Uit Wikibooks

Basisbegrippen
Equivalente vectorsystemen
Statica I: vectoriële methode
Statica II: Methode van de virtuele arbeid
Kinematica
Kinematica-2: bewegende referentiesystemen
Kinematica-3: Aanvullingen
Elementaire dynamica
Dynamica van voorwerpen I
Dynamica van voorwerpen II
Methode van Lagrange
Aanvullingen: Wrijving
Aanvullingen: Traagheidskrachten
Aanvullingen: Botsingen
Aanvullingen: Centrale kracht, planetenbanen

Inhoud

1 Algemene rotatie

[bewerken] Algemene rotatie

[bewerken] Inleiding

Hierboven werd het geval besproken van de rotatie rond een as met vaste richting. Deze as mag bewegen, maar hij mag niet veranderen van richting. Het werd daar eendimensionele rotatie genoemd. Het is absoluut nodig dat men het begin van dat eerste deel gelezen en begrepen heeft om dit vervolg te kunnen begrijpen. De algemene of driedimensionele rotatie is immers veel ingewikkelder dan de eendimensionele, om verscheidene redenen. Vooreerst speelt alles zich af in 3 dimensies. Die moet in een perspectieftekening voorgesteld worden. Wie weinig ruimtelijk inzicht heeft kan hiermede problemen hebben. Vervolgens gedragen de systemen die hier beschouwd worden, zich absoluut niet zoals men intuïtief verwacht. En tenslotte moet men om alles in formules te gieten beroep doen op enige meer gevorderde wiskunde, zoals vectoriële producten en matrices. Normaal behoort deze stof tot de universitaire opleidingen. Er zal toch geprobeerd worden om aan iedereen enig inzicht in de fenomenen te geven.

De figuur hiernaast geeft een eenvoudig voorbeeld van een situatie waarbij de eendimensionele aanpak niet meer werkt. De rotatie-as van het wiel verandert voortdurend van richting. Dit valt dus niet onder de vorige formules.

[bewerken] Basiswet

Men kan het rechterlid van de wet van Newton schrijven als m.a, maar ook als de afgeleide van de impuls p = m.v als:
$\quad \sum_i \vec{F}_i = \frac {d\vec{p}}{dt}$
Op analoge manier is de basiswet voor de rotatie te schrijven als:

de som van de momenten van de uitwendige krachten moet gelijk zijn aan de verandering van het impulsmoment.

Bij de eendimensionale rotatie moet men het moment nemen van alle krachten t.o.v. de rotatie-as. Hier moet men het moment nemen t.o.v. een punt P. Dit punt moet een stilstaand punt zijn of het massacentrum. Er is nog een derde mogelijkheid, nl. een punt waarvan de snelheid evenwijdig is aan de snelheid van het massacentrum. Dit is meestal maar een tijdelijke situatie, die niet kan gebruikt worden voor het opstellen van differentiaalvergelijkingen. Daarom wordt ze meestal niet vermeld. Voor de eenvoud van de formules voert men normaal een assenkruis in zodat dat punt P de oorsprong van het assenkruis is. Het moment van een kracht wordt dan gegeven door het vectoriële product van de positievector van het aangrijpingspunt van die kracht met de kracht.

Afleiding

Voor één massa zegt de wet van Newton:

$\sum \vec F_i = m\vec a$

Wanneer men het moment neemt van beide leden t.o.v. de oorsprong dan bekomt men nog altijd een gelijkheid want de positievector voor het linker en het rechterlid is dezelfde:

$\vec r \times\sum \vec F_i = \vec r \times m\vec a$

Wanneer men een verzameling van puntmassa's beschouwt, de wet van Newton op elke massa toepast en dan het moment neemt van beide leden en alles lid aan lid optelt, bekomt men:

$\sum \vec r_i \times\vec F_i = \sum \vec r_i \times m_i\vec a_i$ (1)

Men zou normaal een dubbele som moeten invoeren voor de krachten, maar men kan het ook bij één som houden, waarbij sommige r_i dezelfde zullen zijn. Bedenk dat de index i in het linkerlid niets te maken heeft met de index i in het rechterlid. De krachten kan men verdelen in uitwendige en inwendige krachten, d.i. krachten tussen de massa's onderling. Als men onderstelt dat die krachten actie-reactiekoppels vormen, die op dezelfde drager liggen, dan valt het moment van elk koppel krachten tegen elkaar weg. Men moet dus alleen rekening houden met de uitwendige krachten.

Anderzijds zou men het rechterlid willen schrijven als de afgeleide van het impulsmoment L, nl. $\vec {L} = \sum_i \vec{r}_i \times m_i \vec {v}_i$ . Als men hiervan de afgeleide neemt, dan bekomt men twee sommen. De vraag is nu in welke gevallen dit zich herleid tot één som zoals in de betrekking hierboven. Om dit volledig algemeen te bekijken, kan men het moment nemen t.o.v. een willekeurig punt P, dat niet noodzakelijk moet stilstaan. Als r_P de positievector is van P t.o.v. de oorsprong en r_i de positie van het i-de punt t.o.v. de oorsprong, dan is de positie van dit punt t.o.v. P gegeven door:

$\vec r_{iP}=\vec r_i - \vec r_P$

En het impulsmoment t.o.v. P wordt:

$\sum_i (\vec r_i - \vec r_P) \times m_i \vec {v}_i$

Als men dit differentieert krijgt men:

$\sum_i (\vec v_i - \vec v_P) \times m_i \vec {v}_i + \sum_i (\vec r_i - \vec r_P) \times m_i \vec {a}_i$

Dit kan nog herschreven worden in 3 termen:

$\sum_i \vec v_i \times m_i \vec {v}_i - \vec v_P \times \sum_i m_i \vec {v}_i + \sum_i (\vec r_i - \vec r_P) \times m_i \vec {a}_i$

Hierin is de eerste term = 0 want een vectorieel product van een vector met zichzelf is 0.

De tweede term is zeker ook 0 als P een stilstaand punt is. Bemerk dat het geen belang heeft of P een versnelling heeft, alhoewel men in dat geval het punt alleen kan gebruiken voor een ogenblikkelijke berekening en niet voor het opstellen van een differentiaalvergelijking.
De tweede term is ook 0 als de snelheid van P evenwijdig is aan de snelheid van het massacentrum. Uit de definitie van het massacentrum volgt immers :

$\sum_i m_i \vec {v}_i = (\sum_i m_i)\vec v_C$

De tweede term is tenslotte ook 0 als P het massacentrum is. Dan is r_i - r_P de relatieve positie van elk punt t.o.v. het massacentrum. Dit wordt dikwijls aangeduid als r'_i.

In de laatste term staan nu nog de afgeleiden van de absolute snelheden. Het zou logischer zijn om voor het impulsmoment ook te werken met de relatieve snelheden. Het blijkt dan men bij het berekenen van het impulsmoment t.o.v. het massacentrum, zowel met de absolute als met de relatieve snelheden mag werken. Men heeft:

$\vec {L} = \sum_i \vec{r'}_i \times m_i (\vec v_C + \vec {v'}_i) = \sum_i m_i \vec{r'}_i \times \vec v_C + \sum_i \vec{r'}_i \times m_i \vec {v'}_i$

De eerste term hierin is 0 want bij positiebepaling t.o.v. het massacentrum geldt:

$\sum_i m_i \vec{r'}_i = m\vec r'_c = 0$

Einde van de afleiding

[bewerken] Traagheidstensor

De notie van impulsmoment kwam ook reeds voor bij eendimensionale rotatie hierboven. Daar werd het impulsmoment geschreven als L = Iω. In het algemene geval moet men teruggrijpen naar de definitie als som van de momenten van de impulsen van alle (punt)massa's t.o.v. een punt:

$\vec {L} = \sum_i \vec{r}_i \times m_i \vec {v}_i$

Bij een onvervormbaar voorwerp kan men die v_i schrijven in functie van de hoeksnelheid ω m.b.v. een vectorieel product als $\vec {v}_i = \vec {\omega} \times \vec{r}_i$ Als men dat invoert in de vorige formule (zie afleiding infra) krijgt men een resultaat dat kan voorgesteld worden, mits de complexiteit een beetje te verschuiven, als:

$\vec {L} = \left[ \begin{matrix} \ I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & \ I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & \ I_{zz} \\ \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} \omega _x \\ \omega _y \\ \omega _z \\ \end{matrix} \right]$

De 3 x 3 matrix noemt men de traagheidstensor. Men spreekt van een tensor omwille van de manier waarop de elementen veranderen bij verandering van het assenkruis. In elke element zit 2x een positie verwerkt, zodat de elementen bij bv. een rotatie van het assenkruis op een andere manier zullen veranderen dan de componenten van een vector. Deze traagheidstensor kan gevisualiseerd worden als een ellipsoïde. Zie op het einde van dit hoofdstuk Gyratiestraal - Traagheidsellipsoïde

Afleiding: L als functie van ω
Voor een onvervormbaar voorwerp is het handiger om de hoeksnelheid ω van het voorwerp en de totale massa te kunnen gebruiken. Hiervoor wordt elke v_i herschreven als $\vec {v}_i = \vec {\omega} \times \vec{r}_i$ . De impulsmomentvector wordt dan:

$\vec {L} = \sum_i \vec{r}_i \times m_i (\vec {\omega} \times \vec{r}_i)$

Voor de uitwerking kan men eerst ω x r_i schrijven als v_i. Men bekomt dan:

$\vec{r}_i \times \vec{v}_i=(y_i v_{zi} - z_i v_{yi})\vec{i} +( z_i v_{xi} - x_i v_{zi})\vec{j} + (x_i v_{yi} - y_i v_{xi})\vec{k}$

Op analoge manier is

$\vec {v}_i = \vec {\omega} \times \vec{r}_i=(\omega_y z_i - \omega_z y_i)\vec{i}+(\omega_z x_i - \omega_x z_i)\vec{j}+(\omega_x y_i - \omega_y x_i)\vec{k}$

Voor de x-component van L vindt men:

$L_x = \sum_i m_i[y_i(\omega_x y_i - \omega_y x_i) - z_i(\omega_z x_i - \omega_x z_i)]= \sum_i m_i(y_i^2\omega_x - x_i y_i\omega_y - x_i z_i\omega_z + z_i^2\omega_x)$

$= \sum_i m_i[(y_i^2 + z_i^2)\omega_x - x_i y_i\omega_y - x_i z_i\omega_z]$

Op analoge manier krijgt men:

$L_y = \sum_i m_i[-x_i y_i\omega_x + (x_i^2 + z_i^2)\omega_y - x_i z_i\omega_z]$

$L_z = \sum_i m_i[-x_i z_i\omega_x - y_i z_i\omega_y + (x_i^2 + y_i^2)\omega_z]$

Men stelt:

$I_{xx} = \sum m_i(y_i^2 + z_i^2)=\int (y_i^2+z_i^2) dm$ is het traagheidsmoment t.o.v. de x-as. De term tussen de haakjes is immers de loodrechte afstand van m_i naar de x-as.
$I_{xy} = \sum m_i x_i y_i =\int xydm$ is een traagheidsproduct.

en analoog voor de andere elementen. Het is duidelijk dat $I x y = I y x$

Hiermede kan de uitdrukking voor L geschreven worden als een matrixproduct van een traagheidstensor I met de hoeksnelheid ω :

$\vec {L} = \left[ \begin{matrix} \ I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & \ I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & \ I_{zz} \\ \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} \omega _x \\ \omega _y \\ \omega _z \\ \end{matrix} \right]$

Deze traagheidstensor is een symmetrische matrix: $I i j = I j i$ . Soms worden de traagheidsproducten hier zonder minteken genoteerd. Dan wordt er een minteken ingevoerd bij de definitie ervan.
Einde van de afleiding

Het is altijd mogelijk om een assenkruis te kiezen, vast verbonden aan het voorwerp, zodat deze matrix vereenvoudigd wordt tot:

$\vec {L} = \left[ \begin{matrix} I_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \\ \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} \omega _x \\ \omega _y \\ \omega _z \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} I_{xx} \omega _x \\ I_{yy} \omega _y \\ I_{zz} \omega _z \\ \end{matrix} \right]$

Het assenkruis waarin men deze eenvoudige vorm bekomt heet een hoofdtraagheidsassenkruis en de assen ervan zijn hoofdtraagheidsassen. In het voorbeeld hieronder werd een schuin assenkruis gebruikt omdat de assen dan hoofdtraagheidsassen zijn. Hieronder worden de hoofdtraagheidsassen nog uitvoerig verder behandeld.

Het traagheidsmoment uit de eendimensionale rotatie komt overeen met het element I_zz, het traagheidsmoment t.o.v. de z-as. Het algemene geval is dus minstens 3x zo ingewikkeld als het eendimensionale. Zie traagheidsmoment voor tabellen met de traagheidsmomenten van enkel voorwerpen.

Uit bovenstaande formule volgt ook dat $\vec L$ en $\vec \omega$ normaal niet meer dezelfde richting hebben. Kijk bv. naar de situatie in voorbeeld 2.

rechthoekige plaat draaiend rond diagonaal

Een vector die ronddraait is een veranderende vector. Volkomen algemeen geldt dat als de grootte van de vector ongewijzigd blijft maar de richting continu verandert, als de vector ronddraait, de afgeleide loodrecht staat op die vector. Het meest bekende geval is de beweging met constante snelheid van een punt op een cirkel. De positievector van dat punt draait rond en de snelheidsvector is steeds loodrecht op de positievector. Hier draait de impulsmomentvector rond. De afgeleide ervan zal de richting hebben van de snelheid van de top van deze vector en zal zelf ook mee ronddraaien met de impulsmomentvector. Deze situatie vraagt dus een voortdurende inwerking van een uitwendig moment volgens de afgeleide van de impulsmomentvector.

Deze elementen zijn voldoende om een reeks interessante effecten te bespreken.

[bewerken] Gyroscopisch effect

Er wordt even teruggekeerd naar de eerste figuur, het rollend wiel. Het impulsmoment heeft een component volgens de z-as veroorzaakt door ω₂ en een component volgens de y-as veroorzaakt door ω₁. De z-component is constant, alleen de y-component draait rond. De top ervan heeft een snelheid evenwijdig aan de x-as en volgens de positieve zin ervan. Volgens de basiswet van de rotatie moet er een uitwendig moment geleverd worden in dezelfde richting en zin.

Op het wiel grijpen volgende krachten aan:
- het gewicht in het massacentrum
- een tegengestelde kracht van de grond om die op te vangen.
De som van deze beide krachten is nul en men kan ze verder vergeten.
Er is ook nog een kracht nodig die het centrum van het wiel naar binnen trekt en zo de middelpuntzoekende versnelling kan veroorzaken. Deze levert geen moment t.o.v. de oorsprong.

Het uitwendige moment kan alleen geleverd worden door een koppel van supplementaire krachten, één van de grond op het wiel(omhoog) en één in de bevestiging in de oorsprong omlaag. Door de rotatie gaat het wiel dus harder op de grond drukken.

Wanneer men het wiel maar aan 1 zijde ondersteunt, krijgt men een zeer eigenaardige reactie (zie figuur hiernaast). Het gewicht en de reactie in het steunpunt vormen een koppel met moment M, voor te stellen als een vector die horizontaal en naar achter gericht is (rechtsdraaiende schroef). Volgens de basiswet moet de punt van de impulsmomentvector nu ook naar achter bewegen. Hij moet rond een verticale as beginnen draaien. Men noemt deze rotatie ook de precessie. Waar een wiel dat niet draait gewoon zou vallen, begint een draaiend wiel rond te draaien. Op het einde vindt men links naar video's van dit fenomeen.

Men krijgt zo de eigenaardige situatie dat een moment loodrecht op de rotatie een rotatie uitlokt die opnieuw loodrecht staat op deze vectoren. Dit eigenaardige gedrag staat bekend als gyroscopisch effect. Men kan het ook beschrijven als het feit dat, als men een kracht uitoefent op de as van een snel draaiend voorwerp, de as niet zal draaien in de richting van de kracht maar in een richting loodrecht erop, nl. in de richting van het moment van de kracht.

Omgekeerd: als men een snel draaiend voorwerp doet draaien om een as loodrecht op zijn rotatieas, dan reageert het door te proberen weg te draaien volgens een rotatierichting loodrecht op beide. Dit kan men gemakkelijk zelf vaststellen. Als men een draaiend fietswiel vasthoudt aan uiteinden van de as, met de as horizontaal, en men probeert het wiel te kantelen om de as verticaal te brengen, dan voelt men een eigenaardige reactie van het wiel. Als men probeert om één uiteinde omhoog en het ander omlaag te brengen, dan oefent men een koppel uit als op de figuur hiernaast. Het wiel zal proberen rond een verticale as te draaien. Normaal probeert men ogenblikkelijk om die ongewenste beweging te stoppen, wat betekent dat men nu horizontale krachten gaat uitoefenen op de as. Dat is precies wat nodig is om het wiel te doen kantelen, wat het dan ook zal doen.

Een snel draaiend voorwerp laat veel moeilijker zijn richting veranderen dan een niet-draaiend voorwerp: er moet een groter moment op uitgeoefend worden en in een andere richting. Daarom geeft men kogels en andere projectielen een draaiende beweging. Daarom ook geeft men aan een discus of een frishbee een roterende beweging mee.

Wanneer een fietser bij het nemen van een bocht naar de binnenzijde van de bocht leunt, dan veroorzaken zijn gewicht en de verticale reactie van de grond ook een koppel dat de fietswielen de bocht doet nemen. De wielen van een fiets draaien echter niet snel en wegen niet veel, zodat dit effect niet zo belangrijk is. De situatie is totaal anders bij motoren. Daar draaien de wielen wel snel en ze zijn veel zwaarder. Motorrijders gebruiken het gyroscopisch effect op 2 manieren: om hun motor te doen hellen en om hem de bocht te doen nemen. Vanaf snelheden boven de 40 km/u zal een motorrijder bij het ingaan van de bocht een duwtje geven op zijn stuur in tegengestelde richting van de bocht. Dit zal het voorwiel niet doen draaien maar wel doen kantelen volgens de langsas van de motor. Als de motorrijder dan mee gaat hellen, creëert hij opnieuw een koppel dat helpt om zijn motor door de bocht te draaien.

Het gyroscopisch effect zorgt ook voor supplementaire krachten op de lagers van de turbines van straalvliegtuigen als die een bocht nemen.

Het effect wordt natuurlijk ook gebruikt in gyroscopen voor automatische besturing en in het gyrokompas. Voor wie filmpjes en veel meer informatie wil over het gyroscopisch effect in allerhande toepassingen kan vertrekken van http://www.gyroscopes.org/

[bewerken] Trillende autowielen

Rechthoekige plaats draaiend rond diagonaal

Wanneer men een nieuwe band laat zetten op een autowiel, dan wordt dat thans ook altijd uitgebalanceerd om te vermijden dat het wiel bij hoge snelheid gaat trillen. Waarvoor dit nodig is kan men begrijpen aan de hand van het tweede voorbeeld, de rechthoekige plaat die draait rond een diagonaal. De L-vector verandert voortdurend van richting en dat vraagt een moment loodrecht op de rotatie-as en de L-vector. Dit moment moet geleverd worden door 2 krachten in de lagers: de krachten F_A en F_B op de figuur hiernaast. Die krachten moeten meedraaien met de plaat.

Men kan de noodzaak van deze krachten ook begrijpen als men denkt in termen van middelpuntvliedende krachten (of traagheidskrachten). Wanneer de rechthoek draait, zullen de delen naast de as naar buiten willen bewegen alsof er een kracht F_T1 en F_T2 op werkt. Deze krachten moeten opgevangen worden door F_A en F_B. Men kan ook begrijpen dat als de plaat kon draaien rond haar middelpunt, ze zou draaien tot ze horizontaal ligt. Dan liggen de beide middelpuntvliedende krachten in elkaars verlengde en veroorzaken geen rotatie meer (moment is nul). Dan draait de rechthoek ook volgens een hoofdtraagheidsas en ligt L volgens de rotatie-as.

Conclusie: een voorwerp probeert altijd volgens een hoofdtraagheidsas te draaien. Als dat niet het geval is moeten er voortdurende krachten op uitgeoefend worden om het in de gevraagde positie te houden. Wanneer er enige elasticiteit is in de bevestiging zal dat aanleiding geven tot trillen of slingeren.

Bij een niet uitgebalanceerd wiel valt de hoofdtraagheidsas van het wiel niet samen met de rotatie-as (die dan natuurlijk horizontaal is). Door kleine gewichtjes toe te voegen kan men beide wel doen samenvallen en verdwijnt het trillen.

Bemerk dat de theorie van de eendimensionale rotatie niets kan zeggen over dit trillen. Bij die theorie kijkt men immers alleen naar de componenten van de verschillende grootheden volgens de rotatie-as. Die theorie zegt niets over wat in de 2 andere dimensies gebeurt.

[bewerken] Hoofdtraagheidsassen

Hierboven werd de meest algemene vorm van de traagheidstensor gegeven met de formules voor de diagonaalelementen.

De nevendiagonaalelementen worden traagheidsproducten genoemd en worden berekend als:
$I_{xy} = -\sum m_i.(x_i.y_i)$ of als $I_{xy} = -\int (x.y) dm$
Deze tensor is een symmetrische matrix, d.i. I_xy = I_yx.

Men kan deze matrix visualiseren en dan bekomt men een ellipsoïde. Een omwentelingsellipsoïde is het volume dat men bekomt door een ellips rond een hoofdas te laten draaien. Het lijkt dus een beetje op een rugbybal. Een ellipsoïde heeft 3 symmetrievlakken die loodrecht op elkaar staan. De snijlijnen van deze vlakken vormen 3 symmetrieassen. Als men een assenkruis volgens deze assen gebruikt voor het opstellen van de vergelijking bekomt men de eenvoudigste vorm. Evenzo leidt het gebruik van deze assen om de traagheidstensor te bepalen tot de eenvoudige diagonaalvorm. Een traagheidstensor kan men dus altijd herleiden tot een diagonaalvorm indien een gepast assenkruis gekozen wordt.

Wanneer een voorwerp zelf symmetrie-elementen bevat, dan kan men op basis daarvan een hoofdtraagheidsassenkruis vinden. De regels hiervoor zijn:
- elke symmetrie-as is een hoofdtraagheidsas, waar men ook de oorsprong kiest op die as;
- een as loodrecht op een symmetrievlak is een hoofdtraagheidsas als de oorsprong in het symmetrievlak ligt.

Om een assenkruis te gebruiken voor berekeningen volgens bovenstaande formules, moet de oorsprong van het assenkruis echter in het massacentrum vallen of in een stilstaand punt.

Men kan dit illustreren m.b.v. een homogene rechthoekige balk. Zulk een balk heeft drie symmetrievlakken, die 3 symmetrie-assen bepalen. Deze snijden elkaar in het massacentrum. Deze symmetrie-assen kan men dus gebruiken als hoofdtraagheidsassen (eerste figuur). Wanneer men de oorsprong van het assenkruis horizontaal verplaatst naar A, dan blijft het een hoofdtraagheidsassenkruis: de y-as is een symmetrie-as, de x- en z-assen staan loodrecht op een symmetrievlak en de oorsprong ervan ligt in het symmetrievlak (figuur 2). Echter voor de berekeningen is alleen het punt A bruikbaar want alleen dat is een stilstaand punt.

Wat gebeurt er als men het onderste hoekpunt als oorsprong neemt? Dat is een stilstaand punt, maar dan heeft men geen hoofdtraagheidsassenkruis meer. Alleen de x-as is nog een hoofdtraagheidsas. De traagheidsproducten I_yz = I_zy zullen verschillen van 0. Men kan ze berekenen als (met h=hoogte, b=breedte en d=dikte van de balk): $I_{yz} = -\int (y.z) dm = -\int_{-d/2}^{d/2} \int_{0}^{b} \int_{0}^{h} x.y.\rho \; dzdydx = -\frac {mhb}{4}$

De impulsmomentvector L wordt dan:
$\vec {L} = \left[ {\begin{matrix} {I_{xx} } & 0 & 0 \\ 0 & I_{yy} & {-\frac{mhb}{4}} \\ 0 & {-\frac{mhb}{4} } & I_{zz} \\ \end{matrix}} \right] . \left[ {\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ {\omega} \\ \end{matrix}} \right] = \left[ {\begin{matrix}0 \\ {-\frac{mhb\omega}{4}} \\ {m\omega (\frac {b^2}{3} + \frac {d^2}{12}) } \end{matrix}} \right]$

Deze impulsmomentvector heeft dus een y-component en zal dus ronddraaien met de balk.

I_zz door het hoekpunt werd hierbij afgeleid uit I_zz door het massacentrum m.b.v. de formule van Steiner . T.o.v. het massacentrum:
$I_{zz,C} = \frac{m}{12}(b^2 + d^2)$
T.o.v. het hoekpunt: $I_{zz,P} = \frac{m}{12}(b^2 + d^2) + \frac{mb^2}{4} = m(\frac{b^2}{3} + \frac{d^2}{12})$

Er is nog een andere manier om L te berekenen. Daar voor de totale impuls geldt $\sum m_i\vec v_i\,=\,(\sum m_i)\vec v_C\,=\,m \vec v_C$ , moet, volgens de verplaatsingsformule, L in het onderste hoekpunt gelijk zijn aan de L berekend in het massacentrum vermeerderd met het moment van de totale impuls in het massacentrum t.o.v. dat hoekpunt. In formules:
$\vec{L} = \vec{L}_C \; + \; \vec {r}_C \, \times \, m\vec {v}_C = I_{zz}\omega\vec {k} \; + \; \left[ {\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ {0} & {\frac {b}{2}} & {\frac {h}{2}} \\ {-m\frac {b}{2}\omega} & {0} & {0}\\ \end{matrix}} \right] = -\frac {mhb\omega}{4} \vec{j} \; + \; m\omega (\frac {b^2}{3} + \frac {d^2}{12}) \vec{k}$
Met een totaal andere aanpak bekomt men precies hetzelfde als het vorige, zoals het hoort.
Nota
De betrekking

$\vec{L} = (\vec{r}_C \times m\vec{v}_C )\, + \,\vec{L}_C$

wordt ook dikwjls geschreven als

$\vec{L} =\vec{J}\, + \,\vec{S}$

wat men dan leest als "de totale impuls = baanimpulsmoment + spin".

[bewerken] Het rechterlid: de afgeleide van L

Opdat de traagheidstensor onafhankelijk zou zijn van de tijd (tenminste bij onvervormbare voorwerpen), heeft men een assenkruis gebruikt vast verbonden aan het voorwerp. Als men de afgeleiden van de impulsmomentvector L berekent door differentiëren van de componenten in dat assenkruis, heeft men alleen de verandering van L binnen dat assenkruis. Men noemt dit de relatieve verandering. Om de absolute verandering te hebben, d.i. zoals iemand die ziet die buiten het assenkruis staat, moet men nog rekening houden met het feit dat de impulsmomentvector mee rond draait met het assenkruis, meegesleept wordt met de beweging van het assenkruis (Zie ook Kinematica 2: een nieuwe operator). Als een vector ronddraait beschrijft zijn eindpunt een cirkel. Bij een vlak systeem wordt de snelheid van een punt op een cirkel gegeven als r.ω . In 3 dimensies moet men een vectorieel product gebruiken: $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ . Dit levert als uiteindelijke formule:
$\frac{d\vec{L}}{dt} \vert_{abs} = \frac{d\vec{L}}{dt} \vert_{rel} \; + \; \vec{\omega}_{assenkruis} \times \vec{L}$
De tweede term in deze formule kan men de sleepverandering noemen.

Bij de voorbeelden die tot nu toe gezien werden zijn de projecties van L in het bewegend assenkruis constant. De eerste term, de relatieve verandering is dus telkens 0. De sleepverandering wordt voor het 2e voorbeeld:
$\vec{\omega}_{assenkruis} \times \vec{L} = \left[ {\begin{matrix} {\vec{i}} & {\vec{j}} & {\vec{k}} \\ {\omega_x} & {\omega_y} & 0 \\ L_x & L_y & 0\\ \end{matrix}} \right] = (I_{yy} - I_{xx})\omega_x \omega_y \, \vec{k}$
Daar I_xx groter is dan I_yy ligt dat resultaat volgens de negatieve z-as. De punt van L beweegt op het getekende ogenblik inderdaad naar achter.

Er is één uitzondering op de regel dat het assenkruis meedraait met het voorwerp. Wanneer men een rotatiesymmetrisch voorwerp heeft, zoals het wiel in het 1ste voorbeeld, en dat voorwerp draait rond die symmetrie-as, dan zal men het assenkruis deze laatste rotatie NIET laten volgen. Het is duidelijk dat de traagheidsmomenten volgens de x- en z-as niet veranderen als het wiel draait. De massaverdeling t.o.v. die assen blijft dezelfde. Men bekomt dus reeds een constante traagheidstensor door het assenkruis alleen ω₂ te laten volgen. De impulsmoment vector in dat assenkruis is:
$\vec{L} = ( 0 , I_{yy}\omega_1 , I_{zz}\omega_2)$
Ook hier is de relatieve verandering 0 (de componenten zijn constant binnen het bewegend assenkruis zodat de projecties geen functie zijn van de tijd). De sleepverandering is:
$\left[ {\begin{matrix} {\vec{i}} & {\vec{j}} & {\vec{k}} \\ 0 & 0 & -\omega_2 \\ 0 & L_y & L_z \\ \end{matrix}} \right] = \omega_2.L_y \, \vec{i} = I_{yy}\omega_1\omega_2 \, \vec{i}$
En dat is een resultaat volgens de positieve x-as, zoals uit de figuur verwacht wordt.

Nota 1. Als men het assenkruis toch volledig zou laten meedraaien met het wiel, dan moet men wel bedenken dat enige ogenblikken na de getekende stand, de z-as niet meer verticaal omhoog en de x-as niet meer horizontaal zouden zijn. Beide zouden iets linksom gedraaid zijn. De vector ω₂ blijft echter wel verticaal naar beneden gericht. Binnen het (bewegend) assenkruis moet men die dan beschrijven als een vector die met hoeksnelheid ω₁ rond draait in het xz-vlak, maar in tegengestelde zin van ω₁ (cfr. het complexere voorbeeld hieronder). Het is als met iemand in de trein die de indruk heeft dat het station weg rijdt i.p.v. zijn trein. Dan zouden er wel afgeleiden zijn van ω₂ en dus een relatieve verandering van L. Deze termen zouden echter wegvallen tegen even grote maar tegengestelde termen in de sleepverandering. Het is dan natuurlijk efficiënter en veiliger om een aanpak te volgen waarbij deze termen nooit berekend worden. Dat gebeurt door het assenkruis niet te laten meedraaien met ω₁.

Nota 2. De rotatie rond de symmetrie-as, hier ω₁, noemt men de spilomwenteling (in het Engels : spin). In de literatuur wordt het verschil tussen de hoeksnelheid van een assenkruis dat volledig vast is aan het voorwerp of een assenkruis dat de spilomwenteling niet volgt, aangegeven door met een kleine ω of een grote Ω te werken. De hier gevolgde formulering met een ω_assenkruis voor de sleepverandering dekt beide gevallen en is zelfverklarend.

[bewerken] Kinetische energie - Behoud van impulsmoment

[bewerken] Kinetische energie

In het algemeen geldt:

$E_{kin} = (\vec \omega \cdot \vec L)/2 = \frac{1}{2}\left[ {\begin{matrix} \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ \end{matrix}} \right]\left[ {\begin{matrix} L_x \\ L_y \\ L_z \\ \end{matrix}} \right]$

In functie van de traagheidstensor kan men schrijven:

$E_{kin} = (\vec \omega^T I \vec\omega)/2$

Wanneer de traagheidstensor gediagonaliseerd is, wordt dit eenvoudig:

$E_{kin} = \frac{1}{2}(I_{xx}\omega_x^2 + I_{yy}\omega_y^2 + I_{zz}\omega_z^2)$

Afleiding

$E_{kin} = \frac{1}{2}\sum m_i v_i^2 = \frac{1}{2}\sum m_i\vec v_i \cdot \vec v_i = \frac{1}{2}\sum m_i\vec v_i \cdot(\vec \omega \times \vec r_i)$

Men past nu cyclische permutatie toe op het "triple product" en brengt ω voor het somteken:

$E_{kin} = \frac{1}{2}\sum m_i \vec \omega \cdot (\vec r_i \times \vec v_i) = \frac{\vec \omega }{2}\cdot \sum (\vec r_i \times m_i \vec v_i) = \frac{\vec \omega\cdot \vec L}{2}$

Voor een vrij bewegend voorwerp zal men opnieuw beroep moeten doen op de (2e) stelling van König (zie hoger massacentrum en energie):

E_kin = kinetische energie van de translatie van het massacentrum (met totale massa) + kinetische energie van rotatie rond een as door het massacentrum.

Men kan dit nu eens toepassen voor de kinetische energie van de draaiende balk, die hoger gebruikt werd als voorbeeld bij hoofdtraagheidsassen en waarvan het impulsmoment berekend werd in een hoofdtraagheidsassenkruis en in een niet-hoofdtraagheidsassenkruis.

Voor het hoofdtraagheidsassenkruis in het massacentrum moet men dus opschrijven:

$E_{kin} = \frac{mv_c^2}{2} + \frac{I_{zz}\omega^2}{2} = \frac{m}{2}(\frac{b}{2}\omega^)2 + \frac{m}{24}(b^2 + d^2)\omega^2 = m\omega^2(\frac{b^2}{6} + \frac{d^2}{24})$

Voor het assenkruis in het punt linksonder:

$E_{kin} = \frac{1}{2}[0\ 0\ \omega]\left[ {\begin{matrix}0 \\{-\frac{mhb\omega}{4}} \\ {m\omega (\frac {b^2}{3} + \frac {d^2}{12}) } \end{matrix}} \right] = m\omega^2(\frac{b^2}{6} + \frac{d^2}{24})$

[bewerken] Behoud van impulsmoment

Wanneer er geen uitwendige momenten op een voorwerp werken, dan kan het impulsmoment van dat voorwerp zich niet wijzigen (basisformule!). Er geldt dan een behoud van impulsmoment. De basisformule is echter een vectoriële wet en dan kunnen er soms geen uitwendige momenten zijn t.o.v. één bepaald richting. Dan geldt er een behoud van het impulsmoment t.o.v. die richting (of: van de projectie van het impulsmoment op die richting).

In de dagelijkse werkelijkheid ondervinden alle voorwerpen een aantrekkingskracht van de aarde. Verticale krachten hebben echter geen moment t.o.v. een verticale as. Er bestaat dan ook een vrij spectaculaire proef i.v.m. het behoud van impulsmoment in verticale richting. De proef is ook in verschillende "exploratoria" aanwezig.

De proef gebruikt een persoon die plaats neemt op een stoel (of plateau) die gemakkelijk kan draaien rond een verticale as (een geperfectionneerde bureaustoel). Men geeft aan de persoon een wiel, met een as met 2 stevige handvatten. Soms wordt een fietswiel gebruikt waarvan de velg met lood gevuld is om een groter traagheidsmoment te bekomen. De persoon houdt de as eerst horizontaal en men brengt het wiel vrij snel aan het draaien. Dan vraagt men de persoon om de as verticaal te brengen. Tot zijn grote verbazing zal hij in tegengestelde zin van het wiel beginnen draaien. Brengt hij de as weer horizontaal dan stopt hij. Draait hij de as in de ander richting naar de verticale stand, dan draait hij in de andere richting.

Verklaring

De enige uitwendige krachten die op de persoon en het wiel werken zijn aantrekkingskrachten van de aarde. Dat zijn verticale krachten en ze hebben dus geen moment t.o.v. de verticale as van de stoel. Ze kunnen m.a.w. geen rotatie rond de as op gang brengen of die rotatie op enige manier beïnvloeden. Bij het begin van de proef is het impulsmoment volgens een verticale gelijk 0: de persoon draait niet en het wiel heeft een horizontaal impulsmoment. De som van het impulsmoment van de persoon en de verticale component van het impulsmoment van het wiel, berekend t.o.v. de as van de stoel, moet dus steeds 0 blijven. Daarom gaat de persoon, met het wiel in de handen, in tegenovergestelde richting van het wiel beginnen draaien. Een kort Quicktime filmpje over deze proef kan men vinden op Behoud van Impulsmoment

Het mechanisme hierachter is vrij eenvoudig. Uit het gedeelte over het gyroscopisch effect weet men dat er een verticaal moment moet uitgeoefend worden op het wiel om de as ervan rond een horizontale as te laten kantelen. De persoon ondervindt de reactie van het moment dat hij op het wiel uitoefent en begint daardoor zelf te draaien.

Om te berekenen hoe snel de man zal draaien, heeft men het impulsmoment van het fietswiel t.o.v. de as van de stoel nodig. Hiervoor moet men beroep doen op de formule dat voor een vrij bewegend voorwerp geldt:

$\vec{L} = \vec{J} + \vec{S}$

met

$\vec{J}$ = baanimpulsmoment, d.i. impulsmoment van het massacentrum, waaraan men de totale massa van het voorwerp toekent;

$\vec{S}$ = impulsmoment t.o.v. een as door het massacentrum (S van "spin"). Hierbij moet gerekend worden met de absolute rotatie.

Zij hier:

I_w : traagheidsmoment van het wiel t.o.v. zijn as

ω_w : hoeksnelheid van het wiel (bij het begin)

m_w : totale massa van het wiel

I_m : traagheidsmoment van man+stoel t.o.v. de as van de stoel

ω_m : hoeksnelheid van man+stoel

d = afstand tussen as van het wiel (in verticale stand) en as van de stoel

De snelheid van met massacentrum is natuurlijk d.ω_m .

Als de man de as van het fietswiel verticaal heeft moet dus gelden, na projectie op de verticale:

I w .ω w = (m w . d 2 + I m)ω m

[bewerken] Een complexer voorbeeld

[bewerken] De momentenvergelijkingen

Als volgend voorbeeld wordt een schijf beschouwd die slingerend opgehangen is aan de rand ervan. Het geheel draait echter rond met een contante hoeksnelheid ω₁.

Oplossing
Men voert een rechtsdraaiend assenkruis in dat een hoofdtraagheidsassenkruis is en waarvan de oorsprong stil staat. Om de positie van de schijf weer te geven moet men ook een hoek θ invoeren. Er zijn vele mogelijkheden om die te definiëren. Best werkt men van een as naar een bepaalde lijn, hier van de x-as naar de verticale. In eerste instantie wordt de hoeksnelheid van de schijf rond de as AB als ω₂ aangeduid. Het verband met de afgeleide van θ wordt later bepaald.

De totale hoeksnelheid van de schijf:

$\vec{\omega} = \vec{\omega}_1 + \vec{\omega}_2 = (-\omega_1\cos\theta)\vec i + (\omega_1\sin\theta)\vec j + (\omega_2)\vec k$

De impulsmomentvector L wordt dan:

$\vec L = \begin{vmatrix} I_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \end{vmatrix} . \begin{vmatrix} -\omega_1\cos\theta \\ \omega_1\sin\theta \\ \omega_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -I_{xx}\omega_1\cos\theta \\ I_{yy}\omega_1\sin\theta \\ I_{zz}\omega_2 \end{vmatrix}$

Het is duidelijk dat de projecties van ω₁ voortdurend veranderen. In de formules komt dit tot uiting in het feit dat θ een functie is van de tijd. Er bestaan dus afgeleiden van de impulsmomentvector binnen het bewegend assenkruis:

$\frac{d\vec L}{dt}|_{rel} = \frac{d}{dt}\begin{vmatrix} -I_{xx}\omega_1\cos\theta \\ I_{yy}\omega_1\sin\theta \\ I_{zz}\omega_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} I_{xx}\omega_1\sin\theta.\dot{\theta} \\ I_{yy}\omega_1\cos\theta.\dot{\theta} \\ I_{zz}\dot{\omega}_2 \end{vmatrix}$

Het is duidelijk dat de grootte van de afgeleide van θ overeenkomt met de grootte van ω₂, maar niet noodzakelijk het teken. Dit laatste hangt af van de manier waarop θ gedefinieerd werd. Als θ hier toeneemt, dan krijgt men een rotatie in de zin van de positieve ω₂. In dit geval kan men dus ω₂ overal vervangen door $\dot{\theta}$ om niet te veel onbekenden te hebben.

Om de absolute afgeleide van L te bekomen moet men nog de sleepverandering toevoegen:

$\vec\omega \times \vec L = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -\omega_1\cos\theta & \omega_1\sin\theta & \dot{\theta} \\ -I_{xx}\omega_1\cos\theta & I_{yy}\omega_1\sin\theta & I_{zz}\dot{\theta} \end{vmatrix}$

$= [(I_{zz} - I_{yy})\sin\theta.\omega_1.\dot{\theta}] \vec i + [(I_{zz} - I_{xx})\cos\theta.\omega_1.\dot{\theta}] \vec j + [(I_{xx} - I_{yy})\sin\theta.\cos\theta.\omega_1^2] \vec k$

De traagheidsmomenten (met r de straal en m de massa van de schijf):
I_xx = mr²/4 (uit de tabellen)
I_yy = mr²/4 + mr² = 5mr²/4 (als vorige + Steiner)
I_zz = mr²/2 + mr² = 3mr²/2 (tabel + Steiner)

Hiermede kan men nu de absolute afgeleide van L berekenen:

$\frac{d\vec{L}}{dt} |_{abs} = \frac{d\vec{L}}{dt} |_{rel} \; + \; \vec{\omega} \times \vec{L}$

x-component: $(I_{xx} + I_{zz} - I_{yy}) \sin\theta.\omega_1.\dot{\theta} = \frac{1}{2}mr^2\sin\theta.\omega_1.\dot{\theta}$

y-component: $(I_{yy} + I_{zz} - I_{xx}) \cos\theta.\omega_1.\dot{\theta} = \frac{5}{2}mr^2\cos\theta.\omega_1.\dot{\theta}$

z-component: $\frac{3mr^2}{2} \ddot\theta + (I_{xx} - I_{yy}) \sin\theta.\cos\theta.\omega_1^2 = \frac{3mr^2}{2} \ddot\theta - mr^2\sin\theta.\cos\theta.\omega_1^2$

De laatste term in de z-component kan men interpreteren als een middelpuntvliedende kracht, een zogenaamde traagheidsreactie (zie: Aanvullingen: Traagheidskrachten). Bij een gegeven θ beschrijft het massacentrum van de schijf een cirkel rond de vertikale met straal r.sinθ. Daarbij hoort een normale versnelling r.sinθ.ω₁². Voor iemand binnen het roterend systeem lijkt het alsof er een naar buiten werkende kracht gelijk aan m.a_n werkt. T.o.v. de z-as heeft deze kracht een moment dat gelijk is aan r.cosθ.m.a_n. Het is echter eerder toevallig dat deze traagheidskracht in het massacentrum schijnt aan te grijpen. Dit moment is immers het resultaat van de som van de momenten van alle elementaire traagheidskrachten die op elk punt van de schijf aangrijpen, en die worden groter naarmate men zich van de as verwijdert.

Het merkwaardige aan deze term is echter dat hij verdwijnt als I_xx = I_yy. Dat is het geval bij een halve schijf. Daar het traagheidsmoment een kwadratische functie is van de afstand tot de as, maakt het geen verschil uit of de twee kwartcirkelsegmenten aan dezelfde of tegenstelde zijden van de as liggen. De frequentie waarmede deze halve schijf slingert wordt dus niet beïnvloed door ω₁!

Om de volledige momentenvergelijkingen te kunnen opstellen moeten nu nog nog de momenten van de krachten berekend worden. Er zijn drie krachten: het gewicht en de reactiekrachten in A en B. Deze onbekende reactiekrachten worden beschreven met componenten volgens de assen. Volgens de z-as is er alleen een component in A en niet in B, anders wordt het syteem hyperstatisch. Men moet er wel aan denken dat, als de oplossing een constante component zou opleveren, dit betekent dat die component constant is in grootte maar mee beweegt met het assenkruis. De volledige momentenvergelijking geeft dan in projecties het volgende stelsel van 3 vergelijkingen:

$\frac{AB}{2}(Y_B - Y_A) \;=\;\frac{1}{2}mr^2\sin\theta.\omega_1.\dot{\theta}$

$\frac{AB}{2}(X_A - X_B) \;=\;\frac{5}{2}mr^2\cos\theta.\omega_1.\dot{\theta}$ Stelsel I

$-mgr\sin\theta \;=\; \frac{3mr^2}{2}\ddot{\theta} - mr^2 \sin\theta. \cos\theta. \omega_1^2$

De laatste vergelijking bepaalt het slingeren van de schijf. Ze kan vereenvoudigd worden tot:

$\ddot{\theta} - \frac{2\sin\theta}{3}(\omega_1^2 \cos\theta. - \frac{g}{r}) \;=\;0$

Als men alleen in deze beweging geïnteresseerd is, dan zou deze vergelijking veel sneller en efficiënter kunnen bekomen worden met de methode van Lagrange Het is er uitgewerkt als derde voorbeeld. Als men de schijf loslaat met θ = 0 en in rust, dan gebeurt er niets. Als men de schijf loslaat met een relatieve beginsnelheid en/of bij een hoek θ > 0, dan zal de schijf beginnen slingeren. Daar niet alleen het moment van het gewicht speelt, maar ook iets dat men als een middelpuntvliedende kracht kan interpreteren, is de beweging zeker geen harmonische trilling. Men ziet dit duidelijk in de grafiek hieronder.

grafie van slingerende schijf op ddraaiend plateau

Indien er enige demping in het systeem aanwezig is, zal het naar een evenwichtstoestand gaan met relatieve hoekversnelling en hoeksnelheid = 0 en dus

$g\sin\theta \;=\; r\sin\theta.\cos\theta.\omega_1^2$

Voor een beginsituatie met θ verschillend van 0 leidt dit tot de uitdrukking:

$\cos\theta = g/(r\omega_1^2)$

Voor kleine ω₁ levert dit een uitdrukking die groter is dan 1. Voor die waarden zal het systeem evolueren naar θ = 0 en voor die positie is de bovenstaande afleiding niet geldig. Er is dus een minimun ω₁ nodig vóór de schijf een schuine stand zal aannemen. Dit komt doordat de middelpuntvliedende kracht niet constant is, maar zelf functie is van θ. Men kan dit duidelijk zien in de grafieken hiernaast, waarin de coëfficiënt van sin(x)*cos(x) overeenkomt met r.ω₁²/g. Men ziet duidelijk dat deze coëfficiënt groter moet zijn dan 1 vooraleer er een snijpunt in het interval 0<x<90° mogelijk is (de x-as is in radialen, 90° = 1,57 rad). Dat snijpunt zal ook altijd vallen vóór x=1,57 rad (=90°) want voor die waarde gaat sin(x) naar 1 terwijl sin(x)*cos(x) er een nulpunt heeft.

[bewerken] Deel II: de wet van Newton

versnelling van massacentrum bij slingerende schijf

Voor een volledige beschrijving van het syteem moet men nog de wet van Newton toepassen op de beweging van het massacentrum met daarin de totale massa van de schijf. Voor de versnelling van het massacentrum zal men moeten beroep doen op de volledige uitdrukking van de versnelling in een roterend systeem met een sleep-, relatieve en complementaire versnelling:

$\vec a_a = \vec a_s + \vec a_r + \vec a_c$

De sleepversnelling bestaat hier alleen. uit een normale versnelling daar ω₁ constant is:

$\vec a_s = r\sin\theta \omega_1^2( -\sin\theta\vec i -\cos\theta \vec j)$

De relatieve versnelling heeft een normale en een tangentiële component:

$\vec a_r = r\dot{\theta}^2\vec i + r\ddot{\theta}\vec j$

voor de complementaire versnelling is de relatieve snelheid nodig:

$\vec v_r = r\dot{\theta} \vec j$
Hiermede wordt de complementaire versnelling:

$2\vec\omega \times \vec v_r = 2 \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -\omega_1\cos\theta & \omega_1\sin\theta & 0 \\ 0 & r\dot{\theta} & 0 \end{vmatrix} = -2r\cos\theta.\omega_1.\dot{\theta} \vec k$

Alles bij elkaar krijgt men voor de Wet van Newton toegepast op het masscentrum:

$X_A + X_B + mg\cos\theta = -mr(\sin^2\theta. \omega_1^2 + \dot{\theta}^2)$

$Y_A + Y_B - mg\sin\theta = -mr(\sin\theta\cos\theta.\omega_1^2 + \ddot{\theta})$ Stelsel II

$Z_A = -2mr\cos\theta.\omega_1.\dot{\theta}$

Deze 3 vergelijkingen vormen samen met het stelsel I de volledige beschrijving van de beweging en alle krachten die erbij optreden

Kinetische energie
De kinetische energie word tin volgende sectie besproken. Ze wordt hier uitgerekend ter controle voor de volgende aanpak.

$E_{kin} = \frac{1}{2}(I_{xx}\omega_x^2 + I_{yy}\omega_y^2 + I_{zz}\omega_z^2)$

$= \frac{mr^2}{2}(\frac{1}{4}\cos^2\theta.\omega_1^2 + \frac{5}{4}\sin^2\theta.\omega_1^2 + \frac{3}{2}\dot{\theta}^2)$

$= \frac{mr^2}{2}(\frac{\omega_1^2}{4} + \sin^2\theta.\omega_1^2 + \frac{3}{2}\dot{\theta}^2)$

[bewerken] Alternatieve oplossing

slingerende schijf met translerend assenkruis

Een schijf is een rotatiesymmetrisch voorwerp. Bij de bovenstaande oplossing werd dit niet uitgespeeld. Als men deze eigenschap wel wil benutten, moet men een translerend assenkruis invoeren met oorsprong in het middelpunt van de schijf. "Translerend" betekent dus dat de x- en y-as horizontaal en vertikaal blijven. Men vindt nu voor de verschillende grootheden:

$\vec \omega = (0,\omega_1, \dot{\theta})$

$\vec L = (0,I_{yy}\omega_1, I_{zz}\dot{\theta})$

De rotatie van het asenkruis bestaat nu alleen uit ω₁:

$\frac{d\vec{L}}{dt} |_{abs} = \frac{d\vec{L}}{dt} |_{rel} \; + \; \vec{\omega_1} \times \vec{L}$

$= (0,0,I_{zz}\ddot{\theta}) + \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & \omega_1 & 0 \\ 0 & I_{yy}\omega_1 & I_{zz}\dot{\theta} \end{vmatrix}$

$= I_{zz}\ddot{\theta} \vec k + I_{zz}\omega_1\dot{\theta} \vec i$

Dit is een bijzonder eenvoudige uitdrukking die weinig gelijkenissen vertoont met de vorige berekening. Om aan te tonen dat de beide voorstellingen wel equivalent zijn kan men ook hier de kinetische energie berekenen. Men moet nu wel rekenen volgens de formule van König (zie Massacentrum en energie. Deze formule kan hier geschreven worden als:

$E_k\;=\; \frac{mv_C^2}{2} + \frac{1}{2}( I_{yy}\omega_1^2 + I_{zz}\dot{\theta}^2)$

De snelheid van het massacentrum bestaat uit een sleepsnelheid en een relatieve snelheid. Deze laatste heeft nu 2 componenten:

$\vec v_C = r\dot{\theta}\cos\theta \vec i + r\dot{\theta}\sin\theta \vec j + r\sin\theta.\omega_1 \vec k$

Dit is een ontbinding in een orthogonaal assenkruis. Dus:

$v_C^2 = \sum v_{C,i}^2 = r^2\dot{\theta}^2\cos^2\theta + r^2\dot{\theta}^2\sin^2\theta + r^2\sin^2\theta.\omega_1^2$

$= r^2\dot{\theta}^2 + r^2\sin^2\theta.\omega_1^2$

De traagheidsmomenten:

I_xx = I_yy = mr²/4
I_zz = mr²/2

Hiermede wordt de kinetische energie:

$E_k\;=\; \frac{mr^2}{2}(\dot{\theta}^2 + \sin^2\theta.\omega_1^2 + \frac{\omega_1^2}{4} + \frac{\dot{\theta}^2}{2})$

$= \frac{mr^2}{2}(\frac{3\dot{\theta}^2}{2} + \frac{\omega_1^2}{4} + \sin^2\theta.\omega_1^2)$

... en dit is precies wat men hoger ook gevonden heeft.

Voor het berekenen van de momenten van de krachten worden eerst de coördinaten van de aangrijpingspunten bepaald:

voor A (-rsinθ, rcosθ, AB/2)
voor B (-rsinθ, rcosθ, -AB/2)

Het gewicht heeft nu als componenten: G(0,-mg,0). Hiermede bekomt men voor de momentenvergelijkingen het volgende stelsel:

$(r\cos\theta Z_A - \frac{AB}{2}Y_A) + \frac{AB}{2}Y_B = I_{zz}\omega_1\dot{\theta}$

$(\frac{AB}{2}X_A + r\sin\theta Z_A) - \frac{AB}{2}X_B = 0$

$-r\sin\theta Y_A - r\cos\theta X_A - r\sin\theta Y_B - r\cos\theta X_B = I_{zz}\ddot{\theta}$

De laatste vergelijking schijnt niet veel gelijkenissen te vertonen met de vorige z-component van de momentenvergelijking. Er zal verder nochtans aangetoond worden dat ze daarnaar kan herleid worden.

Om de vergelijkingen van de wet van Newton te kunnen opschrijven, moet men de versnelling projecteren in het huidige assenkruis:

$\vec a_{sn} = -r\sin\theta.\omega_1^2 \vec i$

$\vec a_r = \vec a_{rn} + \vec a_{rt} = r\dot{\theta}^2(-\sin\theta \vec i + \cos\theta \vec j) + r\ddot{\theta}(\cos\theta \vec i + \sin\theta \vec j)$

$\vec v_r = r\dot{\theta}(\cos\theta \vec i + \sin\theta \vec j)$

$a_c = 2\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & \omega_1 & 0 \\ r\dot{\theta}\cos\theta & r\dot{\theta}\sin\theta & 0 \end{vmatrix} = -2r \cos\theta \omega_1\dot{\theta} \vec k$

Hiermede leidt de Wet van Newton tot het volgende stelsel:

$\sum{X_i} = X_A + X_B = mr(-\sin\theta.\omega_1^2 - \sin\theta\dot{\theta}^2 + \cos\theta \ddot{\theta})$

$\sum{Y_i}= Y_A + Y_B - G = mr(\cos\theta\dot{\theta}^2 + \sin\theta\ddot{\theta})$

$\sum{Z_i}= Z_A = -2mr\cos\theta \omega_1\dot{\theta}$

Om de z-component van de momentenvergelijking te herleiden tot de uitdrukking van de vorige oplossing, wordt die herschreven als:

$-r\sin\theta (Y_A + Y_B) - r\cos\theta (X_A + X_B) = \frac{mr^2}2{}\ddot{\theta}$

Hierin kan men nu gemakkelijk de uitdrukkingen voor X_A+X_B en Y_A+Y_B uit de vergelijkingen van Newton substitueren. Na een halve bladzijde rekenen zal men vaststellen dat men op de vorige uitdrukking voor de z-component uitkomt.

In deze benadering komt er nergens een hint dat een halve schijf een speciaal gedrag vertoont. Dat kan ook moeilijk want een halve schijf is geen rotatiesymmetrisch voorwerp en kan dus met deze aanpak niet behandeld worden.

[bewerken] Aanvulling: de hoeken van Euler

De eerste studies van de algemene rotatie waren vooral gewijd aan het verklaren van de bewegingen van een tol. Euler leverde hierbij belangrijk werk door te bewijzen dat elke willekeurige rotatie kan geschreven worden als de som van drie rotaties die door één punt passeren. Deze worden gedefinieerd via de hoeken van Euler. Spijtig genoeg zijn de benamingen en de definities van deze niet uniform bij de verschillende auteurs. Daarom moet men steeds goed uitkijken welke definitie in een bepaald werk gevolgd wordt. Voor een uitvoerige bespreking kan men opnieuw terecht bij http://mathworld.wolfram.com/EulerAngles.html . De methode die hier hierboven gevolgd werd voor het analyseren van de willekeurige rotatie en die steunt op matrixrekenen, is recenter en biedt een veel grotere vrijheid bij het behandelen van een probleem.

Bij de rotatie van een star lichaam werkt men met een assenkruis dat vast verbonden is aan het voorwerp. Als dit voorwerp een vast punt heeft maar voor de rest voortdurend van oriëntatie verandert, zoals meestal het geval is bij een tol, dan bieden de hoeken van Euler een mogelijkheid om de positie van het referentiesysteem eenduidig te bepalen. Men vertrekt daarbij van een klassiek rechtsdraaiend cartesisch assenkruis (x,y,z). Van hieruit gaat men over naar een tweede assenkruis door een rotatie over een hoek φ rond de z-as. Dit levert het assen kruis (x',y',z). Door een rotatie rond de x'-as over een hoek θ gaat men over naar het assenkruis (x',y",z"). Door een rotatie over een hoek ψ rond de z"-as gaat men uiteindelijk over naar het actuele assenkruis (X,Y,Z).

Wanneer deze drie hoeken veranderen in de tijd, krijgt men de rotatie van het voorwerp beschreven als de som van deze drie rotaties. Men moet in de praktijk de projecties ervan in het laatste assenkruis hebben. Deze projecties zijn gemakkelijk te volgen op de figuur. Het meest ingewikkelde geval is de projectie van $\dot{\varphi}$ , de rotatie rond de oorspronkelijke z-as. Het is duidelijk dat de projectie op de Z-as gegeven is door te vermenigvuldigen met cos θ. De projectie aan de andere zijde van de oorspronkelijke z-as, door te vermenigvuldigen met sin θ, valt op de y"-as en moet dan nogmaals geprojecteerd worden op de X-as en Y-as. Projectie op deze assen vraagt een vermenigvuldigen met resp. sin ψ en cos ψ. Men krijgt dus:

$\dot{\varphi}\vec u_z = \dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi\vec u_X + \dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi\vec u_Y + \dot{\varphi}\cos\theta\vec u_Z$
$\dot{\theta}\vec u_{x'} = \dot{\theta}\cos\psi\vec u_X - \dot{\theta}\sin\psi\vec u_Y$

Alles samen krijgt men in het nieuwe assenkruis:

$\vec \omega = (\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi)\vec u_X + (\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi - \dot{\theta}\sin\psi)\vec u_Y + (\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})\vec u_Z$

De verschillende snelheden hebben een fysische betekenis bij de beweging van een tol of een hemellichaam, zoals bv. onze aarde. De rotatie rond de Z-as is bij de aarde verantwoordelijk voor dag en nacht. Bij een rotatiesymmetrisch voorwerp noemt men dit de spin of spilomwenteling. Wanneer de Z-as helt t.o.v. de oorspronkelijke z-as en er is alleen een $\dot{\varphi}$ , dan beschrijft de top van de Z-as een cirkel rond de z-as. Dit noemt men de precessie. Een verandering van de hoek θ zorgt voor een nutatie (= knikken). Deze beweging treedt normaal zeer sterk op wanneer een tol zijn snelheid verliest. Meestal is er eerst een zuivere precessie, waarbij de eigen as van de tol rond een verticale draait. Hierbij beschrijft de top van de Z-as een cirkel rond de z-as. Daarna begint de hoek met deze verticale regelmatig groter en kleiner te worden, met een steeds grotere amplitude. Dit is de nutatie. Dan beschrijft de top van de Z-as een golvende lijn ronde z-as.

[bewerken] Gyratiestraal - Traagheidsellipsoïde

Soms wordt een traagheidsmomenten ook gespecificeerd m.b.v. een gyratiestraal. De gyratiestraal is de straal van de cirkel waarop alle massa zich zou moeten bevinden om het gegeven traagheidsmoment t.o.v. een as te hebben. Als de totale massa van een voorwerp m is, het traagheidsmoment volgens een bepaalde as I, dan is de gyratiestraal R bepaald door:

mR² = I

De traagheidstensor I kan gevisualiseerd worden als een ellispoïde. Een ellipsoïde is het omwentelingslichaam dat ontstaat als men een ellips rond een hoofdas laat wentelen.

De standaardvorm van de vergelijking is:

${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1$

waarbij a, b en c de helft is van de lengte van de as voglens x, yen z. In de figuur is dit 4, 2 en 1.

De traagheidstensor I kan nu gevisualiseerd worden als een ellipsoïde met de vergelijking:

$[x\ y\ z][\mathrm{I}(3x3)]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right] = 1$

Deze ellipsoïde heeft de eigenschap dat de symmetrieassen van de ellisoïde samenvallen met de hoofdtraagheidsassen. Verder blijkt dat het kwadraat van de afstand van het centrum C tot een punt P op het oppervlak omgekeerd evenredig is met het traagheidsmoment volgens de richting van CP. Om dit aan te tonen wordt gesteund op het feit dat de traagheidstensor het traagheidsmoment volgens een bepaalde as door de oorsprong levert als men eenheidsvector $\vec{u}(u_x, u_y, u_z)$ volgens die as gebruikt voor de volgende bewerking:

$I_u = [u_x\ u_y\ u_z][\mathrm{I}(3x3)]\left[\begin{matrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{matrix}\right]$

De positievector CP van C naar P kan dan geschreven worden als het product van de lengte CP met een eenheidsvector volgens CP:

$\vec{CP} = CP.\vec{u}_{CP}$

Vult men deze vector in in de vergelijking van de ellipsoïde dan krijgt men:

$CP^2.I_u = 1\ \mathrm{of}\ I_u = \frac{1}{CP^2}$

Bemerk dus wel dat het grootste traagheidsmoment overeenkomt met de kleinste as van de ellipsoïde. Ook zal de ellipsoïde van vorm veranderen zodra men een ander punt van het voorwerp als oorsprong neemt.

Vroeger definieerde men deze traagheidsellipsoïde door te vertrekken van deze eigenschap, nl. door ze te definiëren als een ellipsoïde zodat de afstand van het middelpunt tot een punt op het oppervlak omgekeerd evenredig is met het de vierkantswortel uit het traagheidsmoment volgens die richting.

Klassieke Mechanica/Voorwerpendynamica-2