Rekenen/Complexe getallen

De reële getallen vormen een tamelijk volledige getallenverzameling. Er is op de getallenrechte geen lege plek meer over. Toch zijn wiskundigen niet tevreden. Zij zouden graag ook getallen hebben waarvan het kwadraat een negatief getal is. Daarom hebben ze brutaalweg zo'n getal ingevoerd, namelijk het getal $i$ , dat de imaginaire eenheid heet, en waarvoor geldt:

i^{2}=-1

.

Soms wordt wel gezegd dat het getal $i$ de wortel uit $-1$ is. Dat is niet correct. Voor de complexe wortel geldt:

{\sqrt {-1}}=\pm i

,

omdat ook

(-i)^{2}=-1.

We breiden de reële getallen uit met dit getal $i$ en ook met alle getallen die we daarvan kunnen afleiden, door gewoon met de nieuwe getallen te rekenen. Dus behoren ook bijvoorbeeld de getallen

2i,\,3i,\,{\frac {i}{7}},\,i^{5},\,i+1,\,2i-9,\,1+i,\,2+3i,\,-i,\,5-7i,\,{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}+11i

tot de nieuwe getallen. We noemen deze getallen complexe getallen. Al deze complexe getallen zijn van de vorm

"een reëel getal" + "een reëel getal" ×

i

,

dus samengesteld uit twee reële getallen.

Van het complexe getal $3+2i$ heet 3 het reële deel en 2 het imaginaire deel van het complexe getal. Het complexe getal $7-4i$ heeft een reëel deel 7 en een imaginair deel –4.

De verzameling complexe getallen wordt aangegeven met $\mathbb {C}$

Voorbeelden

Met de twee complexe getallen $3+2i$ en $1-i$ kunnen we gewoon rekenen, als we maar rekening houden met de eigenschap van het getal $i$ , en overal het kwadraat van $i$ vervangen door $-1$ .

(2+3i)+(1-i)=2+1+3i-i=3+2i

(2+3i)-(1-i)=2-1+3i+i=1+4i

(2+3i)\cdot (1-i)=2\cdot 1-2\cdot i+3i\cdot 1-3i\cdot i=2-2i+3i-3i^{2}=2+i-3(-1)=5+i

We kunnen ook het quotiënt van beide getallen berekenen, maar dat is wat ingewikkelder. Er is gelukkig een overzichtelijke methode om een deling uit te voeren. Daartoe vermenigvuldigen we teller en noemer met de zogeheten complex geconjugeerde van de noemer, het complexe getal met hetzelfde reële deel maar het tegengestelde imaginaire deel:

{\frac {2+3i}{1-i}}={\frac {2+3i}{1-i}}\cdot {\frac {1+i}{1+i}}={\frac {-1+5i}{2}}=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}+{\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}i

.

Constructie

De boven gegeven definitie is tamelijk abstract. Het is de vraag of complexe getallen wel bestaan, behalve in onze gedachten. Kunnen we een concrete voorstelling geven van complexe getallen? Dat kan inderdaad! Omdat het complexe getal $a+bi$ bestaat uit de twee reële getallen $a$ en $b$ ligt het voor de hand om het getallenpaar $(a,b)$ op te vatten als voorstelling van het complexe getal $a+bi$ . De punten in het gewone platte vlak stellen dus de complexe getallen voor. Tenminste als we er op de juiste manier mee kunnen rekenen.