a}
${\dot {a}}$	\dot{a}	${\ddot {a}}$	\ddot{a}
${\breve {a}}$	\breve{a}	${\tilde {a}}$	\tilde{a}

Afgeleiden en andere constructies

AMSTeX kent ook een aantal zogeheten constructie-functies. Deze functies verzorgen weergave van speciale notatie rondom stukken tekst. De tekst waar het om gaat, wordt als argument meegegeven.

${\overleftarrow {abc}}$	\overleftarrow{abc}	${\overrightarrow {abc}}$	\overrightarrow{abc}
${\overline {abc}}$	\overline{abc}	${\underline {abc}}$	\underline{abc}
$\overbrace {abc}$	\overbrace{abc}	$\underbrace {abc}$	\underbrace{abc}
${\sqrt {abc}}$	\sqrt{abc}	${\sqrt[{n}]{abc}}$	\sqrt[n]{abc}
${\frac {abc}{xyz}}$	\frac{abc}{xyz}	${\widehat {abc}}$	\widehat{abc}

Haakjes

Ronde en rechte haken -- "()", "[]" -- zijn direct te gebruiken in de wiskunde-context. Accolades worden normaal gebruikt voor argumenten, daarom moet er een backslash voor bij gebruik als tekst: "\{", "\}".

Daarnaast kent het systeem nog de volgende haken (en wat daarop lijkt):

$\lfloor$	\lfloor	$\rfloor$	\rfloor
$\lceil$	\lceil	$\rceil$	\rceil
$\langle$	\langle	$\rangle$	\rangle
$|$	|	$\|$	\|

Bij het gebruik van ronde haken kan het bij sommige functies mooi zijn wanneer de haken groter zijn dan het standaardformaat. Dit kan worden bereikt door het gebruik van \left en \right. Vergelijk onderstaande codes:

2+3\cdot(\frac{(x+a)^{230}}{D}-1)	$2+3\cdot ({\frac {(x+a)^{230}}{D}}-1)$
2+3\cdot\left (\frac{(x+a)^{230}}{D}-1 \right)	$2+3\cdot \left({\frac {(x+a)^{230}}{D}}-1\right)$

Matrices

Matrices zijn de basis van alle, grotere constructies in Wikipedia AMSTeX. Een matrix is een blok van M rijen en N kolommen (dus MxN elementen) waarin ieder element een formule of constructie mag zijn.

Een matrix heeft zijn eigen context binnen de wiskunde-context; deze wordt afgeschermd door \begin{matrix} en \end{matrix}.

Een matrix wordt rij voor rij, kolom voor kolom opgebouwd. Als scheidingsteken tussen kolommen wordt een &-teken gebruikt; als scheiding tussen rijen een dubbele backslash (\\). Een helder voorbeeld is de volgende eenheidsmatrix van 5x5:

\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}

${\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{matrix}}$

Een iets uitgebreider voorbeeld:

\begin{matrix} x^{2} + 3x - 9 & \int_{-\infty}^{\infty}f(g(x))~dx\\ \frac{7x}{19y} & \left\{ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right\} \end{matrix}

${\begin{matrix}x^{2}+3x-9&\int _{-\infty }^{\infty }f(g(x))~dx\\{\frac {7x}{19y}}&\left\{{\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}}\right\}\end{matrix}}$

Er zijn een aantal varianten op matrices, die allemaal te maken hebben met de afscheidingen rondom de matrix. In de bovenstaande gevallen, was er bijvoorbeeld geen afscheiding. We kennen echter rechtomlijnde matrices, dubbel rechtomlijnde matrices, blokmatrices, matrices in accolades en matrices in haken:

Stijl	Voorbeeld	resultaat
"Gewoon"	\begin{matrix} x & y \\ v & w \end{matrix}	${\begin{matrix}x&y\\v&w\end{matrix}}$
Rechtomlijnd	\begin{vmatrix} x & y \\ v & w \end{vmatrix}	${\begin{vmatrix}x&y\\v&w\end{vmatrix}}$
Dubbel rechtomlijnd	\begin{Vmatrix} x & y \\ v & w \end{Vmatrix}	${\begin{Vmatrix}x&y\\v&w\end{Vmatrix}}$
Blok	\begin{bmatrix} x & y \\ v & w \end{bmatrix}	${\begin{bmatrix}x&y\\v&w\end{bmatrix}}$
Accolades	\begin{Bmatrix} x & y \\ v & w \end{Bmatrix}	${\begin{Bmatrix}x&y\\v&w\end{Bmatrix}}$
Haken	\begin{pmatrix} x & y \\ v & w \end{pmatrix}	${\begin{pmatrix}x&y\\v&w\end{pmatrix}}$

Een zeer veel voorkomende matrix met haken is de 1x2-matrix; deze wordt namelijk gebruikt voor binomiaal notatie. Dit komt zo vaak voor, dat hiervoor een kortere constructie bedacht is:

{a \choose b}

wordt

${a \choose b}$

Gevalsonderscheid

Constructies van gevalsonderscheid vallen prachtig te maken met behulp van matrices. Beschouw bijvoorbeeld de volgende definitie van de notatie van Knuth:

[\mathcal{B}] = \left\{ \begin{matrix}\mbox{Als } \mathcal{B} & 1 \\ \mbox{Anders } & 0 \end{matrix}\right.

$[{\mathcal {B}}]=\left\{{\begin{matrix}{\mbox{Als }}{\mathcal {B}}&1\\{\mbox{Anders }}&0\end{matrix}}\right.$

Meerregelige vergelijkingen

Ook vergelijkingen over meerdere regels kunnen met matrices makkelijk opgesteld worden, al wordt voor heel lange vergelijkingen meestal wel een aangepaste wiskunde omgeving gebruikt.

\begin{matrix}
& ax^{2} + bx + c = 0 \\
\equiv &\{q(r+s) = qr + qs; \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{pr}{qs}; \frac{p}{1} = p; \ldots \} \\
& a(x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} ) = 0 \\
\equiv &\{p + 0 = p; q - q = 0\} \\
& a(x^{2} + 2 \frac{b}{2a} x + (\frac{b}{2a}) - (\frac{b}{2a}) + \frac{c}{a}) = 0 \\
\equiv &\{(p+q)^{2} = p^{2} + 2pq + q^{2}\} \\
& a((x + \frac{b}{2a})^{2} + \frac{4ac-b^{2}}{4a^{2}}) = 0 \\
\equiv &\\
& x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}
\end{matrix}

${\begin{matrix}&ax^{2}+bx+c=0\\\equiv &\{q(r+s)=qr+qs;{\frac {p}{q}}\cdot {\frac {r}{s}}={\frac {pr}{qs}};{\frac {p}{1}}=p;\ldots \}\\&a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}})=0\\\equiv &\{p+0=p;q-q=0\}\\&a(x^{2}+2{\frac {b}{2a}}x+({\frac {b}{2a}})-({\frac {b}{2a}})+{\frac {c}{a}})=0\\\equiv &\{(p+q)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}\}\\&a((x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}})=0\\\equiv &\\&x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{matrix}}$