Wiskunde/Oppervlakte:3D

Cursus Oppervlakte
Het begrip; van eenvoudige meetkundige vormen; onder een willekeurige kromme; bij 3D-objecten. Cursus Wiskunde

In de vorige module hebben we een manier gezien waarop we de oppervlakte onder een functie kunnen berekenen. Daarmee kunnen we de oppervlakte van tweedimensionale figuren berekenen (zoals de cirkel) zolang we een functie vinden die figuur beschrijft. In dit deel van de cursus beschrijven we hoe we met integraalrekening de oppervlakte van een driedimensionaal object (een bol, een kubus) kunnen vinden. In het eerste deel geven we gewoon die oppervlaktes, in het tweede deel geven we een analytische berekeningsmethodiek aan.

Oppervlakte bekende driedimensionale objecten

3D-object	oppervlak	opmerking
bol	$4\pi r^{2}$	straal r
cilinder	$2\pi r^{2}+2\pi rh$	straal grondvlak r, hoogte h
kubus	$6a^{2}$	lengte rib a
balk	$2(b\cdot l+l\cdot h+h\cdot b)$	lengte l, hoogte h, breedte b
piramide	$(l_{g}\cdot b_{g})+2(l_{z}\cdot b_{z})$	oppervlak grondvlak + oppervlak van de zijvlakken: lengte l, breedte b; aanhangsel g duidt op grondvlak, aanhangsel z op zijvlak

Berekenen oppervlakte

Object met vlakke rand

Het oppervlak van objecten waarvan de rand bestaat uit een aantal vlakke oppervlaktes (zoals een kubus, balk, prisma) kan eenvoudig gevonden worden door voor iedere rand de oppervlakte te berekenen. Het totale oppervlak is dan de som van de oppervlaktes van de randen.

Het oppervlak van een kubus kan op deze manier berekend worden als zes keer de som van één van zijn zijvlakken (immers, een kubus bestaat uit zes gelijke zijvlakken, nl. vierkanten). Uit de formule voor de berekening van het oppervlak van een vierkant, nl. r², halen we vlot het oppervlak van de kubus: 6 r². Het oppervlakte van een pyramide is al wat moeilijker, maar ook eenvoudig te berekenen: de oppervlakte bestaat uit oppervlak grondvlak + oppervlak van de zijvlakken.