Wiskunde/Oppervlakte:integraalbegrip

Cursus Oppervlakte
Het begrip; van eenvoudige meetkundige vormen; onder een willekeurige kromme; bij 3D-objecten. Cursus Wiskunde

De berekening van de oppervlakte onder een willekeurige functie in een bepaald interval is in z'n algemeenheid niet eenvoudig, en in tegenstelling tot eenvoudige gevallen (rechthoek, cirkel) kan de oppervlakte niet m.b.v. formules gevonden worden. Om die oppervlakte toch te berekenen, is een nieuw begrip nodig, namelijk het integraalbegrip. Om een idee te krijgen wat dat inhoudt, proberen we de oppervlakte benaderend te vinden.

Riemann-sommen

We benaderen de oppervlakte onder de functie door het interval onder te verdelen in een aantal kleine stukjes. Voor de eenvoud nemen we al die stukjes even groot. Op elk deelinterval kan de oppervlakte onder de grafiek van de functie opgesloten worden tussen de rechthoeken met als hoogte respectievelijk de grootste en de kleinste functiewaarde op dat deelinterval. De som van alle rechthoeken met de grootste functiewaarden als hoogte heet bovensom, die met de kleinste functiewaarden als hoogte ondersom. De benaderingsmethode zit hem erin, dat in de deelintervallen de functiewaarden niet al te veel meer varieren, en de grootste en de kleinste functiewaarden dus dicht bij elkaar liggen. De boven- en ondersom, waartussen de gezochte oppervlakte ligt, zullen dus niet veel van elkaar verschillen. Bij de benadering van Riemann nemen we de functiewaarde in het midden van het interval als functiewaarde over het hele deelinterval (zie onderstaande figuur). Het gezochte oppervlak is dan de grootte van de rechthoek met als breedte de grootte van de partitie, en als hoogte de functiewaarde in het midden

Het oppervlak is dan benaderend gegeven door (stel b=breedte van het interval) :

Wensen we een hogere nauwkeurigheid, dan is een van de mogelijkheden het verkleinen van de deelintervallen (bijv. een onderverdeling in 20 ipv 5 intervallen).

Indien we het aantal (even grote) deelintervallen alsmaar laten stijgen, zullen we alsmaar dichter bij de oppervlakte onder de functie komen. Indien we de limiet nemen, de grootte van de partitie naar nul gaat, of het aantal partities naar oneindig, dan bekomen we het precieze oppervlak. Dit is nu precies integreren. In bovenstaand geval blijkt het oppervlak rond de twee te liggen.

Trapeziumregel

Uiteraard is de Riemann-som een botte benadering. Een betere benadering zou kunnen zijn dat we werken met trapezia i.p.v. rechthoeken:

Aangezien de precieze manier van benaderen (Riemann, trapeziumregel) niet belangrijk is, wordt daar in de notatie van de integraal ook geen rekening mee gehouden. De oppervlakte wordt geschreven als:

$\int _{0}^{\pi }sin(x)dx$.

Hoe kun je de oppervlakte onder een functie nu berekenen?

Stel, we wensen de oppervlakte onder een willekeurige functie te bepalen, meer bepaald de oppervlakte ingeklemd tussen de x-as en de grafiek van de functie, voor x-waarden in het interval (a,b). Die oppervlakte A wordt integraal genoemd en genoteerd als;

Die oppervlakte is dan:

$A=\int _{a}^{b}{f(x)dx}$

Voorbeelden

Nemen we de oppervlakte onder de constante functie f(x)=H, voor x van 0 tot B, deze is gelijk aan:

$A=\int _{0}^{B}f(x)dx=H\int _{0}^{B}dx=H.B$,

wat inderdaad het oppervlak van die figuur (een rechthoek) is.

Bij een cirkel, bijvoorbeeld om de oorsprong met straal R, (en algemeen bij willekeurige functies) is de berekening van de oppervlakte een stuk moeilijker:

$A=2\int _{-R}^{R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}dx=2R^{2}\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-t^{2}}}dt=\pi R^{2}$.