Wiskunde/Vergelijkingen en ongelijkheden/Tweedegraads

Standaardvorm

Een tweedegraads- of kwadratische functie heeft de volgende vorm:

$y=ax^{2}+bx+c\quad \quad (a\neq 0)$

De grafiek van een tweedegraadsfunctie is een parabool.

Een tweedegraads of kwadratische vergelijking is een vergelijking met de standaardvorm:

$ax^{2}+bx+c=0\quad \quad (a\neq 0)$

Soms laat men voor b de waarde 0 toe en noemt de vergelijking dan ontaard.

Nulpunten

De oplossingen van de vergelijking $ax^{2}+bx+c=0$ in de onbekende x zijn de nulpunten van de bovengenoemde tweedegraadsfunctie y. Ze worden gegeven door de abc- of wortelformule:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Er zijn drie gevallen te onderscheiden:

1. b² - 4ac > 0: De vergelijking heeft twee oplossingen.
2. b² - 4ac = 0: De vergelijking heeft één oplossing, namelijk het snijpunt van de top met de x-as.
3. b² - 4ac < 0: De vergelijking heeft geen (reële) oplossingen.

Voorbeeld

Wat zijn de x-coördinaten van de snijpunten met de x-as van de parabool die wordt beschreven door de formule $y=x^{2}+2x-3$?

${\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\&={\frac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\cdot 1\cdot -3}}}{2\cdot 1}}\\&={\frac {-2\pm {\sqrt {16}}}{2}}\\&={\frac {-2\pm 4}{2}}\\&=-1\pm 2\end{aligned}}$

De x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as zijn dus -3 en 1.

Afleiding van de wortelformule

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\2ax&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}$

Algemene tweedegraadsvergelijking

Hierboven hebben we gezien dat een vergelijking in de vorm van $ax^{2}+bx+c=0$ eenvoudig kan worden opgelost. Dit is niet direct het geval met een vergelijking van de vorm $ax^{2}+bx+c=dx^{2}+e$. We zullen deze vergelijking eerst moeten omschrijven:

$ax^{2}+bx+c=dx^{2}+e\Leftarrow \Rightarrow (a-d)x^{2}+bx+(c-e)=0$

De aldus verkregen vergelijking kan eenvoudig worden opgelost met behulp van de abc-formule.

Top Bepalen

De x-coördinaat van de top wordt gegeven door $x_{top}=-{\tfrac {b}{2a}}$. De y-coördinaat van de top kan worden verkregen door $x_{top}$ in te vullen in de formule.

Voorbeeld

Wat zijn de coördinaten van de top van de parabool die wordt beschreven door de formule $y=3x^{2}+4x-2$?

${\begin{aligned}x_{top}&=-{\tfrac {4}{2\cdot 3}}=-{\tfrac {2}{3}}\\y_{top}&=3\cdot (-{\tfrac {2}{3}})^{2}+4\cdot -{\tfrac {2}{3}}-2=-{\tfrac {10}{3}}\end{aligned}}$

De coördinaten van de top van de grafiek zijn $(-{\tfrac {2}{3}},-{\tfrac {10}{3}})$.

Afleiding van deze Formule

$y=ax^{2}+bx+c$ geeft ${\tfrac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2ax+b$. Gelijkstellen van de afgeleide aan 0 (om de top te bepalen) geeft:

${\begin{aligned}2ax+b&=0\\2ax&=-b\\x&={\tfrac {-b}{2a}}\end{aligned}}$