De som van twee getallen is 130 en het verschil is 52. Wat zijn deze getallen?
Drie getallen zijn samen gelijk aan 200. Het tweevoud van het eerste getal, vermeerderd met het tweevoud van het tweede getal, is gelijk aan de helft van het derde getal. Drievierde van het eerste getal, verminderd met een kwart van het tweede getal, is gelijk aan de helft van het derde getal, vermeerderd met 30.
Wat zijn de drie getallen?
Noem het grootste getal
en het kleinste getal
. Dan geldt:
![{\displaystyle {\begin{cases}x+y=130\\x-y=52\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ca6df4cee2434fd2f0e842fd1967b041505e00)
Door optelling van de vergelijkingen verkrijgen we,
Het antwoord is:
x + y = 130 \\
x - y = 52 => x = 52 + y
X = 52 + 39
52 + y + y = 130 \\. X = 91
52 + 2y = 130
2y = 130 - 52
2y = 78
y = 39
Verder geldt dat
, dus
.
We noemen de drie getallen
(het eerste getal),
(het tweede getal) en
(het derde getal).
Uit de opgave zijn drie vergelijkingen te destilleren:
![{\displaystyle a+b+c=200\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987548ed419a22a8ec803e55245ef1b505b0d20e)
![{\displaystyle 2a+2b={\tfrac {1}{2}}c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6578a09b00b8d66adda4cd40684cbe91e6c79d1)
![{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}a-{\tfrac {1}{4}}b={\tfrac {1}{2}}c+30}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8471033e66c9f39922d241568af80004b0356e0)
We moeten dus het volgende stelsel van vergelijkingen oplossen:
![{\displaystyle {\begin{cases}a+b+c=200\\2a+2b={\tfrac {1}{2}}c\\{\tfrac {3}{4}}a-{\tfrac {1}{4}}b={\tfrac {1}{2}}c+30\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5eff621d1e7efaf7731bd806d439b39829a08a)
is als volgt uit te drukken in
en
:
![{\displaystyle 2a+2b={\tfrac {1}{2}}c\rightarrow 4a+4b=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2b33153d16ad5bc49d748755ef39d3fb7d7839)
Hiermee hebben we het stelsel van drie vergelijkingen gereduceerd tot een stelsel van twee vergelijkingen:
![{\displaystyle {\begin{cases}a+b+(4a+4b)=200\\{\tfrac {3}{4}}a-{\tfrac {1}{4}}b={\tfrac {1}{2}}(4a+4b)+30\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e412017c2b628db4806ad2a74cdc2ac3e8189c2)
Na vereenvoudiging:
![{\displaystyle {\begin{cases}5a+5b=200\\{\tfrac {3}{4}}a-{\tfrac {1}{4}}b=2a+2b+30\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e33a68267b9b7b993795c4531e8fbd1855bb57)
Op dezelfde manier kunnen we nu
uitdrukken in
:
![{\displaystyle 5a+5b=200\rightarrow 5b=200-5a\rightarrow b=40-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4750f4b8450f72a19a0c63f9e81bd5431f9812e8)
Door deze b in te vullen in de onderste formule, krijgen we te maken met een eenvoudige eerstegraads vergelijking:
![{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}a-{\tfrac {1}{4}}(40-a)=2a+2(40-a)+30}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58dc245f157c9ada7a7adc60a0a478c31a1df23f)
Oplossen van deze vergelijking geeft:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {3}{4}}a-{\tfrac {1}{4}}(40-a)&=&2a+2(40-a)+30\\3a-(40-a)&=&8a+8(40-a)+120\\3a-40+a&=&8a+320-8a+120\\4a&=&480\\a&=&120\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c304409c0b011d6a991822199a0ad47c9aeb11f7)
Invullen van deze
in
geeft
.
Invullen van deze
en
in
geeft
.
De oplossingen zijn dus:
.