Wiskunde/Vergelijkingen en ongelijkheden/Tweedegraads

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Inhoudsopgave Wiskunde
Hoofdstukken
  1. Algebra
  2. Getallen
  3. Meetkunde|
  4. Oppervlakte
  5. Pythagoras
  6. Rekenkunde
  7. Talstelsels
  8. Vergelijkingen en ongelijkheden
9. Volume

Standaardvorm[bewerken]

Een tweedegraads- of kwadratische functie heeft de volgende vorm:

De grafiek van een tweedegraadsfunctie is een parabool.

Een tweedegraads of kwadratische vergelijking is een vergelijking met de standaardvorm:

Soms laat men voor b de waarde 0 toe en noemt de vergelijking dan ontaard.

Nulpunten[bewerken]

De oplossingen van de vergelijking in de onbekende x zijn de nulpunten van de bovengenoemde tweedegraadsfunctie y. Ze worden gegeven door de abc- of wortelformule:

Er zijn drie gevallen te onderscheiden:

  1. b2 - 4ac > 0: De vergelijking heeft twee oplossingen.
  2. b2 - 4ac = 0: De vergelijking heeft één oplossing, namelijk het snijpunt van de top met de x-as.
  3. b2 - 4ac < 0: De vergelijking heeft geen (reële) oplossingen.

Voorbeeld[bewerken]

Wat zijn de x-coördinaten van de snijpunten met de x-as van de parabool die wordt beschreven door de formule ?

De x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as zijn dus -3 en 1.

Afleiding van de wortelformule[bewerken]

Algemene tweedegraadsvergelijking[bewerken]

Hierboven hebben we gezien dat een vergelijking in de vorm van eenvoudig kan worden opgelost. Dit is niet direct het geval met een vergelijking van de vorm . We zullen deze vergelijking eerst moeten omschrijven:

De aldus verkregen vergelijking kan eenvoudig worden opgelost met behulp van de abc-formule.

Top Bepalen[bewerken]

De x-coördinaat van de top wordt gegeven door . De y-coördinaat van de top kan worden verkregen door in te vullen in de formule.

Voorbeeld[bewerken]

Wat zijn de coördinaten van de top van de parabool die wordt beschreven door de formule ?

De coördinaten van de top van de grafiek zijn .

Afleiding van deze Formule[bewerken]

geeft . Gelijkstellen van de afgeleide aan 0 (om de top te bepalen) geeft:


 

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.