Wiskunde/Oppervlakte:eenvoudige meetkundige vormen

Uit Wikibooks
Ga naar: navigatie, zoek
Cursus Oppervlakte
Oppervlakte onder functie.PNG
  1. Het begrip;
  2. van eenvoudige meetkundige vormen;
  3. onder een willekeurige kromme;
  4. bij 3D-objecten.
Cursus Wiskunde

In dit hoofdstuk beschrijven we de berekening van de oppervlakte van enkele eenvoudige meetkundige vormen:

  • de rechthoek;
  • het vierkant;
  • de driehoek;
  • de regelmatige n-hoek
  • de cirkel;
  • de ellips.


Hoe kun je de oppervlakte van een rechthoek uitrekenen?[bewerken]

Om de oppervlakte van een rechthoek uit te rekenen heb je twee gegevens nodig, namelijk de lengte en de breedte van de rechthoek (het is beter om de termen 'lengte en breedte' te vermijden, korte zijde en lange zijde is beter, dus dat doen we vanaf nu). Voorbeeld:

Simpel vierkant1.jpg

De bovenstaande rechthoek is 4 cm breed en 10 cm lang. De oppervlakte is het aantal vierkante centimeter die in de rechthoek passen. Door om de centimeter lijnen te trekken verdelen we de lengte in 10 stukken van 1 cm en de breedte in 4 stukken van 1 cm. We tellen nu 10 × 4 = 40 vierkantjes van 1 cm lang en 1 cm breed.

Om de oppervlakte te berekenen moet je dus de volgende formule gebruiken:

korte zijde x lange zijde = oppervlakte

in dit geval is dat:

4 cm x 10 cm = 40 cm²


Zoals je misschien al hebt gezien staat er als eenheid cm², dus cm met een kleine 2 boven achter cm. Dit betekent dat het een oppervlakte-eenheid is; cm² wordt uitgesproken als 'vierkante centimeter' en betekent eigenlijk niets anders dan cm × cm.

Als je de maten in meter hebt, bijvoorbeeld een rechthoek van 6 meter bij 3 meter, wordt de oppervlakte automatisch in 'vierkante meter'. Dus:


6 m x 3 m = 18 m²


De korte zijde en lange zijde moeten in dezelfde lengte-eenheid zijn. Als je een rechthoek van 50 cm bij 4 m hebt, kun je de oppervlakte op 2 manieren berekenen, namelijk:


0,5 m x 4 m = 2 m²

of

50 cm x 400 cm = 20.000 cm²


Zoals je al ziet is de oppervlakte van een rechthoek van 50 cm bij 4 m gelijk aan 2 m², maar ook aan 20.000 cm². Blijkbaar is 2 m² dus hetzelfde als 20.000 cm².

Hoe kun je de oppervlakte van een vierkant uitrekenen?[bewerken]

Een vierkant is een rechthoek, waarvan de zijden even lang zijn.

Daarom geldt in dit geval:

zijde x zijde = zijde² = oppervlakte

Hoe kun je de oppervlakte van een driehoek uitrekenen?[bewerken]

Een driehoek is net zo groot als een halve rechthoek, zoals te zien is in de linker rechthoek:

5 driehoeken.png

Voor de rechter driehoek is dat iets lastiger in te zien. Daarom trekken we in die driehoek een lijn die van de top van de rode driehoek recht naar beneden loopt.

6 driehoeken.png


Deze lijn verdeelt de rechthoek in twee rechthoeken, een linker en een rechter rechthoek. Alletwee de rechthoeken bestaan uit een even groot rood en blauw deel. De rode oppervlakte is dus ook in de rechterrechthoek even groot als de blauwe oppervlakte.

De formule die je nodig hebt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen is dus:


oppervlakte driehoek = (korte zijde van rechthoek x lange zijde van rechthoek) : 2


Eenvoudig gezegd bereken je dus eerst de oppervlakte van de rechthoek en neem je daar de helft van. Nu is de lengte van de rechthoek gelijk aan de lengte van de zijde die de basis is van de driehoek en de breedte van de rechthoek is gelijk aan de (bij de basis horende) hoogte van de driehoek, dus in de formule wordt dit:

oppervlakte driehoek = (basis x hoogte) : 2

Bijvoorbeeld:


Driehoek2.PNG


De basis is 7 cm lang en de hoogte is 5 cm, de oppervlakte van de driehoek is dus:


(7 cm x 5 cm) : 2 = 17,5 cm²

Hoe kun je de oppervlakte van een regelmatige n-hoek uitrekenen?[bewerken]

Een n-hoek is een figuur met n hoeken en n zijden. Men noemt de n-hoek regelmatig als alle zijden en alle hoeken dezelfde zijn.

Een voorbeeld is het vierkant.

De oppervlakte van een regelmatige n-hoek kan men als volgt berekenen. Men kan de oppervlakte beschouwen als opgebouwd uit n (gelijkbenige) driehoeken met basis z en een nog onbekende hoogte h. De totale oppervlakte is dus nzh/2 . De hoogtelijn uit de tophoek naar de basis verdeelt elke driehoek in 2 rechthoekige deeldriehoeken. De verhouding tussen de rechthoekszijden wordt gegeven door de goniometrische tangensfunctie. Bij theoretische formules wordt het argument van goniometrische functies gegeven in radialen. Een hoek van 360° komt overeen met een hoek van 2π radialen (rad). In elke rechthoekige deeldriehoek is de hoek tegen het middelpunt dus = (2π/n)/2 = π/n rad. Men krijgt dan voor de verhouding van de rechthoekszijden:

 \frac{z/2}{h}= \tan{\frac{\pi}{n}}    waaruit    h = \frac{z/2}{\tan{\frac{\pi}{n}}}

Dit invullen in de eerste formule voor de oppervlakte levert:

oppervlakte regelmatige n-hoek = \frac{nz^{2}}{4 \tan{ \frac{\pi}{n}}}

Waarbij z de lengte van een willekeurige zijde is en tan de tangensfunctie voorstelt. π wordt hieronder gedefinieerd. Wanneer men met een rekenmachientje werkt waarbij men het argument van de tangens in graden mag ingeven, vervangt men π door 180° .

De afstand van het middelpunt tot aan een hoekpunt (wat ook de straal van de omschreven cirkel is) noemen we r. Die kan men als volgt berekenen:

r = \frac{z}{2 \sin{\frac{\pi}{n}}}

Voorbeeld: De oppervlakte van een vierkant met zijde 3 is

oppervlakte vierkant = \frac{nz^{2}}{4 \tan{ \frac{\pi}{n}}} = \frac{4\cdot3^{2}}{4 \tan{ \frac{\pi}{4}}} = \frac{4\cdot9}{4\cdot1} = \frac{9}{1} = 9

wat overeenkomt met de eerder gegeven formule, waarbij:

oppervlakte vierkant = zijde² = 3² = 9

Hoe kun je de oppervlakte van een cirkel uitrekenen?[bewerken]

Voor het uitrekenen van de oppervlakte van een cirkel krijg je te maken met een aantal termen, deze termen zijn:


  • De diameter van een cirkel (d)
  • De straal van een cirkel (r)
  • Het getal Pi (π)


Wat is de diameter?[bewerken]

De diameter van een cirkel is de lengte van een rechte lijn die loopt van een punt op de cirkel, via het middelpunt, naar een punt aan de overkant. Het is de grootste afstand tussen twee punten op een cirkel.

Diameter van een cirkel.png

Wat is de straal?[bewerken]

De straal van een cirkel is de afstand van het middelpunt tot de cirkel. Deze afstand is bij een cirkel in alle richtingen gelijk. Daarom is een cirkel gemakkelijk te tekenen met behulp van een passer. In de wiskunde w

De straal is de helft van de diameter. Als de diameter 10 cm is, dan is de straal dus (10 cm : 2 =) 5 cm.

Wat is het getal π?[bewerken]

Het getal π (spreek uit: "pi") is een getal aangegeven met de 16e letter van het Griekse alfabet. Het getal π is irrationaal, wat betekent dat er oneindig veel decimalen achter de komma staan, zonder in herhaling te vervallen. De meeste rekenmachines geven π aan tot zo'n 10 á 20 cijfers achter de komma.

π = 3,1415926535897932...

Wat is de formule?[bewerken]

De formule die gebruikt wordt om de oppervlakte van een cirkel te berekenen is:


Oppervlakte cirkel = pi x straal x straal

Of in het kort:

Oppervlakte cirkel = π r²

De oppervlakte van een cirkel kan worden afgeleid van de oppervlakte van een regelmatige n-hoek. Gaat het aantal hoeken naar oneindig, dan verdwijnt immers de ruimte tussen de n-hoek en de omgeschreven cirkel (de cirkel die door alle hoekpunten gaat).

Oppervlakte cirkel = \lim_{n \rightarrow + \infty}{\frac{nz^{2}}{4 \tan{ \frac{\pi}{n}}}}
 = \lim_{n \rightarrow + \infty}{\frac{n(2r \sin{\frac{\pi}{n}})^{2}}{4 \tan{ \frac{\pi}{n}}}}
 = \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow + \infty}{nr^{2}2 \sin{\frac{\pi}{n}} \cos{\frac{\pi}{n}}}
 = \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow + \infty}{nr^{2} \sin{\frac{2 \pi}{n}}}

Wanneer n groter wordt, wordt 2π/n steeds kleiner. Voor een kleine hoek, kleiner dan 1°, mag men de sin van die hoek vervangen door de hoek zelf mits die in radialen uit te drukken. 2π/n is de hoek in radialen. Door sin(2π/n) te vervangen door 2π/n krijgt men:

 = \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow + \infty}{\frac{2 \pi nr^{2}}{n}}
 = \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow + \infty}{2 \pi r^{2}}
 = \frac{2 \pi r^{2}}{2}  = \pi r^{2}


Laten we deze formule uitproberen met de volgende cirkel:


Doorsnede cirkel.png


Deze cirkel heeft een diameter van 10 cm. Voor het toepassen van de formule hebben wij echter niet de diameter, maar de straal nodig. Zoals hiervoor al gezegd is, is de straal de helft van de diameter, in dit geval is de straal dus 5 cm. Nu kunnen we de oppervlakte uitrekenen:


Oppervlakte cirkel = Pi x 5 cm x 5 cm = 78,54 cm²

of korter

Oppervlakte cirkel = π x 5² cm² = 78,54 cm²

Het lijkt in het begin misschien ingewikkeld, maar na een paar keer oefenen wordt het steeds eenvoudiger.

Andere afleiding
Men kan de formule ook vinden zonder beroep te doen op goniometrische functies als sinus, cosinus en tangens. Als men een omgeschreven regelmatige veelhoek beschouwt, dan is de hoogte in elke driehoek gelijk aan de straal r. De totale oppervlakte van die veelhoek met n zijden van lengte z is nzr/2. Die oppervlakte is groter dan de oppervlakte van de cirkel. Wanneer men het aantal zijden echter steeds groter maakt, wordt dit verschil steeds kleiner. Voor een oneindig groot aantal zijden zal de veelhoek samenvallen met de cirkel. n x z wordt dan de omtrek van de cirkel, nl. 2πr. De oppervlakte van de cirkel wordt dus πr2

Hoe kun je de oppervlakte van een ellips uitrekenen?[bewerken]

Een ellips ontstaat door een cirkel langs een as uit te rekken. Een ellips is echter niet hetzelfde als een ovaal: de kromming van een ellips verandert geleidelijk, terwijl een ovaal uit segmenten bestaat die elk een vaste kromming hebben.

De formule om de oppervlakte van een ellips uit te rekenen lijkt daarom op de formule voor de oppervlakte van een cirkel. Het verschil is dat een ellips niet een vaste diameter heeft. Een lijn door het middelpunt heeft een lengte die varieert van een kleinste waarde tot een grootste. De kleinste lijn heet de korte as van de ellips en de grootste de lange as. In plaats van met het kwadraat van de straal zoals bij een cirkel, bereken je de oppervlakte van een ellips met het product ab van de lengten a en b van de beide halve assen. Hieronder staat een ellips afgebeeld met de beide halve assen weergegeven.


Oppervlakte elips.png


a = de halve lange as (het langste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips)

b = de halve korte as (het kortste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips)


De formule om de oppervlakte van een ellips uit te rekenen is:


oppervlakte ellips = π x halve lange as a x halve korte as b


Als 'a' 20 cm is en 'b' 5 cm is, is de oppervlakte:

oppervlakte ellips = π x 20 cm x 5 cm = 314,2 cm²

Indien 'a' dezelfde waarde heeft als 'b', is de oppervlakte:

oppervlakte ellips = π . a . b = π . a²

Wat inderdaad blijkt te kloppen, het is immers de oppervlakte van een cirkel.


Ga terug naar de Inhoud.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.