Een tweedegraads- of kwadratische functie heeft de volgende vorm:
![{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\quad \quad (a\neq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65803d0c72ecd485b2c8ebce35151ec6ae32a238)
De grafiek van een tweedegraadsfunctie is een parabool.
Een tweedegraads of kwadratische vergelijking is een vergelijking met de standaardvorm:
![{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad \quad (a\neq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4937aaacbb7a4e5852e3f760579599b62699160)
Soms laat men voor b de waarde 0 toe en noemt de vergelijking dan ontaard.
De oplossingen van de vergelijking
in de onbekende x zijn de nulpunten van de bovengenoemde tweedegraadsfunctie y. Ze worden gegeven door de abc- of wortelformule:
![{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62e1c4fb012beb24706443a8482872d6c36b667)
Er zijn drie gevallen te onderscheiden:
- b2 - 4ac > 0: De vergelijking heeft twee oplossingen.
- b2 - 4ac = 0: De vergelijking heeft één oplossing, namelijk het snijpunt van de top met de x-as.
- b2 - 4ac < 0: De vergelijking heeft geen (reële) oplossingen.
Wat zijn de x-coördinaten van de snijpunten met de x-as van de parabool die wordt beschreven door de formule
?
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\&={\frac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\cdot 1\cdot -3}}}{2\cdot 1}}\\&={\frac {-2\pm {\sqrt {16}}}{2}}\\&={\frac {-2\pm 4}{2}}\\&=-1\pm 2\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1411d89a5c2e051a6434692cc418e27723002cc1)
De x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as zijn dus -3 en 1.
![{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\2ax&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f15a8bc891eb53362d45c8c77f0471d2148b78)
Algemene tweedegraadsvergelijking
[bewerken]
Hierboven hebben we gezien dat een vergelijking in de vorm van
eenvoudig kan worden opgelost. Dit is niet direct het geval met een vergelijking van de vorm
. We zullen deze vergelijking eerst moeten omschrijven:
![{\displaystyle ax^{2}+bx+c=dx^{2}+e\Leftarrow \Rightarrow (a-d)x^{2}+bx+(c-e)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212711fbc2d5200fde5f0cc9e3cca1c05badb06d)
De aldus verkregen vergelijking kan eenvoudig worden opgelost met behulp van de abc-formule.
De x-coördinaat van de top wordt gegeven door
. De y-coördinaat van de top kan worden verkregen door
in te vullen in de formule.
Wat zijn de coördinaten van de top van de parabool die wordt beschreven door de formule
?
De coördinaten van de top van de grafiek zijn
.
geeft
. Gelijkstellen van de afgeleide aan 0 (om de top te bepalen) geeft: