Wiskunde/Getallen

 Deze pagina geeft een korte samenvatting van verschillende soorten getallen. Voor uitgebreidere beschrijvingen, zie Rekenen.

Over soorten getallen en telsystemen

Naast de bekende getallen, zoals 1,2,3,... en 1/2, 2/5, ... zijn er nog veel andere getallen. Bovendien kan een getal op verschillende manieren weergegeven worden. Denk maar aan Romeinse cijfers. Zo'n manier van weergeven noemen we een talstelsel. Het gebruikelijkste talstelsel van mensen is het decimale stelsel, een positiestelsel dat getallen vormt met de cijfers 0 t/m 9. In de computerwereld worden het binaire en het hexadecimale stelsel veel gebruikt.

Deze samenvatting over getallen maakt ook gebruik van de beschikbare informatie elders op Wikibooks en Wikipedia.

Natuurlijke getallen

De natuurlijke getallen zijn de getallen waarmee we tellen, dus de aantallen. Er is een kleinste natuurlijk getal, tegenwoordig 0, maar vroeger 1, en bij elk getal een volgende. Op 0 volgt 1, dan 2, enz. We kunnen de natuurlijke getallen voorstellen als alle rijen cijfers (0 t/m 9) van willekeurige lengte, zonder decimaalteken(,) of minteken(-). Het symbool van de natuurlijke getallen is $\mathbb {N}$.

Zie ook natuurlijke getallen bij:

• Natuurlijke getallen: met meer uitleg
• Wikibook Rekenen
• Wikipedia

Gehele getallen

Gehele getallen zijn alle natuurlijke getallen, samen met hun tegengestelden, de negatieve getallen. Maar ze mogen nog altijd geen breuk of kommagetal zijn.

Het symbool van gehele getallen is $\mathbb {Z}$.

Omdat de natuurlijke getallen ook allemaal gehele getallen zijn, is $\mathbb {N}$ een deelverzameling van $\mathbb {Z}$. Met een wiskundige notatie: $\mathbb {N}$ ⊂ $\mathbb {Z}$.

Gehele getallen zijn te verdelen in even (2,4,6,8...) en oneven (1,3,5,7,...) getallen.

Negatieve getallen

Negatieve getallen zijn alle rijen cijfers (0 t/m 9), zonder decimaalteken(,) met een minteken(-).

Negatieve getallen worden als volgt weergegeven: -1,-2,-3,-10,-25,...

Omdat het (-)teken duidelijk aangeeft, welke getallen negatief zijn, hoeven positieve getallen niet aangeduid te worden met een (+)teken. Het min-teken en het plus-teken noemen we het toestandsteken. Het toestandsteken geeft aan of een getal negatief of positief is.

Je vraagt je misschien af wat we met negatieve getallen kunnen doen. Bestaan die in de echte wereld? Het antwoord is: Ja, negatieve getallen zijn heel nuttig. Situaties waarbij we met negatieve getallen werken zijn bijvoorbeeld:

• Bij de temperatuur. We meten temperaturen in graden Celsius, boven 0 zijn die positief, bij vorst negatief (graden onder nul)
• Bij je banksaldo: als je positief staat, heb je geld op de bank staan. Geef je te veel geld uit, dan 'sta je negatief', ook wel genoemd 'dan sta je rood'.
• Bij hoogte: We praten over bijvoorbeeld 5 meter boven zeeniveau (positief), maar dat getal kan ook negatief zijn, we praten dan over 'beneden zeeniveau'.

Tegengestelde

Het tegengestelde van een getal is simpelweg het getal met het tegengestelde toestandsteken.

We noteren "het tegengestelde van een getal" door er een - voor te zetten.

Enkele voorbeelden:
-(2) = -2 (Het tegengestelde van 2 is - 2)
-(-8) = (+)8 (het tegengestelde van -8 is 8)

Absolute waarde

De absolute waarde van een getal is dat getal zonder toestandsteken.

We noteren "absolute waarde van een getal" door het tussen twee verticale strepen te zetten.

Enkele voorbeelden:
|(+)3| = 3
| -7 | = 7

Orde van de gehele getallen

Als we met negatieve getallen te maken hebben, moeten we opletten voor de ordening:

Vanaf dat we een minteken zetten, wordt het getal kleiner naarmate het een grotere absolute waarde heeft. Dat is logisch: Als je bijvoorbeeld 2 euro te kort hebt (-2) om iets te kopen is dat natuurlijk minder erg dan als je 20 euro te kort (-20) zou hebben.

Bijvoorbeeld:

• -5 $\ngtr$ -4
• -5 $<$ -4

Zie ook

• Wikibook Rekenen
• Wikipedia

Rationale getallen

Rationale getallen zijn getallen die als breuk te schrijven zijn in de vorm ${\tfrac {a}{b}}$, waarbij a en b beide een geheel getal zijn met $b\neq 0$. Ook de gehele getallen zijn rationale getallen, want $-5={\tfrac {-5}{1}}$. Het symbool van deze verzameling is $\mathbb {Q}$.

Let op! Niet elk getal is een rationaal getal. Ongeacht dat je dat misschien nu zou denken. Het getal $\pi$ (pi) is bijvoorbeeld niet in de vorm ${\tfrac {a}{b}}$ te schrijven. zie hiervoor de reële getallen.

Zie ook

• Wikibook Rekenen
• Wikipedia

Irrationale getallen

Irrationale getallen zijn getallen die niet te schrijven zijn als het quotiënt (deling) van twee gehele getallen. Veel wortels kunnen niet geschreven worden als een rationaal getal, bijvoorbeeld de wortel van 2. Een ander bekend irrationaal getal is pi.

Zie ook

• Wikipedia

Reële getallen

De rationale en irrationale getallen heten samen de reële getallen. Het symbool hiervoor is $\mathbb {R}$.

Irrationale getallen zijn getallen waarin we geen regelmaat herkennen. Neem nu $\pi$ (pi). Dit getal is bij benadering 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279... Je ziet er geen enkele regelmaat in, er is geen periode. Als die er wel was, konden we het getal als breuk schrijven, maar dat gaat nu dus niet. Het getal ${\tfrac {2}{3}}$ heeft wel een periode en is dus rationaal.

Je kan pi dus schrijven als deze letter: $\pi$. Je kan $\pi$ niet schrijven als een breuk, bijvoorbeeld, ${\tfrac {314}{100}}$. Andere irrationale getallen zijn ${\sqrt {2}}$, ${\sqrt {3}}$, ${\sqrt {5}}$ en ga zo maar door. De irrationale getallen zijn dus wat overblijft als je de rationale getallen uit de reële getallen weglaat; wiskundige notatie: $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$. Er geldt dus: $\pi \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$, ${\sqrt {2}}\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$, ${\sqrt {3}}\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ en ${\sqrt {5}}\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$. Het symbool $\in$ staat voor element van.

Noot: ${\sqrt {1}}$ en ${\sqrt {4}}$ zijn wel rationaal, want dat zijn de natuurlijke getallen 1 en 2; notatie: $1\in \mathbb {N}$, $2\in \mathbb {N}$.

Zie ook

• Rekenen
• Reëel_getal
• Pi, decimale ontwikkeling

Complexe getallen

Een complex getal is een uitdrukking van de vorm $a+bi$. Daarin zijn $a$ en $b$ reële getallen en is het complexe getal $i$ de imaginaire eenheid, waarvoor geldt: $i^{2}=-1$.

Zie ook

• Wikibook Rekenen
• Wikipedia

Bijzondere getallen

Er zijn getallen met speciale eigenschappen. Naast het hierboven genoemde getal i, waarvoor geldt dat $i^{2}=-1$, zijn er bijvoorbeeld het getal pi ($\pi$) en het getal van Euler (e).

Benaderde waarden - eigenlijk gewoon afrondingen - zijn $\pi \approx 3,14$ en $e\approx 2,72$; beide getallen lopen oneindig ver door achter de komma zonder dat er ooit een patroon optreedt. Je kan dus nooit met zekerheid voorspellen welke de volgende decimaal gaat zijn zonder deze decimaal ook echt uit te rekenen. Beide worden gebruikt in de meetkunde en vele andere takken van de wiskunde en de natuurkunde. Als men in de wiskunde een afgeronde uitkomst (benaderde waarde) moet opschrijven, gebruiken we het 'golvend' gelijkheidsteken ($\approx$).

Daarnaast worden er hieronder nog enkele bijzondere getallen uitgelegd, op de Wikipedia pagina over natuurlijke getallen vind je nog meer voorbeelden.

Het getal 0

Het getal 0 is een geval apart. Het is niet positief of negatief, het is een neutraal getal. Rekenen met nul is in sommige gevallen verwarrend:

$x+0=x$

$0+x=x$

$x-0=x$

$0-x=-x$

$x*0=0$

$0*x=0$

$0/x=0$, als x niet gelijk is aan nul

$x/0$ is niet gedefinieerd, ook niet als x zelf nul is; door nul kan niet worden gedeeld

Het is gemakkelijk in te zien waarom je niet door 0 kan delen. Stel dat bijvoorbeeld $6/0=q$, dan zou $6=0\times q=0$. Ook 0 kun je niet delen door 0. Want als $0/0=q$, kunnen we voor $q$ elk getal invullen: $0/0=1254$ want $1254*0=0$, $0/0=1$ want $1*0=0$, $0/0=x\Leftrightarrow 0x=0$ enz.

Zie ook

• Getal 0
• Delen door 0

Zeef van Eratosthenes

Priemgetallen

Een priemgetal is een natuurlijk getal, ongelijk aan 1, dat alleen deelbaar is door 1 en door zichzelf. Voor het gemak van de theorie is afgesproken dat 1 geen priem­getal is. Er zijn oneindig veel priem­getallen, waarvan slechts één even getal, namelijk 2. Priemgetallen tot honderd zijn gemakkelijk te vinden met de zeef van Eratosthenes.

De priemgetallen tot honderd zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Op de pagina priemgetallen staat een lijst van de eerste 10.000 priemgetallen.

Zie ook

• Priemgetal op Wikipedia
• zeef van Eratosthenes op Wikipedia

Parameters en variabelen

Parameters en variabelen zijn grootheden aangeduid door een letter of ander symbool die gebruikt worden als getal. Van een parameter ligt de waarde wel vast, maar is niet bekend. Een variabele kan gebruikt worden als hier kan elk reëel getal ingevuld worden (vaak gebruikt om vanuit een voorbeeld naar een abstracte algemene regel te redeneren), of als een getal waarvan de waarde nog niet bekend is.

In de formule bij de stelling van Pythagoras:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

zijn $a,b$ en $c$ variabelen.

In de abc-formule:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

$ax^{2}+bx+c=0$

zijn $a,b$ en $c$ parameters, evenals in de vergelijking. Daarin is $x$ een variabele.