Klassieke Mechanica/Elementaire dynamica

Dynamica

Inleiding

De dynamica is de studie van de oorzaken van een beweging. Dit kan onder vorm van een antwoord op de vraag wat is de beweging als er een systeem van gegeven krachten werken of wat zijn de krachten die nodig zijn om een bepaalde beweging te bekomen.

In eerste instantie zal men het gedrag van een puntmassa bekijken. Een puntmassa is een geometrisch punt waaraan men een massa toekent. Een punt kan niet roteren. Rotatie onderstelt verandering van richting maar een punt heeft geen richting. Het blijkt nadien dat de wetten die hier afgeleid worden ook toepasselijk zijn op de beweging van het massacentrum van voorwerpen.

Voorwerpen kunnen echter wel roteren. Om die beweging te bestuderen zal men voorwerpen eerst beschouwen als opgebouwd uit puntmassa's en de bewegingsvergelijkingen dan sommeren over alle puntmassa's van het voorwerp. Dit leidt tot specifieke wetten voor de rotatie van voorwerpen. Hierbij wordt geen gebruik gemaakt van de lineaire snelheid van de punten, die verschilt van punt tot punt, maar van de hoeksnelheid, die karakteristiek is voor het hele voorwerp. Verder blijkt de rol die de kracht speelt bij de translatie nu overgenomen door het moment van de kracht en de rol van de massa door het traagheidsmoment.

Er blijkt een zeer groot verschil te bestaan tussen de formules voor de rotatie rond een vaste as, of minstens een bewegende as maar met vaste richting (de rotatie van de wielen van een fiets die mooi rechtdoor rijdt bv.) en de algemene formules, waarbij de rotatieas voortdurend van richting mag veranderen (zoals bij een fiets die een bocht neemt). Vandaar dat deze in afzonderlijke hoofdstukken behandeld worden.

Dit hoofdstuk over de elementaire dynamica zou men dus ook de dynamica van een puntmassa kunnen noemen. Volgende punten zullen daarbij aan bod komen:

1. Wetten van Newton
2. Impuls en behoud van impuls
3. Arbeid en behoud van energie

In een afzonderlijk hoofdstuk wordt de centrale kracht behandeld. Dat punt omvat ook de planetenbewegingen. Dit zijn geen puntmassa's, maar door de grote afstanden ertussen rekent men in eerste instantie met de baan van het massacentrum.

De dynamica van voorwerpen, waarbij rekening gehouden wordt met de uitgebreidheid van reële massa's, wordt behandeld in dynamica van voorwerpen.

De wetten van Newton

De klassieke mechanica wordt ook wel Newtoniaanse mechanica genoemd omdat de basis ervan gelegd werd door Isaac Newton (1643-1727). Op het vlak van de mechanica droeg hij vooral bij door de drie wetten van Newton en door de algemene gravitatiewet, waardoor hij een wiskundige grondslag gaf aan de wetten van Kepler. Zijn grote werk op dit vlak is "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", soms ook kortweg geciteerd als "Principia" (1684-1686). Het werd nog in het latijn geschreven, terwijl in onze streken Simon Stevin reeds een eeuw vroeger begonnen was met in het Nederlands (van toen) te schrijven. Zijn werk was reeds voorbereid door Galileo Galilei met zijn grondige studie van de vrije val als eenparig versnelde beweging en de conclusie dat een horizontale beweging kan doorgaan met een minimum aan energieverlies. Men kan hierin een aanwijzing zien voor de eerste wet van Newton of de traagheidswet.

Eerste Wet van Newton: de traagheidswet

Een voorwerp waarop geen netto resulterend kracht werkt zal zijn bewegingstoestand behouden: als het in rust is blijft het in rust, als het in beweging is zal het met constante snelheid bewegen in een rechte lijn.

Tweede Wet

Als er een netto resulterende kracht werkt op een voorwerp dan zal dit een versnelling krijgen die evenredig is met de kracht en omgekeerd evenredig met de massa.

Derde Wet of actie-reactie wet

Krachten zijn interacties tussen twee voorwerpen. Als een eerste voorwerp een kracht uitoefent op een tweede, dan zal het tweede een even grote maar tegengestelde kracht uitoefenen op het eerste. Men noemt deze beide krachten een actie-reactiekoppel.

Belangrijke opmerking: de wetten van Newton en de andere wetten van de mechanica moeten worden uitgewerkt in een referentiesysteem zonder versnelling, dus ofwel in rust ofwel bewegend met constante snelheid. Men noemt dit een inertiaalstelsel. Een roterend systeem is geen inertiaalstelsel omdat bij een punt dat een cirkel beschrijft er minstens een normale versnelling hoort.

De tweede wet wordt meestal geformuleerd als:

$\sum _{i}{\vec {F_{i}}}\,=\,m{\vec {a}}$

Wiskundig volgt hieruit de eerste wet. Gezien de vroegere problemen die men had om bv. te verklaren hoe een steen verder beweegt wanneer hij losgekomen is van de hand van de werper, was deze eerste wet een grote stap vooruit.

De tweede wet van Newton is als formulering waarschijnlijk één van de kortste uit de mechanica, maar de toepassing ervan is, zeker in het begin, niet zo evident. Men kan zich bij die toepassing laten leiden door de volgende 4 stappen.

Vrijmaken van het voorwerp

A. Wanneer men de wet van Newton wil toepassen, dan is de eerste vraag welke massa m men wil beschouwen. Men moet telkens zoeken naar krachten die werken op m, op het voorwerp dat men wil bestuderen om de juiste kracht te kiezen uit elk actie-reactiekoppel. Om gemakkelijker een antwoord te vinden is het goede praktijk om het voorwerp los van zijn omgeving te tekenen. Dit is de eerste stap in het vrijmaken van het voorwerp. Als er meerdere voorwerpen zijn, dan mag men die alleen samen nemen als:

• ze als één geheel met dezelfde versnelling bewegen;
• als men niet geïnteresseerd is in de krachten tussen deze voorwerpen.

bol op kegel

Als eerste voorbeeld wordt een bol aan een touw beschouwd, rustend op een ronddraaiende kegel. In de eerste stap zal men de bol afzonderlijk tekenen, los van de kegel.

B. De tweede stap is het invoeren van alle krachten die vanuit de omgeving op de bal werken. Hierbij moet men zich 2 vragen stellen:
 - werkt de zwaartekracht? Zijn er andere krachten die op afstand werken?
 - waar zijn er contacten met de omgeving? Daar werken normaal gesproken ook krachten.

In dit geval moet men voor de eerste vraag positief antwoorden. Men zal dus het gewicht tekenen als aangrijpend in het massacentrum van het voorwerp.

bol op kegel: de krachten

Om de tweede vraag te beantwoorden doet men de ronde van het voorwerp. Hierbij ontdekt men 2 contacten met de omgeving:
1. het touw. Het touw trekt aan de bol en de bol trekt aan het touw. De eerste kracht werkt op de bol, de tweede op het touw. Het is dus de eerste die men nodig heeft.
2. er is een contact tussen bol en kegel. De bol drukt op de kegel en de kegel houdt de bol omhoog. Deze laatste is de kracht op de bol. Men moet dus een kracht loodrecht op de kegel tekenen en omhoog. Dit moet de figuur leveren zoals hiernaast.

Opmerking: de pijltjes, die de krachten voorstellen, worden getekend met hun begin of hun top op de plaatst waar de kracht aangrijpt. Dikwijls ziet men schetsen waarbij alle krachten vertrekkend vanuit het massacentrum getekend worden. Later, wanneer ook de rotatie ter sprake komt, zal men rekening moeten houden met het moment van de krachten. Om dat uit te rekenen moet men het aangrijpingspunt kennen. Een schets met alle krachten vanuit het massacentrum helpt dan niet. Liefst tekent men dus de krachten steeds waar ze aangrijpen. Dat helpt ook om niet te snel twee tegengestelde krachten als even groot te beschouwen, waar dat niet het geval is omdat er bv. een versnellingscomponent in die richting is. Zie bv. het derde voorbeeld.

Versnelling bepalen

bol op kegel: versnelling

C. Eens de krachten ingevuld moet men zich afvragen wat men weet over de versnelling. Hiervoor zal men moeten kijken naar wat men weet over de baan. Als de baan rechtlijnig is, dan zal ook de versnelling de richting van die rechte moeten volgen. Is de baan gekromd, dan is er zeker een versnelling gericht vanuit de holle kant naar het kromtemiddelpunt van de baan. Bij een cirkel is dit kromtemiddelpunt gewoon het middelpunt van de cirkel.

In dit voorbeeld is de baan een horizontale cirkel is. Er is dus een normale versnelling die naar het centrum van die cirkel gericht is. Dat is dus een horizontale versnelling, niet langs de zijkant van de kegel.

In Amerikaanse werken zal men de som van de krachten dikwijls de "applied forces"" noemen en de massa x versnelling de "resultant forces". Dit beantwoordt aan het idee van oorzaken in het ene en gevolg in het andere lid. Alhoewel ma de dimensie van een kracht heeft, lijkt het toch beter het accent te leggen op de versnelling als het basiselement van het rechterlid.

Controle

bol op kegel: volledige schets

D. Voor men aan de berekeningen begint, is het goed om even te controleren of wat men getekend heeft wel zinvol is. De tweede wet van Newton is zeer logisch: als er een resulterende kracht is in een bepaalde richting, dan is er een versnelling in die richting. En omgekeerd: als men zeker is dat er een versnelling is in een bepaalde richting, dan moet er een resulterende kracht (mogelijk) zijn in die richting.

Hier is er zeker een horizontale versnelling naar rechts. De resultante van alle krachten zal dus naar rechts moeten gericht zijn. Men ziet dat alleen de spanning in het touw een kracht naar rechts kan leveren. Verticaal moeten de krachten elkaar in evenwicht kunnen houden. Er zijn neerwaartse en opwaartse krachten. Dat is in principe dus mogelijk.

Vooral bij problemen met wrijvingskrachten zal deze controle dikwijls eventuele fouten in de zin van die krachten aan het licht brengen.

Uitrekenen

Men heeft nu de vergelijking waaraan het systeem moet voldoen. Dat is een vectoriële vergelijking in twee dimensies. Er mogen dus twee onbekenden in voorkomen. Als de hoeksnelheid van de kegel en het gewicht van de bol gegeven zijn, dan zijn dat de spanning in het touw en de druk op de kegel. Men kan deze vergelijking nu projecteren op een klassiek horizontaal-verticaal assenkruis. Een goede regel is om te projecteren op de dominerende richting van de vectoren. Hier zijn er twee die volgens een horizontaal-verticaal assenkruis liggen en twee volgens een schuin assenkruis evenwijdig aan en loodrecht op de kegel. Maar de 2 onbekenden liggen volgens dit laatste assenkruis. Als men zo schuin projecteert krijgt men twee vergelijkingen met telkens maar 1 onbekende. Dat is dus de snelste oplossingsmethode.

bol op kegel: evolutie

Zij α de basishoek van de kegel, ω de hoeksnelheid van de kegel. Dan is α ook de hoek tussen S en a_n
Zij l de lengte van het touw + de straal van de bol. Dan is de straal van de cirkel beschreven door het massacentrum van de bol gegeven door r = l.cos α
De normale versnelling wordt dan: a_n = r.ω²
De projectie langs de kegel wordt dan:

$-G.\sin \,\alpha +S=m.a_{n}.\cos \,\alpha$   met enkel S als onbekende

Projectie loodrecht op de kegel levert dan:

$-G\cos \,\alpha +D=-m.a_{n}.\sin \,\alpha$   met enkel D als onbekende

Het is typisch dat sinus en cosinus afwisselen in de vergelijkingen als men op orthogonale assen projecteert.

De laatste figuur schetst de evolutie van het systeem bij stijgende hoeksnelheid van de kegel. Bij kleine hoeksnelheid zal a_n klein zijn, zodat er een druk D nodig is om de veelhoek te sluiten. Bij stijgende hoeksnelheid komt er een punt waarop D=0 is. Stijgt de hoeksnelheid nog verder, dan zou D naar beneden gericht moeten zijn om de bol op de kegel te houden. Kan dat niet, dan zal het touw een kleinere hoek maken met de horizontale opdat de horizontale component van de spanning in het touw zou kunnen toenemen terwijl de verticale component gelijk blijft aan het gewicht. De bol komt dan los van de kegel en gaat iets erboven hangen.

Tweede voorbeeld

Twee blokken liggen op elkaar. Aan het onderste wordt getrokken met een kracht F, het bovenste wordt tegengehouden door een touw, dat schuin gespannen is onder een hoek van 30°. Tussen de blokken is er wrijving met wrijvingscoëfficiënt f₁, tussen het onderste blok en de grond met wrijvingscoëfficiënt f₂. Dit betekent dat er een wrijvingskracht optreedt die f maal de druk is op het oppervlak. Welke versnelling krijgt het onderste blok?

2 blokken met wrijving

Men mag dit probeempje niet te eenvoudig benaderen. Als aan het onderste blok getrokken wordt, zal het bovenste willen meebewegen naar rechts. Daardoor komt er een spanning in het touw. Daar het touw schuin gespannen is wordt het bovenste blok lichtjes opgetild. Het druk dus niet meer met zijn volle gewicht op het onderste blok. In welke mate het opgetild wordt hangt af van de spanning in het touw, die afhangt van de wrijvingskracht, die afhangt van de druk tussen beide blokken, die weer afhangt ... van de spanning in het touw. Dit is geen cirkelredenering. Dat twee veranderlijken mekaar beïnvloeden is vrij frequent en stelt algebraïsch geen probleem, zoals verder zal blijken.

- Over welke massa's moet men praten? Daar men de kracht tussen beide blokken nodig heeft en beide een verschillende versnelling hebben, moet men zeker beide blokken afzonderlijk beschouwen. Men tekent ze dan ook best ietwat uit elkaar.
- Wat is de zin van de wrijving? Het bovenste blok moet door de wrijving naar rechts geduwd worden. Dus is de wrijving die daarop werkt zeker naar rechts gericht. De reactie hierop werkt op het onderste blok en is dan naar links gericht. Deze is als de vector -w₁ genoteerd. Welk vector van het actie-reactiekoppel men met een + en welke men met een - noteert, kan vrij gekozen worden. De + en - betekenen alleen dat men te maken heeft met twee even grote maar tegengesteld gerichte vectoren, wat typisch is voor een actie-reactiekoppel. Bij het opschrijven van de projecties wordt met dit min-teken uit de vectoriële notatie geen rekening gehouden. Dan kijkt men alleen naar de zin van de vector t.o.v. de projectierichting. Er blijft dat bij projectie op dezelfde assen, de projecties van actie en reactie een tegengesteld teken moeten hebben. Zie infra bv. voor W₁.

Ook hier worden de krachten getekend waar ze aangrijpen. Daardoor is het duidelijk dat voor m₂ de kracht D₁ op de bovenkant en D₂ op de onderkant aangrijpt, dat W₁ afhangt van D₁ en W₂ van D₂. Het levert een veel duidelijker schets op dan alles vanuit één punt tekenen.

Na het vrijmaken en het invullen van alle krachten moet een figuur bekomen worden zoals hierboven. Men kijgt dan voor de projecties op een klassiek xy-assenkruis:

Voor m₁:

$\displaystyle -S.\cos 30\,+\,W_{1}\,=\,0$  (1)

$\displaystyle +S.\sin 30\,+\ D_{1}\,-\,G_{1}\,=\,0$  (2)

$\displaystyle W_{1}=f_{1}.D_{1}$  (3)

Voor m₂

$\displaystyle -W_{1}\,-W_{2}\,+\,F\,=\,m_{2}.a$  (4)

$\displaystyle -D_{1}\,-G_{2}\,+\,D_{2}\,=\,0$  (5)

$\displaystyle W_{2}=f_{2}.D_{2}$  (6)

Er blijken zes vergelijkingen te zijn voor zes onbekenden. Dat moet normaal oplosbaar zijn. Na invullen van (3) in (1) en een beetje herschikken van (1) en (2) bekomt men:

$\displaystyle -S.\cos 30\,+\,f_{1}.D_{1}\,=\,0$  (1b)

$\displaystyle +S.\sin 30\ +\ D_{1}\,=\,G_{1}$  (2b)

Dit blijkt een stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden, dat dus afzonderlijk oplosbaar is. Men kan S elimineren door (1b) te vermenigvuldigen met sin 30° en (2b) met cos 30° en beide lid aan lid op te tellen. Het resultaat is:

$D_{1}={\frac {\cos 30.G_{1}}{f_{1}.\sin 30+\cos 30}}$

Op analoge manier kan men D₁ elimineren door (2b) met -f₁ te vermenigvuldigen en lid aan lid op te tellen:

$S={\frac {f_{1}.G_{1}}{f_{1}.\sin 30+\cos 30}}$

Als men als numerieke gegevens neemt: m₁ = 2 kg, m₂ = 5 kg, f₁ = 0,1 , f₂ = 0,2 en F = 30 N, dan bekomt men als numerieke oplossing:

D₁ = 18,909 N

S = 2,183 N

Uit (5) haalt men:

D₂ = G₂ + D₁ = 50 + 18,909 = 68,909

(4) kan herwerkt worden tot:

-f₁D₁ - f₂.D₂ + F = m₂.a

Invullen van de numerieke gegevens leidt tot a = 2,87 m/s²

De fout die bij dit soort problemen soms gemaakt wordt is dat men inziet dat de druk D₂ beïnvloed wordt door het gewicht van m₁. Sommigen willen dat verrekenen door voor het gewicht van m₂ het gewicht van beide massa's te verrekenen. Dit soort beïnvloeden wordt echter verrekend via de verbindingskrachten, hier D₁ en W₁. Men moet de krachten bij hun aangrijpingspunt laten en nooit een kracht die op een bepaalde massa werkt opschrijven in de vergelijkingen van een andere massa.

Derde voorbeeld

man op platformp trekt zichzelf omhoog

Een man op een hangend platform trekt zichzelf omhoog. Met welke kracht moet hij trekken aan het touw om een versnelling van 1 m/s² te bereiken? met welke kracht drukt hij dan nog op het platform? Gegeven is m_m, de massa van de man, en m_p, de massa van het platform. De katrol wordt ideaal ondersteld zodat de spanning in het touw aan beide zijden van de katrol dezelfde is.

Men kan voor de oplossing van dit probleem verscheidene systemen beschouwen. Daar man en platform samen bewegen met dezelfde versnelling, kan men ze samen nemen. Dan kan men echter niets zeggen over de kracht waarmede de man op het platform drukt want dat is dan een inwendige kracht, die niet in de vergelijkingen zal voorkomen.

Men mag ook niet stellen dat de som van de spanningen in de touwen gelijk moet zijn aan het gewicht van man + platform. Er is een versnelling omhoog en dus moet er een resultante omhoog zijn. De spanning in de touwen zal dus groter moeten zijn dan het gewicht van man + platform.

man op platform: krachten

Als men iets wil weten over de kracht tussen man en platform, dan moet men man en platform afzonderlijk nemen. Men krijgt dan de schets als hiernaast. Bemerk dat de kracht van het platform op de man omhoog is. Deze kracht vormt een actie-reactiekoppel met de kracht van de man op het platform.

Men krijgt als vergelijkingen:

• voor het platform: $S-D-G_{p}=m_{p}.a$
• voor de man: $S+D-G_{m}=m_{m}.a$

Dit is een stelsel van 2 vergelijkingen in 2 onbekenden.
Telt men beide vergelijkingen lid aan lid op dan verdwijnt D eruit en bekomt men S:

S = (m_p + m_m)(a + g)/2

Trekt men beide leden van elkaar af dan bekomt men D:

D = (m_m - m_p)(a + g)/2

Voor een positief resultaat voor D, d.i. opdat D de onderstelde zin zou hebben, moet m_m > m_p. Het is nogal evident dat, als het gewicht van het platform groter zou zijn dan het gewicht van de man, de man gewoon omhoog zal getrokken worden door het vallend platform.

Een trainingsprogramma

Om deze aan pak in te oefenen werd een interactief trainigsprogramma gemaakt. Het dateert nog van de tijd van de vga-schermen met een resolutie van 640x480 pixels (!), maar is nog perfect bruikbaar. Men kan het hier vinden als een zip-bestand. Liefst in een afzonderlijke folder uitpakken.

Impuls en Behoud van impuls

Een massa onderworpen aan de wet van Newton, kan men volgen in de tijd. Wiskundig komt dit neer op het integreren van beide leden van de wet van Newton naar de tijd. Hierbij worden de volgende nieuwe begrippen ingevoerd:

de stoot: ${\vec {N}}=\int {{\vec {F}}.dt}$
de impuls of hoeveelheid van beweging:${\vec {p}}=m.{\vec {v}}$

Uit de eerste definitie wordt de eenheid voor stoot en hoeveelheid van beweging afgeleid als Newton.seconde, met symbool Ns.

Impulsstelling

Voor 1 massa

Dit is rechtstreeks de integraal van beide leden van de wet van Newton tussen een beginogenblik, hier met index "init" van "initieel", en een eindogenblik, hier met index "fin" van "finaal"

$\int {\sum _{i}{F_{i}}.dt}\,=\,\int {m{\vec {a}}.dt}=\,\int {m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}.dt}=\,\int {md{\vec {v}}}$

$\sum _{i}{\vec {N_{i}}}\,=\,m({\vec {v}}_{fin}-{\vec {v}}_{init})\,=\,\Delta m{\vec {v}}\,$

Dit is een vectoriële wet die dicht aansluit bij de tweede wet van Newton. Men zal dezelfde techniek voor het vrijmaken van de massa m moeten volgen. In de vectoriële formule staat een minteken, maar als bij projectie de term die volgt ook negatief is, dan kan het in de praktijk een som worden.

Voorbeeld

bal botsend met wand

Een bal beweegt wrijvingsloos over een horizontaal vlak en botst tegen een volkomen gladde verticale wand. Men stelt vast dat de bal de wand nadert onder een hoek van 60° en teruggekaatst wordt onder een hoek van 50°. Bereken de snelheid na de botsing en de stoot van de wand op de bal. Snelheid voor de botsing: 4 m/s ; massa van de bal: 0,1 kg.
Nota: alleen bij een volkomen elastische botsing zou de uittreehoek moeten gelijk zijn aan de invalshoek.

Oplossing
De bal botst tegen een "volkomen gladde wand". Hiermede geeft men aan dat de kracht van de wand op de bal steeds loodrecht op de wand zal staan. De stoot als integraal van de kracht over de botsingstijd zal dus ook loodrecht op de wand staan. Er zijn dus 2 onbekenden in het probleem: de grootte van de stoot en de grootte van de snelheid na de botsing. Volgens bovenstaande impulsstelling kan men opschrijven:

${\vec {N}}\,=\,m({\vec {v_{2}}}-{\vec {v_{1}}})$

Men kan deze vergelijking projecteren op een klassiek horizontaal-verticaal assenkruis:

${\begin{matrix}-N=m(-v_{2}\sin 50-v_{1}\sin 60)\\0=m(v_{2}\cos 50-v_{1}\cos 60)\end{matrix}}$

De eerste vergelijking zou men met -1 kunnen vermenigvuldigen. Dan worden alle mintekens een + en wordt het rechterlid een som. Uit de laatste vergelijking volgt onmiddellijk:

$v_{2}=v_{1}{\frac {\cos 60}{\cos 50}}=4.0,5/0,77=2,61m/s$

Dit invullen in de eerste vergelijking levert de stoot:

$N=mv_{1}{\frac {\sin 50\cos 60+\sin 60\cos 50}{\cos 50}}=mv_{1}{\frac {\sin 110}{\cos 50}}=0,1.4.0,94/0,77=0,488Ns$

Voor meerdere massa's

Wanneer men meerdere massa’s heeft, kan een deel beschouwd worden als het systeem waarover men praat en de rest als niet behorend tot dat systeem. Voor de krachten wordt dan een onderscheid ingevoerd tussen:
- inwendige krachten: krachten tussen twee massa’s die behoren tot het systeem. De inwendige krachten moeten, volgens het derde postulaat van Newton steeds onder de vorm van aktie-reaktieparen voorkormen.
- uitwendige krachten: krachten die van buitenuit op één der massa’s van het systeem werken. Ze krijgen hier de index "ext" voor "extern".

Wanneer de bovenstaande stelling toegepast wordt op op elke massa van het systeem en men dan sommeert over alle massa’s van het systeem, vallen de stoten van de inwendige krachten tegen elkaar weg.De inwendige krachten vormen immers actie-reactieparen die even lang werken. Alleen de stoten van de uitwendige krachten kunnen de totale hoeveelheid van beweging van het systeem beïnvloeden:

$\sum _{i}{{\vec {N}}_{i,ext}}\,=\,\Delta (\sum _{i}{m_{i}{\vec {v_{i}}}})\,=\,\sum {m_{i}{\vec {v}}_{i,fin}}\,-\,\sum _{i}{m_{i}{\vec {v}}_{i,init}}$

Bemerk dat er nu ook gesommeerd wordt over alle massa's. Alhoewel in de formules dezelfde index gebruikt wordt, kan elke som over een ander aantal elementen lopen. Bij een explosie bv. kan men in het begin één massa hebben en een grote hoeveelheid brokstukken na de explosie. De totale beschouwde massa voor en na de explosie moet natuurlijk dezelfde zijn.

Behoud van impuls

Van deze laatste uitdrukking bestaat een speciaal geval. Als de som van de uitwendige stoten nul is, dan staat er dat de eindtoestand nog gelijk is aan de begintoestand. Kortweg zegt dat dan dat de totale impuls constant is of behouden blijft. In wiskundige vorm:

$\sum _{i}{{\vec {N}}_{i,ext}}\,=\,0\Leftrightarrow \sum _{i}{m_{i}{\vec {v_{i}}}}={\vec {C}}$

Het kan ook gebeuren dat de voorwaarde dat de som van de uitwendige stoten nul is alleen opgaat voor de projectie ervan op een bepaalde richting. Dan staat er dat voor de projecties op die richting de eindtoestand nog gelijk is aan de begintoestand of m.a.w. dat er behoud geldt volgens die richting. Dit is het geval voor de richting langs de wand van vorig voorbeeld. De projectie van de vergelijking langs de wand zegt dat er evenwijdig aan de wand behoud van impuls is. In deze aardse wereld zit men altijd met het gewicht als verticale uitwendige kracht, zodat behoud van impuls dikwijls alleen in het horizontale vlak zal kunnen toegepast worden, bv. bij botsende biljartballen. Een andere mogelijkheid om de invloed van de zwaartekracht te mogen verwaarlozen is te stellen dat de botsingstijd zeer klein is, waarover verder meer.

In de praktijk zal men niet de constante berekenen, maar past men behoudswetten toe door de som van de hoeveelheden van beweging te maken op een eerste ogenblik en daarna die som ook te maken op een tweede ogenblik en dan te stellen dat beide sommen moeten gelijk zijn. Voor Behoud van Energie zal het gaan over sommen voor twee verschillende posities van het systeem, daar deze wet afgeleid wordt door integratie in de ruimte.

Bij een botsing geldt er steeds behoud van impuls, maar niet noodzakelijk behoud van energie. Wanneer er bij een botsing ook de energie behouden blijft, spreekt men van een volkomen elastische botsing. Dit impliceert dat de voorwerpen zeker niet aan elkaar blijven kleven. Wanneer twee botsende voorwerpen aan elkaar blijven kleven dan heeft men een volkomen niet-elastische botsing. De meeste werkelijke botsingen liggen echter tussen deze beide uitersten in. Hieraan wordt een afzonderlijk hoofdstuk gewijd: Botsingen

Voorbeeld

botsende biljartballen

Een biljartbal wordt met een snelheid van 5 m/s tegen een stilstaande bal geschoten. Men stelt vast dat deze bal uitwijkt onder een hoek van 60° en dat de andere bal vertrekt onder een hoek van 30° t.o.v. de snelheid van de aankomende bal. Bereken de snelheid van beide ballen.

Oplossing
Dit is een interactie tussen de 2 ballen zonder invloed van krachten van buitenuit. Er geldt dus een behoud van impuls. Men schrijft dus dat de impuls voor de botsing moet gelijk zijn aan de totale impuls na de botsing:

$m.{\vec {v_{0}}}=m.{\vec {v_{l}}}+m.{\vec {v_{r}}}$

Dit kan geprojecteerd worden op een horizontale en een verticale as:

${\begin{matrix}&m.v_{0}=m.v_{l}.\cos 60{\mbox{°}}+m.v_{r}.\cos 30{\mbox{°}}\\&0=m.v_{l}.\sin 60{\mbox{°}}-m.v_{r}.\sin 30{\mbox{°}}\\\end{matrix}}$

Als alle massa's dezelfde zijn kunnen deze weggedeeld worden uit de vergelijkingen. De eenvoudigste manier om dit soort lineaire stelsels op te lossen is beide vergelijkingen te vermenigvuldigen met een coëfficiënt zodat de onbekende die men weg wil, tegengestelde coëfficiënten krijgt en wegvalt als men lid aan lid optelt. Om v_r weg te werken zal men dus de eerste vergelijking vermenigvuldigen met sin 30° en de tweede met cos 30° en lid aan lid optellen. Dit levert:

$\textstyle v_{0}.\sin 30{\mbox{°}}=v_{l}(\cos 60{\mbox{°}}.\sin 30{\mbox{°}}+\sin 60{\mbox{°}}.\cos 30{\mbox{°}})=v_{l}.\sin 90{\mbox{°}}=v_{l}$

Dus v_l = 5.sin 30° = 2,5 m/s

Op analoge manier werkt men v_l weg door de eerste vergelijking te vermenigvuldigen met sin 60° en de tweede met -cos 60°. Dit levert op analoge manier dat v_r = v₀.sin 60° = 5.sin 60° = 4,33 m/s

Nota: het is geen toeval dat de ballen onder een hoek van 90° uit elkaar gaan. Dit blijkt een eis van het behoud van energie: 5² = 2,5² + 4,33². Als men behoud van energie mag toepassen bij dit probleem, dan moet maar één richting na de botsing gegeven worden om het probleem te kunnen oplossen.

Nota: botsingstijd zeer klein
Om berekeningen te vereenvoudigen zal men dikwijls stellen dat “de botsingstijd zeer klein is”. Deze idealisatie heeft twee gevolgen:

1. de invloed van niet-botsingskrachten mag verwaarloosd worden.
2. er kan een omwisseling van snelheden gebeuren zonder verandering van plaats.

Voor het eerste punt: als men dezelfde verandering van impuls wil bereiken in een steeds kortere tijd, dan zal de kracht die hiervoor moet zorgen steeds groter moeten worden. De andere krachten, zoals bv. het gewicht, nemen echter niet toe naarmate de interactietijd kleiner wordt. Hun invloed wordt dus verwaarloosbaar bij zeer kleine interactietijden.

Voor het tweede punt: wanneer bv.een biljartbal tegen een stilliggende biljartbal aanbotst, zal men een eerste ogenblik hebben waarbij de eerste bal beweegt en de tweede stil ligt en een volgend ogenblik waarop de eerste stil ligt en de tweede beweegt, zonder dat beide ballen van plaats veranderd zijn.

Dit laatste effect is te begrijpen uit het feit dat deze idealisatie leidt tot een snelheden, die in één ogenblik overgaan naar de nieuwe waarden. Daar verplaatsing de integraal is van de snelheid over de tijd, is er op het eerste ogenblik van de nieuwe snelheid nog geen verplaatsing omdat er dan nog geen interval is waarover kan geïntegreerd worden.

Hoe realistisch is deze idealisatie? Wanneer een smid zijn hamer losjes op het aambeeld laat neerkomen en terug opwippen, is de contacttijd enkele honderdsten van een seconde. Als men geïnteresseerd is in wat er seconden nadien gebeurt, dan is dat inderdaad te verwaarlozen.

Continue stroming

Wanneer een vloeistof door een bocht in een buis stroomt, dan wordt de impuls van het voorbij stromend water voortdurend veranderd omdat de richting van de snelheid van het water dat in de bocht passeert, verandert. deze verandering vereist een continue kracht van de buis op het water. Hoe groot die kracht is, kan men berekenen aan de hand van de figuur hieronder.

stroming in buis

Deze figuur stelt een buis voor waarin water stroomt. Men onderstelt een stationaire stroming, d.w.z. dat in elk punt, de snelheid van de stroming niet verandert in de loop van de tijd. Op een eerste ogenblik is er een hoeveelheid water met volume V_I, die klaar staat om door de doorsnede in A in het volume V_II te vloeien. Op een tweede ogenblik is het volume V_I in het volume V_II gevloeid maar is er een even grote massa met volume V_III door de doorsnede in B weggevloeid. Als men de impuls berekent op het eerste ogenblik, krijgt men:

${\vec {p}}_{1}=\int _{Vol_{I}}{\vec {v}}.dm+\int _{Vol_{I}I}{\vec {v}}.dm={\vec {p}}_{I}+{\vec {p}}_{II}$

Op het tweede ogenblik krijgt men:

${\vec {p}}_{2}=\int _{Vol_{II}}{\vec {v}}.dm+\int _{Vol_{III}}{\vec {v}}.dm={\vec {p}}_{II}+{\vec {p}}_{III}$

Met de onderstelling van een stationaire stroming moet de impuls van volume V_II op beide ogenblikken nog dezelfde zijn. Het verschil in impuls wordt dus:

$\Delta {\vec {p}}={\vec {p}}_{III}-{\vec {p}}_{I}$

Voor de kracht geldt dus:

${\vec {F}}\Delta t=\Delta {\vec {p}}={\vec {p}}_{III}-{\vec {p}}_{I}$

Men kan de impuls van de volumes I en III benaderen als een volume Δm x een gemiddelde snelheid v_I en v_III. Voor de gemiddelde kracht krijgt men dan:

${\vec {F}}={\frac {\Delta m}{\Delta t}}({\vec {v}}_{III}-{\vec {v}}_{I})$

Als men nu het tijdsinterval naar 0 laat gaan, wordt Δ m/Δ t het massadebiet D_m ( kg/s) en worden de snelheden de gemiddelde snelheden over de doorsneden in A en B. De formule wordt dan:

${\vec {F}}_{opmedium}=D_{m}({\vec {v}}_{uit}-{\vec {v}}_{in})$

De richting van de kracht wordt dus bepaald door het verschil in de richting van de snelheden. Als beide snelheden gelijk zijn zal de kracht volgens de bissectrice van de hoek tussen v_uit en -v_in liggen. Bemerk ook dat de benodigde kracht stijgt met het kwadraat van de snelheid want ook het debiet zal toenemen bij stijgende snelheden.

De kracht van het medium op de buis is het tegengestelde van wat de formule levert. De kracht nodig om de buis op haar plaats te houden is dan weer het tegengestelde van deze kracht of opnieuw de kracht zoals de formule die levert. Dit wordt in sommige meettoestellen gebruikt om de hoeveelheid van het voorbijstromend medium te bepalen, bv. bij het laden van graan in een vrachtwagen.

Men kan voor deze kracht ook een aangrijpingspunt r_F bepalen. Hiervoor moet men de impulsmomenten berekenen t.o.v. een willekeurig vast punt. Het is opnieuw duidelijk dat het impulsmoment van het volume V_II niet verandert. De volgende vergelijking levert een eerste benadering voor het aangrijpingspunt, met r_in en r_uit de positie van het zwaartepunt van de doorsneden A en B:

${\vec {r}}_{F}\times {\vec {F}}=D_{m}({\vec {r}}_{uit}\times {\vec {v}}_{uit}-{\vec {r}}_{in}\times {\vec {v}}_{in})$

Voorbeeld
Een straalvliegtuig vliegt met een constante snelheid van 1500 km/u. Het verbruikt lucht met een debiet van 110 kg/s en brandstof met een debiet van 0,97 kg/s. De verbrandingsgassen worden uitgestoten met een relatieve snelheid van 780 m/s. Welke stuwkracht levert zijn motor op dat ogenblik?

Oplossing. De formule geeft de kracht op de uitlaatgassen. De stuwkracht van de motor is de reactie hierop, dus even groot maar tegengestelde zin. Hier volstaat het dus de grootte van die kracht te berekenen.

In de formule moet met absolute verschillen in impuls gerekend worden. Men onderstelt dat de lucht voor het vliegtuig stilstaat. 1500 km/u = 1500*1000/3600 = 416,7 m/s. De uittredende lucht (in de verbrandingsgassen) heeft dus een absolute snelheid van 780 - 416,7 m/s = 363,3. Daar de brandstof met het vliegtuig mee vervoerd wordt, is haar beginsnelheid de snelheid van het vliegtuig. Haar absolute snelheidsverandering komt dus uit op de relatieve snelheid. Daar alle debieten in kg/s gegeven zijn en niet als volume/s, kunnen ze rechtstreeks gebruikt worden in de formule. Men krijgt dan:

F = D_m,lucht(363,3 - 0) + D_m,brandst(780) = 110*363,3 + 0,97*780 = 39 963 + 756,6 = 40 719,6 N

Tweede voorbeeld

deflector voor uitlaat van straalmotor

Bij het testen van een straalmotor wordt achter de motor een deflector gezet die de uitlaatgassen omhoog richt. Bereken de krachten in de steunpunten en in de kabel als de motor gassen uitstoot met een debiet van 45 kg/s en deze de deflector binnenkomen met een snelheid van 720 m/s en die verlaten met een 310 m/s. De diameter van de inlaat is 1 m en van de uitlaat 1,5 m. Het eigen gewicht van de deflector is 2000 N.

Oplossing. Voor de berekening zal in twee dimensies gewerkt worden. Men mag onderstellen dat de opstelling symmetrisch t.o.v. een verticaal vlak in het midden, zodat wat berekend wordt het dubbele is van de krachten in linker- en rechter bevestiging.

De statica eist dat de som van alle krachten nul is en de som van alle momenten t.o.v. een willekeurig punt nul is. Voor de som van de krachten krijgt men:

${\vec {S}}+{\vec {R}}_{B}+{\vec {R}}_{C}+{\vec {G}}+{\vec {F}}_{op\ buis}=0$

De kracht op de buis is de reactie op de kracht op de gassen. Men kan deze verandering van teken ook bekomen door de bovenstaande formules in het rechterlid te plaatsen. Uitgewerkt in projecties in een klassiek verticaal-horizontaal assenkruis:
- Horizontaal:

$-S.\cos(30{\mbox{°}})=D_{m}(0-v_{in})$

Hieruit volgt ogenblikkelijk voor S:

S = 45*720/cos 30° = 37412 N

- Verticaal:

$-S.\sin(30{\mbox{°}})+R_{B}+R_{C}-G=D_{m}(v_{uit}-0)$

Hierin zitten nog 2 onbekenden. Men moet ook nog de momentenvergelijking opschrijven. Dit wordt gedaan t.o.v. D omdat dan 2 van de 3 onbekenden niet voorkomen in de vergelijking en men dus een vergelijking in 1 onbekende zal bekomen.

5*R_C - 2*G = D_m(4,25*v_uit -(-0,5*v_in))

Hieruit volgt:

R_C = (2*2000 + 45(4,25*310 + 0,5*720))/5 = 15897 N

Invullen in de vorige vergelijking levert R_B = 18789 N

Historische nota

Newton zelf formuleerde zijn tweede wet onder de vorm van de kracht veroorzaakt een verandering van de hoeveelheid van beweging van het voorwerp. Wiskundig:

${\vec {F}}={\frac {d}{dt}}{\vec {p}}={\frac {d}{dt}}m{\vec {v}}={\frac {dm}{dt}}{\vec {v}}+m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$

Deze formulering is algemener en is ook toepasselijk in situaties waar de massa niet constant blijft, zoals bv. bij een raket of een straalvliegtuig. Het eerste voorbeeld kan men dan oplossen door op te merken dat er geen uitwendige kracht is (bij horizontale vlucht) en de stuwkracht van de motor dus overeenkomt met ma uit de formule

Links

Er bestaan op internet heel wat simulaties van botsingen. Een bekende, met elastische en niet-elastische botsingen in te vinden bij de applets van Walter Fendt: http://www.walter-fendt.de/ph14d/ (in verscheidene talen)
Meer links naar simulaties van botsingen kan men ook vinden in het hoofdstuk "Aanvullingen: Botsingen".

Een lijstje van interessante sites kan men vinden op http://fys.kuleuven.be/pradem/fysica-applets

Arbeid en energie

Men kan een voorwerp dat onderworpen is aan de tweede wet van Newton volgen langs de baan. Het is uit de dagelijkse ervaring duidelijk dat wanneer men tegen iets duwt om dat te verplaatsen, men dan arbeid levert. Wanneer een kracht van punt tot punt kan verschillen gedurende deze verplaatsing, zal men een beroep moeten doen op een integraal om deze arbeid uit te rekenen. Voor het product van twee vectoren bestaan echter twee mogelijkheden: scalair en vectorieel product. Het blijkt dat men hier het scalair product nodig heeft want het resultaat moet een reëel getal zijn.

Energiestelling voor één massa

Indien er maar 1 massa is kan er maar 1 verplaatsing zijn. In differentiaalvorm krijgt men:

$(\sum _{i}{\vec {F_{i}}})\cdot d{\vec {r}}=m{\vec {a}}\cdot d{\vec {r}}$

Met de substitutie $d{\vec {r}}={\vec {v}}dt$ krijgt men

$(\sum _{i}{\vec {F_{i}}})\cdot d{\vec {r}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot {\vec {v}}dt=m{\vec {v}}\cdot {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}dt$

Als men zich in het rechterlid nu beperkt tot v als variabele en de verdere afhankelijkheid van v t.o.v. de tijd niet beschouwt, dan krijgt men:

$(\sum _{i}{\vec {F_{i}}})\cdot d{\vec {r}}=m{\vec {v}}\cdot \ d{\vec {v}}=d({\frac {mv^{2}}{2}})$

Integreren van beide leden tussen een positie 1 en een positie 2 levert:

$\int _{1}^{2}{(\sum _{i}{\vec {F_{i}}})\cdot }d{\vec {r}}=\Delta {\frac {mv^{2}}{2}}$

Men definieert nu:

Arbeid: $A=\int {{\vec {F}}\cdot }d{\vec {r}}$
Kinetische energie: $E_{k}={\frac {mv^{2}}{2}}$

De stelling zegt dus: de arbeid van de kracht gaat naar de verandering van kinetische energie van het voorwerp.

Arbeid en energie worden uitgedrukt in Joule, symbool J. 1 J = 1 N x 1 m.(Qua dimensie komt dit dus overeen met een moment met eenheid Nm, Newton-meter)

Dus $\Delta {\frac {mv^{2}}{2}}=\Delta E_{k}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}$
Wanneer de arbeid positief is dan wordt er energie geleverd aan het voorwerp. Wanneer de arbeid negatief is wordt er energie onttrokken aan het voorwerp.

Men kan hier een link leggen met wat in de kinematica verteld wordt. Als een kracht loodrecht staat op de baan van een massa, dan zal die massa ook een versnelling krijgen die loodrecht staat op die baan (tweede wet van Newton). Bij een versnelling loodrecht op de baan verandert de richting van de snelheid maar niet de grootte. De kinetische energie van het voorwerp blijft dus constant. Men ziet dat door het scalair product in de berekening van de arbeid geleverd door de kracht, die kracht dan ook geen arbeid levert. Heeft de kracht wel een component volgens de raaklijn aan de baan, dan zal er een verandering zijn van grootte van de snelheid en dus van de kinetische energie.

Energiestelling voor meerdere massa's

De vorige formule moet op elke massa toegepast worden. Alhoewel de inwendige krachten in paren voorkomen, is het niet altijd zo dat de verplaatsing van het aangrijpingspunt van de actie- en reactiekracht dezelfde is. Een voorbeeld hiervan vindt men op het einde van deze paragraaf. Men moet dus zowel de arbeid van de inwendige als van de uitwendige krachten verrekenen:

$\int {\sum _{j}{(\sum _{i}{{\vec {F}}_{ij,intern}}+\sum _{i}{{\vec {F}}_{ij,extern}})}}\cdot d{\vec {r_{j}}}=\sum _{j}{\Delta E_{k,j}}$

Hierbij loopt j over alle massa's en i over alle krachten op elke massa. Meestal vervangt men de dubbele som in het linkerlid door één som lopend over alle inwendige en uitwendige krachten.

Er treedt een grote vereenvoudiging van deze formule op als men te maken heeft met ideale verbindingen. Een ideale verbinding wordt gedefinieerd als een verbinding die geen arbeid levert en er ook geen opneemt. De krachten die optreden in ideale verbindingen kan men in bovenstaande energieberekening dus rustig weglaten.

Om het mechanisme van de ideale verbindingen te begrijpen, moet men een onderscheid maken tussen inwendige verbindingen en verbindingen met de omgeving.

- Voor inwendige verbindingen komt het erop neer dat zowel actie- als reactiekracht dezelfde verplaatsing ondergaan volgens de richting of werklijn van de krachten. Daar beide krachten echter een tegengestelde zin hebben, zal de totale arbeid nul zijn. Er is echter wel iets gebeurd: er is energie van één onderdeel van het systeem naar een ander onderdeel overgebracht, daar elke component van het actie-reactiekoppel op een ander onderdeel werkt. Dit is bv. duidelijk het geval bij een scharnier of bij een ideale staaf (zie 2e voorbeeld infra).

- Bij verbindingen met de omgeving werkt slechts één van beide krachten op het beschouwde systeem. De mogelijkheden om geen arbeid te hebben zijn dan ofwel geen verplaatsing (bv. vaste scharnier) of een verplaatsing loodrecht op de kracht (bv. volkomen glad oppervlak: schaatser op ijs, luchtkussentafel).

Als voorbeeld van een geval waarbij actie en reactie niet dezelfde verplaatsing hebben, kan men het geval beschouwen van een kist die men vooruit duwt. Er is wrijving tussen de kist en de grond. De wrijvingskracht die aangrijpt op de grond en de wrijvingskracht die aangrijpt op de kist vormen een actie-reactiekoppel. Maar het aangrijpingspunt van de wrijving op de kist verplaatst zich met de kist. Er wordt dus arbeid onttrokken aan de kist (die uiteindelijk moet geleverd worden door de man die de kist duwt). De wrijvingskracht op de grond grijpt telkens op een ander punt aan, maar ieder van die punten staat stil. Er wordt dus geen mechanische arbeid doorgegeven aan de grond. De arbeid die onttrokken wordt aan de kist zal vooral gaan naar wrijvingswarmte en dus als mechanische energie verdwijnen uit het systeem.

kist met wrijving

Speciaal geval : potentiaal krachten en behoud van energie

Het blijkt dat de arbeid van sommige krachten onafhankelijk is van de gevolgde weg en alleen bepaald wordt door begin- en eindpunt. Deze krachten noemt men conservatieve krachten of potentiaalkrachten.

Voor deze krachten geldt ook dat als men een weg in één zin en daarna in de tegengestelde zin doorloopt (omwisselen van begin- en eindpunt), men dezelfde arbeid eens zal moeten leveren en eens zal ontvangen. Bij het doorlopen van een gesloten kromme moet de arbeid dus nul zijn. Als een integraal van een functie over een gesloten kromme nul is, dan moet de rotor van deze functie binnen de kromme nul zijn: ${\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=0$. ${\vec {\nabla }}$ staat voor de nabla-operator: ${\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}$. Men krijgt dan voor de rotor van een vector:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}=({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}){\vec {i}}+({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}){\vec {j}}+({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}){\vec {k}}$

Dit levert dus een middel om te controleren of een gegeven kracht een potentiaalkracht is of niet. De naam 'rotor' is ontstaan omdat een voorwerp dat geplaatst wordt in een krachtveld met rotor verschillend van 0, de neiging zal vertonen te beginnen draaien.

stroomsnelheden in beek als voorbeeld van rotationeel veld

Een eenvoudig voorbeeld is het water in een beek dat trager stroomt tegen de zijkant dan in het midden. In het voorbeeld van de figuur hiernaast is v_y = -0,5.x² + 2x . Als men hierin een vierkant plankje laat drijven dicht bij de oever, dan zal het deel dat meer in het midden van de beek ligt harder vooruit geduwd worden dan het deel bij de oever. Het plankje zal daardoor beginnen draaien. Men vindt hier voor de rotor alleen een z-component. Een positieve component betekent een rotatie in tegenwijzerzin (van x- naar y-as). Men vindt:

${\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}=-x+2$

Voor x<2 levert dit een positief resultaat, voor x>2 een negatief resultaat, zoals men intuïtief ook verwacht.

Wanneer een kracht een potentiaalkracht is, dan definieert men de potentiële energie van een voorwerp in een bepaalde positie onder invloed van die potentiaalkracht als het tegengestelde van de arbeid die nodig is om het voorwerp in die positie te brengen:

$E_{p}=-\int {{\vec {F}}\cdot }d{\vec {r}}$

In het rechterlid staat een onbepaalde integraal. Deze is slechts op een constante na bepaald. Normaal gesproken zal men een ijking uitvoeren door:

• ofwel van deze onbepaalde integraal een bepaalde integraal te maken door een vaste vertrekpositie in te voeren
• ofwel de constante te ijken door een bepaalde waarde toe te kennen aan de potentiële energie in een bepaalde positie. Om de zaken eenvoudig te houden zal men meestal deze energie gelijk aan nul kiezen op de plaats waar de integraal zonder de constante nul is. Dan is de constante ook 0 en hoeft men geen constante mee te nemen bij het werken met de potentiële energie.

Uit bovenstaande betrekking volgt dan ook dat de arbeid geleverd door een potentiaalkracht bij verplaatsing van een positie naar een andere, het tegengestelde is van de verandering van potentiële energie.

$A=\int _{A}^{B}{{\vec {F_{p}}}\cdot }d{\vec {r}}=-(E_{p}(B)-E_{p}(A))=E_{p}(A)-E_{p}(B)$

Wanneer de rotor van een functie nul is, dan kan deze functie ook altijd geschreven worden als de gradiënt van een andere functie. Hier betekent dit dat men de potentiële energie ook kan definiëren als een functie zodanig dat de kracht het tegengestelde is van de gradiënt van deze functie:

${\vec {F_{p}}}=-{\vec {\nabla }}E_{p}=-({\frac {\partial E_{p}}{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial E_{p}}{\partial y}}{\vec {j}}+{\frac {\partial E_{p}}{\partial z}}{\vec {k}})$

Deze definitie is wiskundig iets veiliger - men moet niet eerst een speciale eis stellen aan de kracht - maar geeft minder fysisch inzicht in de betekenis van potentiële energie en geeft ook geen manier om deze te berekenen. Zie ook gradient en nabla-operator.

Bemerk dat men in de praktijk bijna altijd met verschillen in de potentiële energie zal moeten werken en dat het verschil van twee functiewaarden alleen gelijk is aan de functiewaarde van het verschil van de argumenten voor een lineaire functie. Dit betekent in de praktijk dat men, indien de potentiaalfunctie een lineaire functie is, op elke willekeurige plaats de oorsprong kan leggen van het argument en er de potentiële energie gelijk aan nul stellen zonder een constante te moeten meenemen in de uitdrukking van de potentiële energie. Dit is het geval bij de formule voor de potentiële energie van de gravitatie aan het aardoppervlak (E_p = mgh), maar niet voor de potentiële energie volgens de algemene gravitatieformule of voor de potentiële energie van een veer.

Strict behoud van energie

Bij een systeem dat uitsluitend beïnvloed wordt door potentiaalkrachten, kan men de arbeid geleverd door deze krachten in hetzelfde lid brengen als de kinetische energie en opschrijven als het tegengestelde van de verandering van de potentiële energie. Men bekomt dan een som waarvan de waarde constant moet blijven, een hoeveelheid die behouden moet blijven. Deze hoeveelheid noemt men de mechanische energie. Wiskundig schrijft men de wet van behoud van energie kortweg op als:

$\sum {E_{p}}+\sum {E_{k}}=C$

Dit constant blijven geldt in eerste instantie voor een verandering van positie. Daar men echter geen ogenblikkelijke verandering van positie kan hebben (versnelling oneindig!), zal er ook altijd een tijdsverschil nodig zijn. Bij behoud van hoeveelheid van beweging speelt in de eerste plaats het tijdsverschil en dit kan eventueel zonder verschil in positie van de betrokken massa's. Hier heeft het geen zin om het systeem te bekijken in dezelfde positie maar op twee verschillende tijdstippen: de snelheden en de potentiële energie(ën) moeten dan dezelfde zijn. Essentieel is hier dat men twee verschillende posities bekijkt.

Daar de potentiële energie functie is van de plaats en de kinetische energie functie van de snelheid (en/of hoeksnelheid), legt deze wet een verband tussen positie en snelheid. En daar de kinetische energie het kwadraat van de snelheid bevat, houdt ze geen rekening met de richting van de snelheid. M.a.w. deze wet zegt dat een massa die aan deze wet onderworpen is, steeds met even grote snelheid door een gegeven positie (in termen van het argument van de potentiële energie) zal passeren, wat ook de richting van de snelheid zij.

In de praktijk bepaalt men best deze som in beide posities, liever dan de afzonderlijke verschillen:

$(\sum {E_{p}}+\sum {E_{k}})_{pos1}=(\sum {E_{p}}+\sum {E_{k}})_{pos2}$

Bemerk dat de correcte formulering in termen van verschillen is:

$\Delta E_{p}+\Delta E_{k}=0\Leftrightarrow \Delta E_{p}=-\Delta E_{k}$

Het is dus niet "het verschil in potentiële energie is gelijk aan het verschil in kinetische energie" maar wel "het verschil in potentiële energie is het tegengestelde van het verschil in kinetische energie".

Uitgebreid behoud van energie

In de praktijk zijn er veel problemen waarbij niet-potentiaalkrachten optreden zoals bv. wrijving. Men kan dan toch de energiebalans zodanig schrijven dat men kan zeggen dat de som van de energieën in een eerste positie gelijk is aan de som van de energieën in de tweede positie. Brengt men in de energiestelling de potentiaalkrachten naar het rechterlid over en behoudt men alleen de niet-potentiaalkrachten in het linkerlid dan kan met schrijven:

U = Δ E_p + Δ E_k

met U de arbeid van de niet-potentiaalkrachten.

Men kan nu deze arbeid verdelen over de arbeid die geleverd wordt aan het systeem en de arbeid die onttrokken wordt aan het systeem. De eerste arbeid is positief en die laat men in het linkerlid als E_{geleverd aan 't systeem}. De tweede arbeid is negatief. Als men die overbrengt naar het rechterlid dan wordt ook die positief. Men kan die noteren als |E_{onttrokken uit 't systeem}|. Men krijgt dan de volgende uitgebreide behoudsformulering:

$(\sum {E_{p}}+\sum {E_{k}})_{pos1}+E_{geleverd\,aan\,het\,systeem}=(\sum {E_{p}}+\sum {E_{k}})_{pos2}+|E_{onttrokken\,uit\,het\,systeem}|$

Het voordeel van deze formulering is dat het een somformulering is. Een som is commutatief (volgorde van de termen heeft geen belang) en kan zoveel termen bevatten als men wil. Een verschil kan slechts tussen twee termen en de volgorde is van belang.

Berekening van enkele potentiële energieën

1. Potentiële energie van de aantrekkingskracht op aarde

In een assenkruis met x- en y-as in het horizontale vlak en de z-as verticaal omhoog kan men de aantrekkingskracht van de aarde schrijven als m(0,0,-g). In hetzelfde assenkruis wordt $d{\vec {r}}=dx.{\vec {u_{x}}}+dy.{\vec {u_{y}}}+dz.{\vec {u_{z}}}$. De potentiële energie wordt dan:

$E_{p}=-\int {{\vec {F}}\cdot }d{\vec {r}}=-\int {m(0,0,-g)\cdot (dx,dy,dz)}=\int {mg.dz}=mgz+C$

Bemerk dat men bij een z-as naar beneden als resultaat -mgz + C bekomt

Daar dit een lineaire functie van z is, kan men voor het berekenen van verschillen in potentiële energie de oorsprong in een willekeurig punt gelijk aan nul stellen en tevens in dit punt de constante gelijk nul kiezen. Alleen bij een lineaire functie geldt immers: L(x2) - L(x1) = L(x2 - x1), m.a.w; alleen het verschil van de argumenten telt, niet hun feitelijke waarde. Dit leidt tot de praktische formule:

Ep(mg) = mgh

Waarbij men h=0 mag kiezen waar men wil en h moet stijgen met de hoogte boven het nulniveau.

2. Potentiële energie van de algemene gravitatie

Als men zich op grote afstand van de aarde bevindt, kan men de aantrekkingskracht van de aarde niet meer als constant beschouwen. Men moet dan beroep doen op de formule van de algemene gravitatie. De kracht tussen de voorwerpen is daarbij alleen functie van de afstand tussen de voorwerpen, d.i. alleen functie van r als men in bolcoördinaten werkt. Hierbij moet r bepaald worden als de afstand tussen de massacentra. De kracht tussen de massa m₁ en m₂ wordt dan:

${\vec {F}}(G)=-{\frac {G.m_{1}.m_{2}}{r^{2}}}{\vec {u_{r}}}$.

In bolcoördinaten is $d{\vec {r}}=dr.{\vec {u_{r}}}+r.d\theta .{\vec {u_{\theta }}}+r.\cos \phi .d\phi .{\vec {u_{\phi }}}$. De drie eenheidsvectoren die hierin voorkomen staan loodrecht op elkaar. Na het scalair product tussen kracht en deze dr blijft dus alleen de term in dr over. Die invullen in de basisformule levert:

$E_{p}=-\int {-{\frac {G.m_{1}.m_{2}}{r^{2}}}{\vec {u_{r}}}}\cdot d{\vec {r}}=\int {{\frac {G.m_{1}.m_{2}}{r^{2}}}dr}=-{\frac {G.m_{1}.m_{2}}{r}}+C$

Bemerk dat het uiteindelijke minteken afkomstig is van de r^-1 in de integraal.

Dit is geen lineaire functie in r. Om geen constante te moeten meenemen moet men een referentiepunt kiezen waar de potentiële energie nul is. Dat punt is op r oneindig. Het gevolg is wel dat voor alle reële afstanden de potentiële energie negatief is. Men moet daarbij erop letten dat -100 kleiner is dan -10 en dat weer kleiner dan 0. M.a.w. alhoewel de potentiële energie dan 0 is op oneindig, is die waarde op oneindig nog altijd de hoogste waarde. Dit levert de bekende formule:

$E_{p}(G)=-{\frac {G.m_{1}.m_{2}}{r}}$

Bij het bekende probleem van de ontsnappingssnelheid uit de aantrekkingskracht van de aarde zal men moeten stellen dat op het aardoppervlak geldt:

${\begin{matrix}E_{p}=-{\dfrac {G.m_{a}.m_{2}}{r_{a}}}\\&\\E_{k}={\dfrac {m_{2}v^{2}}{2}}\end{matrix}}$

Op oneindig zijn beide nul. Men krijgt dan:

E_p(aardopp.) + E_k(aardopp.) = 0

- G.m_a.m₂/r_a + m₂v²/2 = 0

G.m_a.m₂/r_a = m₂v²/2

v² = 2G.m_a/r_a

Hierin is G.m_a = 4,0.10¹⁴ in m³/s² (MKS-eenheden) en r_a = 6370 km (gemiddeld). Dit levert een ontsnappingssnelheid van 11,2 km/s

Het is dus niet E_p(aardopp.) = E_k(aardopp.)! Als men dit opschrijft moet men de vierkantswortel trekken uit een negatief getal.

3. Potentiële energie van een veer

kracht van veer

De grootte van de veerkracht is gegeven door k(x-x₀), waarin x₀ de onbelaste positie is van het losse einde van de veer, x de actuele positie en k de veerconstante, die normaal gesproken uitgedrukt wordt in Newton/meter of met symbolen voor de eenheden: N/m. Veer en massa zijn hier uit elkaar getekend om duidelijk te kunnen aangeven welke kracht op wat werkt. Men moet de kracht op het blokje in rekening brengen. Men krijgt dan:

${\begin{matrix}{\vec {F_{v}}}=-k({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}})\\E_{p}(veer)=-\int {-k(x-x_{0})dx}=\int {k(x-x_{0})d(x-x_{0})}=k(x-x_{0})^{2}/2+C\end{matrix}}$

Stelt men deze E_p = 0 bij x = x₀ dan wordt ook C=0. Men krijgt dan de bekende formule, met l de actuele lengte van de veer en l₀ de onbelaste lengte:

Ep(veer) = k(l-l0)2/2

Wanneer aan beide einden van de veer getrokken wordt, moet men bedenken dat de beide veerkrachten gelijk maar tegengesteld moeten zijn omwille van het 3e postulaat en het feit dat de massa van de (ideale) veer nul is. Dit levert een uitdrukking op waarbij alleen de verandering van de lengte van de veer een verandering in potentiële energie veroorzaakt, wat op fysische gronden natuurlijk evident is. De bovenstaande formule blijft dan dus geldig.

Bemerk dat het minteken alleen zinvol is in de vectoriële vorm voor de kracht van de veer. Het zegt dat de zin van de kracht altijd tegengesteld is aan de zin van de vervorming van de veer. Daar het hier om een ééndimensionaal probleem gaat, laat men dikwijls de vectorstreepjes weg. Men weet dan echter niet waarover men juist aan het praten is: alleen over de grootte of over grootte en zin van de kracht? Als men over de grootte van de kracht wil praten, dan moet men de norm nemen van beide leden van de vectoriële vorm en dan is het eerste wat verdwijnt het minteken voor het rechterlid van de vectoriële vorm hierboven.

Voorbeelden

Voorbeeld 1: schaaltje aan veer

schaaltje aan veer

De afbeelding stelt een schaaltje voor dat aan een veer hangt. De onbelaste lengte van de veer is 10 cm, de veerconstante 100 N/m en het schaaltje weegt 100 g. Wat is de nieuwe lengte van de veer met het schaaltje eraan en in rust?

Als het schaaltje in rust hangt, wordt het gewicht van het schaaltje in evenwicht gehouden door de kracht van de veer:

mg = k(l - l₀)

of met de getalwaarden:

0,1.10 = 100(l - 0,1)

Hieruit vindt men dat de actuele lengte l = 0,11 m of 11cm.

Men legt nu in het schaaltje een massa van 200 g. Bereken de maximale uitwijking van het schaaltje.

Oplossing: Wanneer men een massa van 200 g in het schaaltje legt, is de kracht van de veer niet meer voldoende om dit totale gewicht van 300 g op te houden. Het schaaltje zal naar beneden versnellen en met een zekere snelheid door de nieuwe evenwichtsstand passeren. Eens voorbij die stand wordt het afgeremd door de veer, omdat de kracht van de veer dan groter is dan 3 N. Uiteindelijk zal het schaaltje stoppen, maar dan ogenblikkelijk terug naar boven versnellen. Het hele gebeuren wordt beheerst door de wet van behoud van energie. Men past die toe door de totale hoeveelheid energie te berekenen bij de begin- en bij de eindpositie. Om die posities te bepalen wordt een x-as naar beneden ingevoerd met nulpunt in de beginpositie van het schaaltje.
Beginpositie: potentiële energie van de zwaartekracht = 0

potentiële energie van de veer = k(l - l₀)²/2 = 100(0,01)²/2 = 0,005 J

E_k = 0

De eindpositie is die waarbij de snelheid = 0 is en dus ook E_k = 0. Voor potentiële energieën geldt:

veer: ment moet rekenen met de totale uitrekking van de veer en dat is x + 1 cm. Dus

E_p = 100(x+0,01)²/2

zwaartekracht: E_p = -mgx = -0,3.10.x

Alles bij elkaar levert dit de vergelijking:

0,005 = -3.x + 100(x+0,01)²/2

Dit is een kwadratische vergelijking in x. Er zijn dus 2 oplossingen: x = 0,04 m en x = 0 m. Als men het houdt bij de beschrijving zoals hierboven gegeven, dan blijft dit systeem ten eeuwigen dage tussen deze posities op en neer gaan. In werkelijkheid treedt er energieverlies op door de luchtweerstand en door inwendige verliezen in de veer, zodat de beweging na een tijdje stopt in een nieuwe evenwichtsstand. Deze stand ligt bij een lengte van de veer van 13 cm (cfr. eerste deel). De beide gevonden oplossingen liggen symmetrisch t.o.v. van deze stand want ze beantwoorden resp. aan een lengte van 15 cm en 11 cm.

Een variant op dit probleem bestaat erin dat de massa vanaf een zekere hoogte h boven het schaaltje erin valt en eraan blijft kleven. Dan bestaat het probleem uit 3 fazes: het vallen van de massa wordt beheerst door behoud van energie. De botsing met het schaaltje, waarbij men onderstelt dat er wel verandering van snelheid is maar niet van positie, door behoud van impuls. De beweging na de botsing wordt opnieuw beheerst door behoud van energie, maar er is nu wel een E_k in de beginpositie.

Voorbeeld 2: twee massa's verbonden door een staaf

Voor het volgende voorbeeld worden twee gelijke massa's A en B beschouwd, die kunnen bewegen in resp. een horizontale en een verticale geleiding en die verbonden zijn door een staaf met lengte L. Men beschouwt het gewicht van de staaf en de wrijving met de geleidingen als verwaarloosbaar. Het systeem vertrekt uit rust met de staaf horizontaal. Men vraagt de snelheid van beide blokken uit te rekenen als ze passeren in de stand met de staaf onder een hoek van 45° met de horizontale.

Dit is een vraag naar de snelheid van één of meerdere massa's, wanneer het systeem vertrekt uit een bepaalde stand en passeert in een andere stand. Dit is een typische vraagstelling voor behoud van energie, voor zover alle verbindingen ideaal zijn en alle krachten die arbeid leveren aan of onttrekken uit het systeem, potentiaalkrachten zijn. Dit is hier het geval. Het is het gewicht van B dat de zaak in beweging brengt. De krachten van de geleidingen op de massa's staan altijd loodrecht op de geleidingen (als er geen wrijving is) en dus loodrecht op de verplaatsing. Alleen de krachten die de staaf op de massa's uitoefent zorgen voor een energie uitwisseling tussen A en B, maar de staaf zelf neemt geen energie op of levert er ook geen (daar ze geen gewicht heeft en dus ook geen massa). De krachten op beide uiteinden van de staaf moeten in de richting van de staaf liggen, even groot zijn maar met tegengestelde zin. Deze staaf vormt immers een ideale staaf zoals gedefinieerd in de statica. De verplaatsingen van beide uiteinden in de richting van de staaf moeten echter dezelfde zijn, want anders zou de lengte van de staaf veranderen. Wat aan energie onttrokken wordt aan B zal dus afgegeven worden aan A.

Voor het oplossen van het probleem hoeven we echter alleen te weten dat alle verbindingen als ideaal mogen beschouwd worden en dat de enige actieve kracht een potentiaalkracht is. Men schrijft weer de totale energie op in de begin- en eindsituatie en stelt die aan elkaar gelijk.

Beginsituatie:

E_p kan men 0 stellen. Dit betekent dat men de beginpositie van B als hoogte = 0 stelt.

E_k = 0

Eindsituatie:

E_p = -m_BgLsin 45°

E_k = (m_Av_A² + m_Bv_B²)/2

Men krijgt als vergelijking:

0 = -m_BgLsin 45° + (m_Av_A² + m_Bv_B²)/2

Hierin komen echter 2 onbekenden voor. Er moet nu een verband gezocht worden tussen de beide snelheden. Als men de snelheid van B bekijkt vanuit een translerend assenkruis verbonden met A, dan is de sleepsnelheid van B gelijk aan de snelheid van A (horizontaal naar rechts). De relatieve snelheid ontstaat door de cirkelbeweging van B rond A als einde van de staaf en staat dus loodrecht op de staaf. De som van beide moet de absolute snelheid van B leveren, die verticaal naar beneden gericht is. Als de staaf onder een hoek van 45° staat, levert dat een gelijkbenig driehoek op en is v_A = v_B = v . Men krijgt dus als vergelijking:

m_BgLsin 45° = m v²

of uiteindelijk:

$v={\sqrt {g.L.\sin 45^{o}}}$ m/s

Behoudswetten vormen een soort "black box"-methode om problemen aan te pakken. Men moet zich niets aan trekken van de manier waarop de overgang van de beginsituatie naar de eindsituatie verloopt, men moet alleen weten dat die overgang aan bepaalde voorwaarden voldoet. Daar mee kan men een verband leggen tussen beide situaties met een minimale informatie.

Opmerking. Als men aan de staaf wel een massa toekent, dan verandert het probleem grondig. Met moet dan niet alleen rekening houden met een verschil in potentiële energie van de staaf, maar de staaf heeft dan ook een traagheidsmoment. Dat verplicht tot het rekening houden met de rotatie van de staaf, zodat de staaf een kinetische energie van translatie en van rotatie heeft. Het probleem valt dan onder de theorie van het volgende hoofdstuk.

Voorbeeld 3: blok op helling met wrijving

Als laatste voorbeeld wordt een blok beschouwd met massa m = 2 kg, dat over een helling van 30° naar beneden schuift. Het blok wordt via een lopende band aan het begin van de helling afgeleverd met een snelheid van 1 m/s. Tussen blok en helling is er echter wrijving met een wrijvingscoëfficiënt f = 0,1. Men vraagt de snelheid van het blok als het verticaal 1 m gedaald is.

Hierin zijn dus niet alle verbindingen ideaal en kan men gebruik maken van een uitgebreid behoud van energie. In dit geval zal men opschrijven dat de totale energie van de eindpositie moet gelijk zijn aan de totale energie van de beginpositie vermeerderd met de energie die weggelekt is door wrijving.

Begin:

E_p = mg.1

E_k = mv₀²/2

Einde:

E_p = 0

E_k = mv²/2

Hierbij moet men nog de wrijvingsenergie tellen:

E_W = W.d met d de afstand langs de helling: d = h/sin 30° = 2 m

Om W te bepalen moet men beroep doen op de 2e wet van Newton, die men loodrecht op de helling projecteert om R te bepalen (voor g wordt 10m/s genomen):

W = fR = fGcos 30° = f.m.g.cos 30°

Men krijgt:

mg.1 + mv₀²/2 = mv²/2 + f.m.g.cos 30°.2

De massa van het blok kan hieruit weggedeeld worden. Het resultaat is dus onafhankelijk van het gewicht van het blok. Er blijft:

10.1 + 1²/2 = v²/2 + 0,1.10.0,866.2

$v={\sqrt {2(10,5-1,732)}}={\sqrt {17,536}}=4,188$ m/s

Als men toch de 2e wet van Newton moet toepassen om de wrijvingskracht te bepalen, dan kan men in feite evenzeer verder werken met de versnelling. Projectie van de 2e wet van Newton langs de helling levert:

ma = G.sin 30° - W = mg (sin 30° - f.cos 30°)

Hieruit kan m opnieuw weggedeeld worden. Men krijgt:

a = 10(0,5 -0,1.0,866) = 4,134 m/s²

Met de formule voor de snelheid in functie van de positie (zie remweg)

$v(s)={\sqrt {v_{0}^{2}+2as}}={\sqrt {1+2.4,134.2}}={\sqrt {17,536}}=4,188$ m/s ... zoals het hoort.

Omdat het hier maar over één blok gaat, is het eenvoudiger om met de 2e wet van Newton te werken dan met behoud van energie.

Vermogen

Het vermogen geleverd door een kracht is de arbeid per tijdseenheid of P = dA/dt.

$dA={\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}dt$

Hieruit volgt op basis van de definitie van differentiaal (niet door dt van rechter- naar linkerlid over te brengen):

$P={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$

Het vermogen wordt uigedrukt in Watt met symbool W. 1 W = 1 J/s.
Vermogen x tijd levert opnieuw energie. Een bekende practische eenheid die volgens dit stramien gemaakt is is de kilowattuur of KWh. 1 KWh = 3,6.10⁶ J of 3600 KJ.

Gravitatiemassa en traagheidsmassa

Als men voor een vrij vallend voorwerp de 2e wet van Newton opschrijft als

$m{\vec {a}}=m{\vec {g}}$

dan heeft het symbool m in de grond een heel andere functie in het linkerlid dan in het rechter. De m in het linkerlid is een maat voor mate waarin een voorwerp zich verzet tegen een verandering van zijn bewegingstoestand. Men noemt dit de traagheids- of inertiemassa. De m in het rechterlid is een maat voor de mate waarin een voorwerp aangetrokken wordt door de aarde. Men noemt dit de gravitatiemassa. Men kan dit nog verder onderscheiden in de massa die een gravitatieveld creëert, de actieve gravitatiemassa, of in de massa die aangesproken wordt door een gravitatieveld, de passieve gravitatiemassa.

Men kan zich nu natuurlijk de vraag stellen of het hier gaat om totaal verschillende fysische verschijnselen, die toevallig dezelfde grootte hebben, of of het toch over fundamenteel dezelfde eigenschap gaat. Proeven om beide van elkaar te onderscheiden hebben geen verschil kunnen vaststellen, met een fout kleiner dan 10^-12. Einstein ontwikkelde zijn algemene relativiteitstheorie uitgaande van de idee dat dit niet toevallig is en dat er nooit een proef zal gevonden worden die een verschil tussen beide kan aantonen. In zijn speciale relativiteitstheorie kan massa omgezet worden in energie volgens de bekende formule E = mc².

Voor een grondiger bespreking kan men terecht bij: Inertial and gravitational mass in de Engelse Wikipedia.

Determinisme en chaos

Met de vooruitgang van de fysica dacht men dat alle mechanische systemen in het heelal zich op een voorspelbare manier gedragen. Sommigen spraken zelfs over god als "le grand horloger de l'univers". Studies in de loop van de vorige eeuw toonden echter aan dat een systeem dat zich gedraagt volgens de wetten van de fysica, toch nog een onvoorspelbaar gedrag kan vertonen. "Onvoorspelbaar" is hier te begrijpen als het feit dat een zeer kleine verandering in de beginvoorwaarden, na een korte tijd tot een ander gedrag of een andere baan leiden. Dit fenomeen noemt men deterministische chaos, of meestal chaotisch gedrag. De studie van dit gedrag, de karakteristieken ervan en de voorwaarden die ertoe leiden, heet de chaostheorie. Een simulatie van zulk een systeem met de computer geeft een mogelijk gedrag van het systeem, maar waarschijnlijk niet het werkelijke gedrag dat het zal volgen, zelfs al zou men het exact dezelfde beginsituatie kunnen geven. Elke numerieke simulatie gebeurt immers met een beperkte nauwkeurigheid en als kleine afwijkingen tot een afwijkend gedrag leiden, dan zullen deze kleine foutjes ook tot een andere voorspelling leiden dan het gedrag van het werkelijke systeem. Typisch zijn bv. de weersvoorspellingen, die na hoogstens 8 dagen zeer onbetrouwbaar worden.

Het blijkt dat elk systeem dat beheerst wordt door een niet-lineaire differentiaalvergelijking, chaotisch gedrag kan vertonen. Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin een onbekende functie en haar afgeleiden optreden. Als die functie en haar afgeleiden enkel in de eerste graad voorkomen, spreekt men van een lineaire differentiaalvergelijking, anders van een niet-lineaire differentiaalvergelijking. Als eenvoudig voorbeeld kan men de vergelijking van de slinger nemen:

$l{\ddot {\theta }}+g\sin \theta =0$

De onbekende functie is θ(t). Daar sin θ geen lineaire functie is van θ, is dit geen lineaire differentiaalvergelijking. Om de zaken wat te vereenvoudigen, stelt men meestal dat voor kleine hoeken (in radialen) sin θ = θ. De vergelijking wordt dan:

$l{\ddot {\theta }}+g\theta =0$

en dit is dan wel een lineaire differentiaalvergelijking met als oplossing $\theta (t)=\sin {\sqrt {(g/l)}}t$.

Er is aangetoond dat zelfs deze eenvoudige slinger, wanneer hij aangedreven wordt door een uitwendige periodieke kracht, chaotisch gedrag kan vertonen. Het gaat dan over een systeem met als differentiaalvergelijking:

${\ddot {\theta }}+\gamma {\dot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\sin \theta =A\cos \omega _{e}t$

waarin γ een dempingscoëfficiënt is, ω₀ is 2π x de eigenfrequentie van de slinger en ω_e is 2π x de excitatiefrequentie. Zie hiervoor Bibliografie: [fowles], p. 131-135.

Banen van magnetische slinger

Een mooi voorbeeld van deterministische chaos is het gedrag van een magnetische slinger, d.i. een slinger met aan het einde een metalen bal die beweegt boven een paar magneten. De magneten proberen de slinger gevangen te houden in hun magnetisch veld, maar, indien de slinger met voldoende beginsnelheid gelanceerd wordt, zal hij toch van het ene magneetveld in het andere bewegen en dat op een "chaotische" manier. In het artikel in de Nederlandse Wikipedia kan men links vinden naar verscheidene simulatieprogramma's. Veel uitleg en foto's vindt men in http://beltoforion.de/article.php?a=magnetic_pendulum&hl=en . Op de afbeelding hiernaast ziet men gesimuleerde banen voor drie verschillende beginposities.

Zeer bekend is ook de van der Pol-oscillator. van der Pol was een Nederlandse natuurkundige, die de versterking van elektrische signalen m.b.v. de eerste elektronenbuizen bestudeerde, nl. de versterking door een triode.

De slinger van Atwood

Meer recent is de slinger van Atwood (1982). De opstelling is afgeleid van het toestel van Atwood (1784). Dat is een middel om de valversnelling g te meten via een sterk vertraagde valbeweging. Hiervoor worden twee bijna gelijke gewichten, M en m, verbonden via een koord dat over een katrol loopt. Als men het traagheidsmoment van de katrol mag verwaarlozen, wordt de versnelling van de beide massa's gegeven door:

a = g(M-m)/(M+m)

Als M = 110 g en m = 100 g krijgt men, bij g = 9,81 m/s² een a = 0,467 m/s²

Slinger van Atwood

Bij de slinger van Atwood (in het Engels: swinging Atwood's machine of SAM) (1982) laat men de kleine massa slingeren. De ophangpunten moeten kleine katrollen zijn zodat de kleine massa ook een volledige toer rond het ophangpunt kan maken zonder zich vast te zetten. Als deze massa verticaal onder haar ophangpunt passeert, dan trekt ze niet alleen met haar gewicht aan het touw, maar ook met een kracht die nodig is om netto de middelpuntzoekende versnelling te leveren die hoort bij een gekromde baan. Als de snelheid van de massa vrij groot is, kan ze zo de andere massa omhoog trekken en zelf naar beneden bewegen. Daar er behoud van energie geldt, zal de snelheid van de kleine massa verminderen als ze lager komt (grootste massa gaat omhoog) en versnellen als ze hoger getrokken wordt. Bedenkt dat a_n=v²/ρ. Deze eenvoudige constructie blijkt een grote verscheidenheid aan gedragingen te vertonen, zelfs volledig chaotisch gedrag. Hieronder een paar banen voor verschillende beginvoorwaarden. Het blijkt dat niet zozeer de absolute waarde van beide gewichten telt, maar wel de verhouding ervan: μ = M/m.

slinger van Atwood

slinger van Atwood

Op de eerste twee figuren is μ = 1,2 (de grote massa is 1,2 x de kleine massa). Eerst wordt de massa losgelaten vanuit een hoek van 30° met de verticale. Dat levert een vrij kleine snelheid in het onderste punt, zodat de grote massa de kleine massa omhoog trekt. Hierdoor gaat deze sneller bewegen, a_n wordt groter en de grote massa wordt afgestopt, waarna de kleine massa de grote omhoogtrekt. Daardoor vertraagt de kleine massa en begint de cyclus opnieuw.

Bij de tweede figuur werd kleine massa losgelaten onder een hoek van 90°. Daardoor passeert ze met grote snelheid door de verticale en trekt meteen de grote massa naar beneden (let op de afstanden rechts bovenaan de grafiek). Hierdoor vertraagt ze echter en na een tijdje heeft de grote massa weer de overhand en trekt de kleine omhoog.

Wanneer μ groter wordt kan de kleine massa omhoog getrokken worden tot ze zo versnelt dat ze volledig rond de bovenste katrol gaat slingeren. Dit is in de twee volgende figuren te zien. .

slinger van Atwood

slinger van Atwood

Vergelijkingen

De bewegingsvergelijkingen voor dit systeem kan men het beste opstellen met behulp van de methode van Lagrange. Hierbij vertrekt men van de potentiële en kinetische energie van het systeem. Het is een systeem met 2 vrijheidsgraden, met parameters r en θ. Als men de potentiële energie van de zwaartekracht gelijk aan nul stelt ter hoogte van het ophangpunt, kan de potentiële energie van de kleine massa geschreven worden als:

$\displaystyle -mgr\cos \theta$

De potentiële energie van de grote massa wordt dan:

$\displaystyle -Mg(l-d-r)=Mgr-Mg(l-d)$

waarin $l$ de totale lengte van het touw is en d de afstand tussen de ophangpunten. De tweede term is een constante en heeft geen belang. Deze uitdrukking zal immers gedifferentieerd worden en dan valt die constante term weg. Men kan het weglaten van die term ook beschouwen als het kiezen van het nulniveau voor de potentiële energie van de zwaartekracht op een afstand r onder de beginpositie van M.

De kinetische energie van m zal uitgedrukt worden in poolcoördinaten. Er is immers ook een verplaatsing in de richting van het touw. Men krijgt voor de totale kinetische energie:

$E_{k}={\frac {M{\dot {r}}^{2}}{2}}+{\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})$

Dit levert als Lagrangiaan:

$L={\frac {M{\dot {r}}^{2}}{2}}+{\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})+gr(m\cos \theta -M)$

Dit leidt tot de volgende vergelijkingen:

$(M+m){\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}-g(m\cos \theta -M)=0$

$2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}+g\sin \theta =0$

Bemerk dat in deze vergelijking geen massa's voorkomen. Voor toepassing in een simulatieprogramma moeten deze vergelijkingen opgelost worden naar de tweede afgeleide:

${\ddot {r}}=[mr{\dot {\theta }}^{2}+g(m\cos \theta -M)]/(M+m)$

${\ddot {\theta }}=-(g\sin \theta +2{\dot {r}}{\dot {\theta }})/r$

Men kan de eerste vergelijking ook schrijven in functie van de verhouding tussen de 2 massa's: μ = M/m. Men krijgt dan:

${\ddot {r}}=[r{\dot {\theta }}^{2}+g(\cos \theta -\mu )]/(1+\mu )$

Men kan meerdere simulaties zien in de Engelstalige bespreking van de slinger van Atwood (zie hoger). Video's van een experimentele opstelling kan men vinden op http://www-loa.univ-lille1.fr/~pujol/ . Een java programma om zelf te experimenteren kan men vinden op http://www.opensourcephysics.org/items/detail.cfm?ID=11247 (oproepen met: java -jar xxx.jar). Dit programma kan ook de speciale banen genereren bekend als de traan ("teardrop" in het Engels) of de hartvormige kromme.

Faseruimte

Wanneer men een grafiek maakt van een beweging, is dit normaal gesproken een grafiek van de positie of de snelheid als functie van de tijd. Men kan echter ook een grafiek maken van de snelheid (of de impuls) in functie van de positie. De ruimte die ontstaat door positie en snelheid (of impuls) samen te nemen, noemt men de faseruimte. Een grafiek van de beweging in deze faseruimte kan veel leren over de stabiliteit van een beweging of over de gebieden waarbuiten een beweging onstabiel wordt of zelfs chaotisch kan worden. Een periodieke beweging, zoals de beweging van de slinger van een klok, zal in deze ruimte een gesloten kromme vormen.

Ongedempte slinger

Gedempte slinger

Een gedempte slingerbeweging wordt een naar binnen cirkelende spiraal die eindigt in de oorsprong en daar blijft . Men noemt de oorsprong een attractor voor deze beweging. Slingerbewegingen met een grote amplitude zijn geen harmonische bewegingen meer. De grafiek ervan is dan ook geen mooie ellips meer, maar vertoont scherpe punten. Wanneer de slinger doordraait, krijgt men de grafiek rechts.

Dat de slinger van een staande klok met constante amplitude blijft slingeren komt doordat bij elke tik de slinger een klein duwtje krijgt, dat de verliezen moet compenseren. De energie voor dat duwtje komt van het gewicht, dat bij elke tik een beetje zakt, of van een spiraalveer, die bij elke tik zich een beetje ontspant.

niet-harmonische slinger

niet-harmonische slinger

Men kan in elk van de punten van deze faseruimte een vector definiëren, die toont hoe een kromme, die in dat punt passeert, verder zal evolueren. Men heeft dan een vectorveld, dat een duidelijk beeld heeft van de mogelijke bewegingen. De studie van deze ruimte is echter vrij abstracte wiskunde, die buiten het bereik van dit werk valt. De figuur hieronder stelt een niet-harmonische opslingering voor. Men vertrekt uit rust en bereikt snel een stationaire toestand (van der Pol oscillator)

faseruimte