Uit Wikibooks

Basisbegrippen
Equivalente vectorsystemen
Statica I: vectoriële methode
Statica II: Methode van de virtuele arbeid
Kinematica
Kinematica-2: bewegende referentiesystemen
Kinematica-3: Aanvullingen
Elementaire dynamica
Dynamica van voorwerpen I
Dynamica van voorwerpen II
Methode van Lagrange
Aanvullingen: Wrijving
Aanvullingen: Traagheidskrachten
Aanvullingen: Botsingen
Aanvullingen: Centrale kracht, planetenbanen

Inhoud

1 Inleiding
2 Evenwicht van een enkelvoudig onvervormbaar voorwerp
- 2.1 De evenwichtsvoorwaarde
- 2.2 Praktische uitwerking
  - 2.2.1 Voorbeeld
3 Vrijheidsgraden en verbindingen
- 3.1 Ideale staaf
- 3.2 Strikte evenwichtsvoorwaarden
4 Isostatisch, hyperstatisch en hypostatisch systeem
- 4.1 Voorbeelden
5 Evenwicht van samengestelde voorwerpen
6 Vakwerken
- 6.1 Berekening

[bewerken] Inleiding

De statica is de studie van de voorwaarden die nodig zijn opdat een voorwerp of een structuur in rust zou blijven. Voor een onvervormbaar voorwerp is vereist dat de versnelling en de hoekversnelling van het voorwerp beide nul zijn. Het is in feite een speciaal geval van de wet van Newton en de rotatiewet). Men kan deze voorwaarden formuleren als:

$\sum_i \vec{F_i}\,=\,0$
$\sum_i \vec{r}_{Pi}\times\vec{F_i}\,=\,0$

met $\vec{F_i}$ de op het voorwerp of de structuur werkende krachten, P een willekeurig stilstaand punt (zie infra) en $\vec{r}_{Pi}$ de positievector van P naar het aangrijpingspunt van de kracht $\vec{F_i}$ .

Dit is de vectoriële benadering. Voor een driedimensioneel systeem komen beide vectoriële vergelijkingen overeen met drie scalaire vergelijkingen. Bij een tweedimensioneel systeem leidt de eerste voorwaarde tot twee scalaire vergelijkingen. De momenten liggen dan allen volgens een as loodrecht op het vlak van de krachten en de posities. De momentenvoorwaarde leidt dan tot één scalaire vergelijking. Het tweedimensonele geval is dus veel eenvoudiger dan het driedimensionele. Bij een samengesteld systeem kan men met deze aanpak alle inwendige krachten tussen de onderdelen uitrekenen. Daarvoor moet het systeem opgesplitst worden in zijn onderdelen en moeten de evenwichtsvergelijkingen voor elk onderdeel opgeschreven worden.

Er is echter ook een andere benadering mogelijk. Deze vertrekt van de idee dat een versnelling van het systeem ook een toename of afname van de kinetische energie betekent. Dat kan alleen via een toevoer of afvoer van energie door de aangrijpende krachten. Geen versnelling betekent dus geen toevoer of afname van energie. Deze benadering leidt tot de methode van de virtuele arbeid. De energievergelijkingen zijn scalaire vergelijkingen. Daarom wordt deze methode soms de scalaire methode genoemd.

Met deze methode kunnen maar een beperkt aantal uitwendige krachten berekend worden. Ze is echter bijzonder geschikt om bij een complex mechanisme een verband te leggen tussen krachten op twee of meer punten van het systeem. Bij deze methode wordt het systeem een beetje bekeken als een black box. Men oefent er op één plaats een kracht op uit en de methode laat toe uit te rekenen welke kracht men op een andere plaats moet uitoefenen voor evenwicht, zonder dat men alle inwendige krachten moet berekenen. Zie b.v. het voorbeeld van de ruitvormige krik aan het einde het betrokken hoofdstuk. Ook laat de methode toe op een meer automatische manier de evenwichtsvergelijkingen op te stellen. Ze vormt de aanloop naar de methode van Lagrange, die de dynamische situatie (met lineaire en hoekversnelling) zal behandelen.

[bewerken] Evenwicht van een enkelvoudig onvervormbaar voorwerp

[bewerken] De evenwichtsvoorwaarde

De beweging van een onvervormbaar voorwerp kan altijd beschreven worden als een beweging van het massacentrum en een beweging t.o.v. het massacentrum. Voor een onvervormbaar voorwerp kan deze laatste beweging alleen maar een rotatie zijn. Een onvervormbaar voorwerp zal in rust zijn als het massacentrum niet beweegt en er geen rotatie is rond het massacentrum. Als er geen krachten werken op een voorwerp, dan zal het massacentrum zijn bewegingstoestand behouden, d.i. het zal in rust blijven of rechtlijnig verder bewegen met constante snelheid. Iets analoogs geldt voor de rotatiebeweging. De voorwaarden die men formuleert opdat een voorwerp in rust zou blijven onderstellen in feite dat het voorwerp bij het aangrijpen van de gegeven krachten in rust is en zonder rotatie. In het hoofdstuk over de dynamica van voorwerpen wordt aangetoond dat

$\sum_i \vec{F_i}\,=\,0$ nodig is opdat het massacentrum geen versnelling zou krijgen en het voorwerp dus in rust zou blijven;
$\sum_i \vec{r}_{Ci}\times\vec{F_i}\,=\,0$ nodig is opdat het voorwerp geen hoekversnelling rond een as door het massacentrum zou krijgen en dus niet in rotatie zou komen. Hierbij is $\vec{r}_{Ci}$ de positievector van het aangrijpingspunt van de i-de kracht t.o.v. het massacentrum.

Wanneer het voorwerp in rust is, dan is het massacentrum een stilstaand punt. Als men het moment van de krachten uitrekent t.o.v. een ander stilstaand punt P, dan bestaat er een verband tussen beide momenten dat gegeven wordt door de verplaatsingsformule:
$\vec{\mu_P} = \vec{\mu_C} + \vec{PC}\times\sum_i{\vec{F_i}}$
Bij rust eist men echter dat de som van de krachten = 0 is, zodat het moment van alle krachten hetzelfde zal zijn t.o.v. om het even welk punt. Men kan dit moment dus ook uitrekenen t.o.v. de oorsprong van het assenkruis en men mag deze oorsprong om het even waar nemen. Meestal wordt de evenwichtsvoorwaarde dan ook geformuleerd als:

$\quad \sum_i \vec{F_i}\,=\,0$
$\quad \vec{\mu_o} = \sum_i\vec{r_i}\times\vec{F_i}\,=\,0$

[bewerken] Praktische uitwerking

Het kan goed zijn om eens de tekst te herlezen over het vectorieel product en over de manieren om een moment uit te rekenen in het eerste hoofdstuk, in de topic Elementaire bewerkingen met vectoren.

In de praktijk moet men deze vergelijkingen projecteren op assen vooraleer men getallen kan invullen. Voor een driedimensioneel probleem levert elke voorwaarde 3 scalaire vergelijkingen, b.v. door te projecteren op cartesische assen. De componenten van de kracht F_i worden daarbij geschreven met hoofdletters als X_i, Y_i en Z_i en de coördinaten van het aangrijpingspunt met kleine letters als x_i, y_i en z_i. Men krijgt dan:
- som van de krachten = 0 levert:

$\sum{X_i} = 0$

$\sum{Y_i} = 0$

$\sum{Z_i} = 0$

- som van de momenten = 0 levert:

$\sum{y_i.Z_i - z_i.Y_i} = 0$

$\sum{z_i.X_i - x_i.Z_i} = 0$

$\sum{x_i.Y_i - y_i.X_i} = 0$

Voor een tweedimensioneel probleem blijven er maar 3 vergelijkingen over:

$\sum{X_i} = 0$
$\sum{Y_i} = 0$

$\sum{x_i.Y_i - y_i.X_i} = 0$

[bewerken] Voorbeeld

Een balk met gewicht G en lengte l is m.b.v. een scharnier en een kabel opgehangen onder een hoek van 30° met de horizontale. De kabel is onder een hoek van 60° met de vertikale gespannen. Bereken de krachten in het scharnier en in de kabel.

Om dit probleem op te lossen moet men de balk bekijken en alle krachten die op de balk werken. Normaal raadt men aan om de balk afzonderlijk te tekenen, los van zijn omgeving. De situatie hier is echter nog eenvoudig genoeg om het bij één figuur te laten.

Uit de beschrijving blijkt dat de driehoek ABC gelijkzijdig is. De kracht in A heeft 2 componenten: X_A en Y_A. De spanning in het touw moet volgens het touw liggen (wordt later nog verklaard). Dit levert een schets op als op de figuur hiernaast. Er blijken 3 onbekenden in het probleem te zitten en men kan ook juist 3 vergelijkingen opschrijven. Het probleem is dus eenduidig bepaald.

De vergelijkingen worden:

X A - S .cos30 o = 0

Y A + S .sin30 o - G = 0

De momentenvergelijking wordt opgeschreven t.o.v. het punt A omdat dan de onbekende krachten in A niet voorkomen in die vergelijking. Men kan zo een vergelijking in één onbekende, nl. S, opstellen, die onmiddellijk kan opgelost worden:

$S.l.\cos 30^o - G.\frac{l}{2}.\cos 30^o = 0$

Uit de laatste vergelijking volgt: S = G/2
Invullen in de vorige vergelijkingen levert:

X_A = $\sqrt{3}G/4$

Y_A = 3G/4

Wanneer er slechts 3 krachten in het spel zijn, dan eist de momentenvergelijking feitelijk dat de dragers van die 3 krachten door één punt gaan. Het gewicht en de spanning S snijden elkaar in het punt D. T.o.v. D hebben zij dus geen moment. Als men de kracht in A niet in componenten uittekent maar als één kracht R_A en men berekent het moment van alle krachten t.o.v. D, dan mag R_A geen moment hebben t.o.v. D opdat de som van alle momenten 0 zou zijn. Ook R_A moet dus door D passeren. Op basis van een klein beetje meetkunde kan men zien dat R_A dan onder een hoek van 30° met de vertikale moet liggen. Men kan controleren dat de oplossing hieraan beantwoordt:

$\arctan \frac{X_A}{Y_A}= \arctan\frac{\sqrt{3}G/4}{3G/4}= \arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=30^o$

De enige mogelijkheid opdat de 3 krachten niet door één punt zouden gaan is dat ze alle drie evenwijdig zijn. Men kan dan stellen dat het snijpunt op oneindig ligt.

[bewerken] Vrijheidsgraden en verbindingen

Een voorwerp waarvan de beweging aan geen enkele beperking onderworpen is, kan een willekeruige translatie en rotatie uitvoeren. Beide kunnen voorgesteld worden door een vector, die in onze reële wereld kan beschreven worden m.b.v. 3 basisvectoren. Men zegt daarom dat een vrij bewegend woorwerp 3 vrijheidsgraden van translatie heeft en 3 vrijheidsgraden van rotatie.

Meestal is elk voorwerp wel ergens in contact met een ander voorwerp. Dat contact belet dan sommige bewegingen, schakelt sommige vrijheidsgraden uit. Wanneer een voorwerp b.v. op het horizontale oppervlak van een tafel moet blijven, dan heeft het nog 2 vrijheidsgraden van translatie. De vrijheid om in vertikale richting te bewegen is weggenomen. Het uitschakelen van die vrijheidsgraad vraagt een kracht vanwege de tafel op het voorwerp. Men noemt dit een verbindingskracht. Meestal worden deze verbindingskrachten ook gezien als reacties die optreden omdat sommige actiekrachten het voorwerp willen laten bewegen in de richting van de verboden vrijheidsgraad (in dit geval is die actiekracht het gewicht). Rotaties kunnen belet worden door een moment.

Opdat men geen overbodige onbekenden zou invoeren is het belangrijk dat men goed weet welke verbindings- of reactiekrachten er horen bij elk type verbinding.

- vrij contact: een punt van het voorwerp wordt verplicht langs een vlak of lijn of in een gleuf te bewegen. De beweging loodrecht op dat vlak of lijn of gleuf is verboden. De verbindingskracht zal loodrecht op dat vlak of lijn of gleuf staan. De richting is dus bekend, alleen de grootte niet. Dit vormt dus 1 onbekende. (Voor de mof: zie verder bij inklemming)

Wanneer een voorwerp op een vlak rust maar er eraf kan genomen worden, dan zal voor evenwicht nog nodig zijn dat de verbindinskracht naar het voorwerp wijst, d.i. een druk is tegen het voorwerp (en het voorwerp drukt dan ook tegen het vlak). Voor een pin in een gleuf zal men normaal onderstellen dat maar één van beide kanten van de gleuf in contact is met de pin en dat dus maar één van beide kanten een druk uitoefent op de pin.

Ook de roloplegging, zoals gebruikelijk in steunpunten van bruggen, is een vorm van vrij contact.

- scharnier. Men moet hier zien wat er door de constructie van het scharnier belet en wat toegelaten wordt. Een klassieke scharnier, zoals bij een deur b.v., laat de rotatie toe rond de as van de scharnieren maar belet elke translatie.

Voor een driedimensioneel probleem zal men 3 verbindingskrachten moeten invoeren en in principe ook 2 momenten. Wanneer een voorwerp met meerdere scharnieren bevestigd is, dan kan men onderstellen dat die momenten geleverd worden door de verbindingskrachten die op een zekere afstand van elkaar aangrijpen. Bij een bolscharnier is er natuulijk alleen een reactiekracht met 3 componenten, omdat een rotatie in elke richting mogelijk blijft.
Voor een twedimensioneel probleem zal men alleen een verbindigskracht met 2 componenten moeten invoeren, zoals in het voorbeeld hierboven. Dit levert dus 2 onbekenden voor de vergelijkingen.

- inklemming: een inklemming belet een translatie en rotatie van het verbindingspunt. Een inklemming onderstelt een zeker contactoppervlak met de omgeving, waardoor de krachten over een zekere afstand ingrijpen en zo een moment kunnen uitoefenen. Voor de eenvoud van de zaak wordt een inklemming meestal als een verbinding in één punt beshouwd en worden de momenten afzonderlijk ingevoerd. In drie dimensies zal men dus een reactiekracht en een moment met telkens 3 componenten moeten invoeren. In twee dimensies wordt dit een reactiekracht met 2 componenten en 1 moment. Die momentvector staat loodrecht op het vlak van de tekening en is dus moeilijk weer te geven. Het wordt daarom meestal aangeduid door een gekromde pijl, die een rotatie suggereert in de richting waarin het moment een rotatie zou verwekken. Hierbij speelt hier de regel van de rechtse schroef. Als het pijltje een rotatie in wijzerzin voorstelt, dan is de momentvector van de toeschouwer weg gericht en omgekeerd.

Een staaf die door een mof glijdt is een combinatie van een vrij contact met anderzijds het element van contact over een zeker oppervlak zoals bij de inklemming. Er zal dus een reactiekracht loodrecht op de mof en een moment moeten ingevoerd worden.

- touw: een touw kan alleen trekken in de richting van het touw (met uizondering van sommige fakirstouwen). Men moet dus één onbekende kracht in de richting van het touw invoeren.

[bewerken] Ideale staaf

Wanneer men een staaf heeft die in slechts 2 punten verbonden is met een voorwerp en waarvan het eigen gewicht verwaarloosbaar is t.o.v. de krachten die optreden in die verbindingen, dan kan men door toepassen van de evenwichtsvergelijkingen gemakkelijk aantonen dat de verbindingskrachten in die contactpunten even groot maar tegengesteld moeten zijn (uit de eis som = 0) en dat ze in elkaars verlengde moeten liggen (om te voldoen aan som der momenten = 0). Ze schijnen als het ware een actie-reactiekoppel te vormen. Men zal normaal geen vergelijkingen opschrijven voor zo'n staaf, maar de kracht in die staaf berekenen uit het evenwicht van de voorwerpen waarmee ze in contact is. Bemerk echter wel dat het moet gaan om puntvormige contacten, d.i. vrij contact of scharnier, met de andere voorwerpen, niet om een inklemming. Voorbeelden van ideale staven vindt men in de voorbeelden van verschillende systemen hieronder.

[bewerken] Strikte evenwichtsvoorwaarden

Soms worden door de verbindingskrachten niet alle vrijheidsgraden uitgeschakeld. Denk b.v. aan een deur die open staat. De scharnieren houden de deur op haar plaats maar beletten geen rotatie rond de as van de scharnieren. Opdat de deur onbeweeglijk zou blijven moet de som van de momenten van de uitwendige krachten t.o.v. die as 0 zijn. In de vergelijking die dat uitdrukt zullen geen verbindingskrachten voorkomen maar alleen actieve krachten. Dit soort vergelijkingen, waarin alleen eisen gesteld worden aan de actieve krachten, noemt men ook wel de strikte of eigenlijke evenwichtsvoorwaarden.

[bewerken] Isostatisch, hyperstatisch en hypostatisch systeem

Als het aantal onbekenden (= componenten van onbekende verbindingskrachten of momenten) dat optreedt in een probleem precies overeenkomt met het aantal vergelijkingen dat men kan opschrijven, dan heeft men een goed bepaald of isostatisch systeem. Deze benaming gaat echter uit van een wiskundige kijk op de zaak en betekent niet dat het evenwicht van het systeem dan echt mogelijk is. Het kan nl. nog zo zijn dat de beschikbare verbindingskrachten op de verkeerde plaatsen aangrijpen of in de verkeerde richting werken. Zie voorbeeld 1 hieronder.

Wanneer een systeem minder onbekenden heeft dan vergelijkingen dan is het een onmogelijk of hypostatisch systeem. In de praktijk zijn vele van die systemen perfect in evenwicht, nl. voorwerpen die alleen onder invloed zijn van het gewicht en die door vertikale reacties in evenwicht gehouden worden (voorbeeld 2 hieronder). Zolang er geen zijdelingse krachten op die voorwerpen werken is er ook geen zijdelingse reactie nodig. De projectie van alle krachten op een horizontale bevat gewoon niets en is dus een schijnbaar overbodige vergelijking.

Wanneer er meer onbekenden zijn dan vergelijkingen dan heeft men een onbepaald of hyperstatisch systeem. In feite is elke tafel of elke stoel met vier poten zo'n hyperstatisch systeem. Alleen een driepikkel is een isostatisch systeem. Men kan in zo'n geval, met de basisvergelijkingen van de statica, niet correct uitreken hoe de nodige reactiekracht zich zal verdelen over de aanwezige verbindingen. Er zit een onbepaaldheid in de verdeling van de krachten over de verbindingen. Men kan dikwijls een beroep doen op de elasticiteit van de contactpunten of van het systeem zelf om toch tot een verdeling van de krachten te komen. De elasticiteit van de ophanging van een auto zorgt er b.v. voor dat elke wiel in contact blijft met der grond, zelfs als er één wiel op de stoep staat en de drie andere op de rijweg. Als een tafel op een beetje losse grond staat, dan zal de ene poot wat dieper in de grond zakken dan de andere tot er evenwicht is. Een balk op drie steunpunten die niet perfect collineair zijn zal zich zo vervormen dat de balk toch op de drie steunpunten steunt (voor zover het hoogteverschil niet te groot is).

[bewerken] Voorbeelden

Voorbeeld 1: in theorie isostatisch, maar toch onmogelijk evenwicht. Als men het moment berekent t.o.v. het punt A, dan blijken alle verbindingskrachten door dit punt te gaan en dus geen moment te hebben t.o.v. dit punt. Het gewicht heeft echter wel een moment. Er is dus niet voldaan aan de momentenvergelijking en het voorwerp zal beginnen draaien rond A. Zodra de staafverbinding schuin ligt is er wel evenwicht mogelijk. Dan kunnen immers alle krachten door 1 punt gaan (voorbeeld 1b). Bemerk dat voor de schuine stand er een langere staaf nodig is dan voor de horizontale stand van de staaf.

Voorbeeld 2: een onmogelijk systeem want slechts 2 reactiekrachten, in feite perfect in evenwicht. Als er geen horizontale actiekracht is, is er ook geen horizontale reactie nodig.

Voorbeeld 3: een hyperstatisch systeem. In elke scharnier moeten 2 onbekende reacties ingevoerd worden. De projectie op een horizontale zegt dat er twee gelijke maar tegengestelde horizontale krachten moeten zijn in de bevestigingspunten, maar zegt niets over de grootte ervan. Als de afstand tussen de bevestigingspunten perfect overeenkomt met de afstand tussen de gaten in de plaat dan zijn die krachten = 0. Als dat niet het geval is, dan introduceert men een spanning of druk in de plaat. De grootte hiervan heeft niets te maken met de formules van de statica.

[bewerken] Evenwicht van samengestelde voorwerpen

Samengestelde voorwerpen bestaan in drie categorieën:

De samenstellende delen zijn onvervormbaar en ook het geheel is onvervormbaar.
De samenstellende delen zijn onvervormbaar maar het geheel is vervormbaar.
Continu vervormbare systemen zoals kettingen en kabels.

Het basisprincipe is dat voor evenwicht van het geheel elk onderdeel afzonderlijk in evenwicht moet zijn. Men moet dus de evenwichtsvoorwaarden, zoals die hoger gezien werden voor een onvervormbaar voorwerp, op elk van de onderdelen toepassen. Daarvoor zal men het voorwerp uit elkaar moeten halen, zodat duidelijk is over welk onderdeel men spreekt en wat de interacties zijn tussen die onderdelen.

Belangrijk is dat men bij het aanduiden van de krachten tussen de onderdelen erop let dat de actie-reactiewet gerespecteerd wordt. Als balk A een kracht uitoefent op balk B, dan zal balk B een gelijke maar tegengesteld gerichte kracht uitoefenen op balk A. Eén van die krachten zal men een minteken meegeven, de andere zou in theorie een plusteken moeten krijgen maar dat wordt normaal niet geschreven. Op die manier worden er dus geen 2 onbekende krachten ingevoerd, maar slechts één. Ook voor de projecties geldt dat elke projectie eenmaal als positief en eenmaal als negatief zal moeten voorkomen in de vergelijkingen. Als men de som maakt over het geheel, dan moeten de inwendige krachten immers tegen elkaar wegvallen.

Bemerk dat in de vectoriële notatie het plus- of minteken geen enkele aanduiding geeft over de richting van de betrokken vector. Het minteken zegt alleen dat er nog een even grote maar tegengestelde kracht voorkomt in het systeem.

[bewerken] Samengesteld systeem, geheel onvervormbaar

Als voorbeeld wordt een trapladder beschouwd (zie figuur). Als er tussen de onderste treden een staaf bevestigd is, dan is het geheel onvervormbaar. Deze ladder zou men ook op glad ijs kunnen plaatsen zonder risico dat men tegen het ijs slaat. Bij het uit elkaar halen werd voor de belasting door de man beroep gedaan op de stelling dat men een kracht mag verschuiven over zijn dragen om zo tot een equivalente beschrijving te komen (zie het hoofdstuk over "gelijkwaardige vectorsystemen"). Op die manier kunnen we het gewicht van de man laten aangrijpen op de ladder op een afstand d van de grond.

Er worden geen vergelijkingen opgeschreven voor de ideale staaf tussen de treden. Men weet immers vooraf waartoe die zouden leiden (zie hierboven). Er worden tegengestelde krachten opgeschreven werkend op de linker- en rechterhelft van de ladder. In feite zijn die tegengestelde krachten het resultaat van driemaal even groot en tegengesteld:

tussen linkerhelft van de ladder en de staaf op basis van de actie-reactiewet;
tussen beide uiteinden van de staaf op basis van wat hierboven gezegd werd over krachten op een ideale staaf;
tussen ideale staaf en rechterhelft van de ladder opnieuw volgens de actie-reactiewet.

Voor elke onderdeel moeten de evenwichtsvergelijkingen opgeschreven worden. Voor dit tweedimensioneel voorbeeld met 2 onderdelen levert dit 2x3 verglijkingen = 6 vergelijkingen. Wanneer het systeem op zijn geheel onvervormbaar is, dan kan men ook op het geheel de evenwichtsvoorwaarden toepassen. Als krachten heeft men dan alleen de gewichten en de 2 verticale reacties in de steunpunten onderaan de ladder (zolang de ladder op een horizontaal vlak staat, anders moet er een zijdelingse reactie bijkomen in minstens één van de steunpunten). Als men het stelsel van vergelijkingen met de hand moet oplossen, dan biedt dit evenwicht van het geheel een mogelijkheid om het stelsel op te splitsen in een reeks kleinere stelsels, die met de hand veel gemakkelijker op te lossen zijn dan het grote stelsel. Hier zou men twee stelsel van drie vergelijkingen bekomen. De vergelijkingen voor het evenwicht van het geheel vormen een stelsel afhankelijke vergelijkingen. Ze kunnen rechtstreeks opgeschreven worden of gevonden worden door de de projecties volgens elke as lid aan lid op te tellen. Na het invullen van de gevonden oplossingen in het grote stelsel heeft men dan een stelsel met drie onafhankelijke vergelijkingen minder. Hier kan men uit het evenwicht van het geheel de reactiekrachten in de steunpunten met de grond berekenen. Er blijven dan nog 3 onbekenden, X_AB, X_C ,Y_C, waarvoor nog juist 3 vergelijkingen nodig zijn. De vergelijkingen voor één der delen kunnen hiervoor dienen.

[bewerken] De vergelijkingen

Zij l de lengte van elk deel van de ladder, d_st de lengte van de grond tot het aangrijpingspunt van de staaf en d_m de lengte van de grond tot het aangrijpingspunt van het gewicht van de man, beide langs de ladder gemeten. Men onderstelt dat het zwaartepunt van de ladder op halve hoogte ligt.

Voor de linkse helft:

som van de krachten = 0:

$\sum X_i = -X_C + X_{AB} = 0$

$\sum Y_i = Y_A + Y_C -G_m -G_L = 0$

som van de momenten t.o.v. A = 0 (positief gerekend in tegenwijzerzin):

$\sum M_i = -X_{AB}.d_{st}.\sin \alpha -G_m.d_m.\cos \alpha - G_L.(l/2).\cos \alpha + X_C.l.\sin \alpha + Y_C.l.\cos \alpha = 0$

Dit vorm een stelsel van 3 verglijkingen in 4 onbekenden. Dus nog niet oplosbaar.

Voor de rechtse helft:

som van de krachten = 0:

$\sum X_i = -X_{AB} + X_C = 0$

$\sum Y_i = Y_B - Y_C - G_R = 0$

som van de momenten t.o.v. B = 0 (positief gerekend in tegenwijzerzin):

$\sum M_i = X_{AB}.d_{st}.\sin \alpha + G_R.(l/2).\cos \alpha - X_C.l.\sin \alpha + Y_C.l.\cos \alpha = 0$

Dit vorm ook een stelsel van 3 verglijkingen in 4 onbekenden, ook niet afzonderlijk oplosbaar.

Alle vergelijkingen samen vormen echter een stelsel van 6 vergelijkingen in 5 onbekenden: Y_A, X_AB, X_C ,Y_C, Y_B. De ontbrekende onbekende is een zijdelingse reactie in één van de steunpunten, die hier niet nodig is.

Omdat het geheel onvervormbaar is, moeten de vergelijkingen voor het geheel afzonderlijk oplosbaar zijn:

som van de krachten = 0:

$\sum X_i = 0$ : dit is een lege vergelijking.

$\sum Y_i = Y_A + Y_B -G_m - G_L - G_R = 0$

som van de momenten t.o.v. A = 0 (positief gerekend in tegenwwijzerzin):

$\sum M_i = -G_m.d_m.\cos \alpha - G_L.(l/2).\cos \alpha - G_R.(3l/2).\cos \alpha + Y_B.2l.\cos \alpha = 0$

Dit vorm een stelsel van 2 verglijkingen in 2 onbekenden: Y_A en Y_B. Deze laatste kan ogenblikkelijk uit de momentenvergelijking gehaald worden als:

$Y_B = \frac{2.G_m.d_m + G_L.l + G_R.3l}{4l}$

Men kan de vergelijkingen voor het linkse en rechtse deel ook lid aan lid optellen om het evenwicht van het geheel te bekomen. Voor de momentenvergelijking is er echter een probleem omdat de momenten t.o.v. verschillende punten opgeschreven werden. Als men de momentenvergelijking voor het rechtse deel ook opschrijft t.o.v. A dan krijgt men:

$\sum M_i = X_{AB}.d_{st}.\sin \alpha - G_R.(3l/2).\cos \alpha - X_C.l.\sin \alpha - Y_C.l.\cos \alpha + Y_B.2l.\cos \alpha = 0$

Als men dit optelt bij de momentenvergelijking voor het linkse deel krijgt men ook de vorige momentenvergelijking.

Numeriek voorbeeld
Als men volgende waarden als gegeven invult:

G_man = 800 N
G_L = G_R = 100 N
d_st = 0,3 m
d_man = 1 m
l = 2,5 m
afstand tussen A en B = 2 m

dan krijgt men volgende numerieke oplossingen, in volgorde van de berekening:

de hoek van de ladder met de horizontale: 66°25'
Y_B = 260 N
Y_A = 740 N
Y_C = 160 N
X_C = X_AB = 104,15 N

[bewerken] Samengesteld systeem, geheel vervormbaar

Neemt men bij vorig voorbeeld de staaf tussen de treden weg, dan bekomt men een systeem dat op zijn geheel vervormbaar is. Er zijn nu in de steunpunten zijdelingse reacties nodig om te beletten dat die zouden wegschuiven. Het grote verschil is nu dat men bij het toepassen van de evenwichtsvoorwaarden voor het geheel, niet meer een stelsel heeft dat op zichzelf oplosbaar is. In dit geval zit men met 3 vergelijkingen in 4 onbekenden: X_A, Y_A, X_B en Y_B (zie figuur hieronder). In vele gevallen kan men echter toch nog de momentenvergelijking voor het geheel opschrijven als een vergelijking in één onbekende, die ogenblikkelijk op te lossen is en zo een vertrekpunt kan vormen voor het handmatig oplossen van het stelsel. In dit geval kan men b.v. de momentenvergelijking voor het geheel opschrijven t.o.v. het punt A of B. Dat zal een vergelijking leveren waarin resp. alleen Y_B of alleen Y_A voorkomt als onbekende. Als men zo b.v. Y_B bepaald heeft, dan vormen de vergelijkingen voor het rechtse deel een stelsel van 3 vergelijkingen in 3 onbekenden dat op zich op te lossen is. Dan heeft men uiteindelijk nog 2 vergelijkingen nodig van het linkse deel om X_A en Y_A te bepalen. Als men alles in de computer kan steken, dan is dit geval niet moeilijker dan het vorige.

[bewerken] De vergelijkingen

Zij l opnieuw de lengte van elk deel van de ladder, d_m de lengte van de grond tot het aangrijpingspunt van het gewicht van de man langs de ladder gemeten. Men onderstelt dat het zwaartepunt van de ladder op halve hoogte ligt.

Voor de linkse helft:

som van de krachten = 0:

$\sum X_i = X_A - X_C= 0$

$\sum Y_i = Y_A + Y_C -G_m -G_L = 0$

som van de momenten t.o.v. A = 0 (positief gerekend in tegenwijzerzin):

$\sum M_i = -G_m.d_m.\cos \alpha - G_L.(l/2).\cos \alpha + X_C.l.\sin \alpha + Y_C.l.\cos \alpha = 0$

Voor de rechtse helft:

som van de krachten = 0:

$\sum X_i = -X_B + X_C = 0$

$\sum Y_i = Y_B - Y_C - G_R = 0$

som van de momenten t.o.v. B = 0 (positief gerekend in tegenwijzerzin):

$\sum M_i = G_R.(l/2).\cos \alpha - X_C.l.\sin \alpha + Y_C.l.\cos \alpha = 0$

Dit vormt een stelsel van 6 vergelijkingen in 6 onbekenden: X_A, Y_A, X_C, Y_C, X_B, Y_B.

De momentenvergelijking t.o.v. A voor het geheel:

$\sum M_i = -G_m.d_m.\cos \alpha - G_L.(l/2).\cos \alpha - G_R.(3l/2).\cos \alpha + Y_B.2l.\cos \alpha = 0$

Deze vergelijking is dezelfde als in het vorige geval daar X_A en X_B geen moment hebben t.o.v. A. Ze bevat slechts 1 onbekende, nl. Y_B, en deze kan dus onmiddellijk uitgerekend worden. De oplossing invoeren in de vergelijkingen voor het rechtse deel leidt tot een stelsel van 3 vergelijkingen in 3 onbekenden dat afzonderlijk oplosbaar is. Daarna moeten nog 2 vergelijkingen van het linkse deel gebruikt worden voor de reacties in A. Men vindt dezelfde oplossingen voor de Y-componenten. Voor de X-componenten vindt men nu X_A = X_B = X_C = 91,66 N, iets minder dus dan de kracht in de staaf omdat de afstand tussen deze componenten groter is.

[bewerken] Meervoudige contacten

In de top van de ladder komen 2 delen samen. Bij het opsplitsen krijgt men actie en reactie tussen deze beide delen. Maar hoe moet men het geval behandelen van 3 of meer voorwerpen die in één punt met elkaar contact hebben? Die situatie noemt men een meervoudig contact.

In eerste instantie kan men telkens krachten tussen 2 voorwerpen tekenen. Dan kan men de actie-reactiewet toepassen. Vanuit A werkt op B de kracht F_AB. Op A heeft men dan de reactie F_BA. Om het aantal onbekenden niet nodeloos op te drijven, geeft men aan een reactiekracht normaal dezelfde naam als aan de actiekracht maar met een minteken:

$\vec F_{BA} = -\vec F_{AB}$

Voor drie voorwerpen is dat nog juist overzichtelijk, voor meer wordt het moeilijk. Men wil liever één kracht op elk voorwerp veroorzaakt door alle andere voorwerpen, zoals in de derde schets. Die kracht wordt dan natuurlijk de som van de krachten uit de vorige beschrijving. Hiervoor geldt dan:

$\vec F_A = \vec F_{BA} + \vec F_{CA}= -\vec F_{AB} + \vec F_{CA}$

$\vec F_B = \vec F_{AB} + \vec F_{CB}= \ \ \vec F_{AB} -\vec F_{BC}$

$\vec F_C = \vec F_{AC} + \vec F_{BC} = -\vec F_{CA} + \vec F_{BC}$

Als men beide leden lid aan lid optelt, vindt men:

$\sum \vec F_i = 0$

meervoudig contact met fictief knooppunt

In plaats van de actie-reactiewet komt nu de eis dat de som van als deze krachten nul is. Aan deze eis kan op een eenvoudige en veilige manier voldaan worden door het invoeren van een fictief knooppunt. In plaats van de voorwerpen met elkaar te laten interageren, laat men ze interageren met een zelf gecreëerd knooppunt, in dit geval het punt D. Tussen dit knooppunt en elk van de voorwerpen kan nu wel de actie-reactiewet toegepast worden. En voor een massaloos punt geldt in elk geval, versnelling of rust, dat de som van de krachten die erop werken moet nul zijn. Dit leidt op zeer eenvoudige manier tot de bijkomende vergelijking dat de som van alle krachten op D nul moet zijn. In die vergelijking komen dan in eerste instantie de tegengestelde krachten van de bovenstaande vergelijking, maar als men beide leden met -1 zou vermenigvuldigen komt men op dezelfde vergelijking.

Bemerk dat het getekende systeem feitelijk hyperstatisch is.Er zijn 3 vlakke onderdelen, wat 3 x 3 vergelijkingen oplevert. Dan zijn er nog de 2 vergelijkingen voor het fictief knooppunt. Dat levert in het totaal 11 vergelijkingen. Er zijn echter 6 vectoriële onbekenden, dus 12 scalaire onbekenden in het totaal. Men zou één uiteinde niet via een scharnier maar via een gleuf moeten bevestigen. Dan zou er voor die verbinding maar één onbekende zijn (de kracht loodrecht op de gleuf) i.p.v. twee zoals bij een scharnier en zou men 11 onbekenden hebben voor 11 vergelijkingen.

[bewerken] Vakwerken

Bij het bouwen van bruggen, bij het ontwerpen van een dak boven een fabriekshal of spoorwegstation wenst men dikwijls een zo groot mogelijke stijfheid en draagkracht te bekomen met een minimum aan materiaal. Hiervoor wordt dan dikwijls beroep gedaan op vakwerken, constructies die bestaan uit relatief lichte staven of balken, soms aangevuld met kabels. Een torenkraan is ook een mooi voorbeeld van een constructie waarbij maximale stijfheid bereikt wordt met een minimum aan materiaal, zowel voor het verticale deel, de toren, als voor de arm. Bij deze (inleidende) bespreking zullen echter alleen vlakke vakwerken besproken worden. In het Engels spreekt men van "trusses".

Bij het ontwerp van een vakwerk gaat men ervan uit dat

het eigen gewicht van de staven verwaarloosbaar is in vergelijking met de krachten die erin optreden;
de verbindingen in eerste instantie als scharnierend beschouwd worden. Dit betekent dat de stevigheid moet komen van de juiste plaatsing van de staven, niet van de stijfheid in de verbindingen;
dat de belasting(en) aangrijpen in de knooppunten (en dus niet ergens op de staven).

Onder deze onderstellingen moeten de krachten in de staven volgens de staven liggen, zoals hoger vermeld onder ideale staaf. Men zal dus geen vergelijkingen opschrijven voor de staven, maar alleen voor de knooppunten. Op beide einden van elke staaf werken gelijke maar tegengestelde krachten werken. Deze krachten kunnen de staaf samendrukken of uitrekken. In het eerste geval zegt men dat de staaf onder druk staat, in het tweede dat ze onder trek staat. Daar het woord "spanning" verwijst naar trek, wordt conventioneel een trekkracht in een staaf aangeduid met een plusteken en druk met een minteken. Deze aanduidingen van het resultaat van de berekeningen heeft echter niets te maken met de tekens die in de vergelijkingen kunnen voorkomen. Soms werden de stukken die op druk belast worden in hout uitgevoerd, soms werden stukken die op trek belast worden vervangen door kabels. Voor stukken die op druk belast worden moet men opletten voor het "knikken" van het materiaal. Het risico hiervoor is kleiner bij een houten balk van voldoende dikte dan bij metalen profielen. Om een idee te krijgen of een staaf op druk of trek belast wordt, kan men zich inbeelden dat men de staaf wegneemt en dan de vraag stellen of de knooppunten waartussen deze staaf bevestigd was, naar elkaar toe zouden komen (druk) of uit elkaar zouden gaan (trek). Het is op die manier vrij duidelijk dat bv. de staaf BC op druk belast is en de staaf AE op trek.

Voor elke knooppunt moet gelden dat de som van de krachten 0 is. De krachten op de knooppunten zijn de reacties van de krachten op de staven. Wanneer een kracht op een staaf drukt, dan zal de reactie ook op het knooppunt drukken. Trek of druk op de staaf blijven dus ook trek of druk op het knooppunt. Een voorbeeld van een volledige opsplitsing van het hoger gegeven vakwerk vindt men in de figuur hiernaast. De zin van de krachten is niet overal correct. Dat zal ook blijken in de berekening hieronder. Bemerk dat ook de krachten die een staaf op de knooppunten uitoefent, gelijk maar tegengesteld zijn. Opdat het systeem niet hyperstatisch zou zijn, wordt het meestal aan de omgeving bevestigd door een scharnier (hier in A) een een roloplegging (hier in D). Dit levert 2 uitwendige krachtcomponenten in A en één verticale kracht in D.

Om de krachten in alle staven te vinden, zal men moeten vertrekken van een knooppunt met maar 2 onbekende krachten, aangezien er slecht 2 projecties kunnen opgeschreven worden. Meestal bestaat zulk een knooppunt niet. Daar het vakwerk in zijn geheel echter onvervormbaar is, kan men ook het evenwicht voor het geheel afzonderlijk opschrijven. Dit levert drie vergelijkingen waaruit de drie uitwendige krachten kunne worden berekend. Eens dat gebeurd heeft men zowel in A als in B een knooppunt met maar 2 onbekenden. Vertrekkend van A kan men bv. de krachten in de staaf AB en AE uitrekenen. Dan blijven er in B ook maar 2 onbekenden meer, waarna er zowel in C als E maar 2 onbekenden overblijven. Er blijven echter maar 3 onbekende staafkrachten meer te berekenen, zodat men van de 4 vergelijkingen en maar 3 zal moeten gebruiken. De vergelijkingen van het knooppunt D blijkt men niet meer nodig te hebben. Dat is niet verwonderlijk. De vergelijkingen van het evenwicht voor het geheel kunnen afgeleid worden uit de vergelijkingen voor de knooppunten. Als k het aantal knooppunten is, dan blijven er in het stelsel maar 2k-3 onafhankelijke vergelijkingen over. Dit levert een eerste manier om het aantal staven in een vakwerk te bepalen. Aangezien er maar 2k-3 aantal vergelijkingen overblijven voor het bepalen van de krachten in de staven, mogen er ook maar 2k-3 staven in een vakwerk zijn.

Er is nog een andere manier om aan dat aantal te geraken. Het kleinste vakwerk bestaat natuurlijk uit een driehoek. Dat heeft 3 staven en 3 knooppunten. Als men iets wil toevoegen dan is het minimaal 1 knooppunt en 2 staven. Dan heeft men 4 knooppunten en 5 staven. Elke toevoeging van een knooppunt betekent ook 2 staven meer. De formule wordt dus:

aantal staven = (2 x aantal knooppunten) - 3

Bij sommige constructies worden staven gebruikt waarin geen kracht schijnt op te treden. Dit is bv. het geval in knooppunten waar 3 staven samenkomen, waar geen uitwendige belasting is en waar 2 van de 3 staven perfect in elkaars verlengde liggen. Men moet er echter rekening mee houden dat er altijd een lichte vervorming optreedt onder belasting. Die schijnbaar overbodige verbindingen kunnen dan wel een rol gaan spelen. Ook kunnen ze een rol spelen als er wel een belasting komt op het knooppunt. Een belangrijke ontwikkelaar van vakwerken voor daken van fabriekshallen en stations was de Fransman Polonceau. Eén van zijn eerste vakwerken was een overspanning voor het dak van een station in Parijs in 1837 (zie links in de figuur hieronder)[1]. Zijn naam staat ook vermeld op de Eiffeltoren. Zijn naam is ook verbonden aan het rechtse vakwerk in de figuur hieronder.

Er is een grote verscheidenheid aan vakwerken mogelijk. Men kan op internet een gratis Nederlands programma vinden om vakwerken te tekenen en te berekenen.(onder Windows) op http://home.wanadoo.nl/gerardvansanten/vakwerk.htm. De driedimensionele vakwerken, zoals bij een torenkraan, kwamen pas na de 2de wereldoorlog vlop in gebruik.

[bewerken] Berekening

Als voorbeeld wordt de berekening van alle krachten van bovenstaand voorbeeld uitgevoerd. Er wordt ondersteld dat alle driehoeken gelijkzijdig zijn (dan zijn alle hoeken 60°) met een zijde van 2 m en dat de kracht F = 500 kg. De projecties van de krachten krijgen een teken volgens de zin die in de figuur hierboven gegeven is. De resultaten moeten dan positieve getallen zijn. Een negatieve uitkomst duidt op een verkeerd ingeschatte zin van de kracht.

Evenwicht van het geheel:
$\sum X_i = X_A = 0$
$\sum Y_i = Y_A + Y_D - 500 = 0$
Moment t.o.v. A:
$- 2 * 500 + 4 * Y D = 0$
Hieruit volgt: Y_D = 250 kg
Uit vorige vergelijking volgt dan: Y_A = 250 kg

Voor knooppunt A:
$\sum X_i = S_{AE} + S_{AB}\cos 60 + X_A = 0$
$\sum Y_i = S_{AB}\sin 60 + Y_A = 0$
Hieruit volgt S_AB = - Y_A/sin 60° = -288,7 kg . Het minteken van het resultaat betekent dat de zin van de kracht in de staaf AB verkeerd ingeschat werd. Het moet druk zijn i.p.v. trek.
S_AE = - S_ABcos 60° = -(-288,7)*0.5 = 144,3 kg (trek)

Knoppunt B, met S_AB als druk:
$\sum X_i = -S_{BC} + S_{AB}\cos 60 - S_{BE}\cos 60 = 0$
$\sum Y_i = S_{AB}\sin 60 + S_{BE}\sin 60 = 0$
Bij de laatste vergelijking is duidelijk iets fout: de som van 2 positieve getallen kan nooit 0 worden. De zin van een kracht is dus verkeerd. S_BE moet een trek zijn. Men krijgt dan als vergelijkingen:
$\sum X_i = -S_{BC} + S_{AB}\cos 60 + S_{BE}\cos 60 = 0$
$\sum Y_i = S_{AB}\sin 60 - S_{BE}\sin 60 = 0$
Uit de laatste vegelijking volgt dadelijk: S_BE = S_AB = 288,7 kg (trek)
Uit de vorige vergelijking volgt dan: S_BC = 2*S_ABcos 60° = 288,7 kg (druk)

Knooppunt C:
$\sum X_i = S_{BC} +S_{CE}\cos 60 - S_{CD}\cos 60 = 0$
$\sum Y_i = S_{CE}\sin 60 + S_{CD}\sin 60 = 0$
Hier kan weer dezelfde opmerking gemaakt worden. Het is duidelijk dat S_CE op trek belast wordt. Men vindt:
S_CE = S_BC/(2*cos 60°) = 288,7 kg (trek)
S_CD = S_CE = 288,7 kg (druk)

Om de kracht in staaf DE te bepalen wordt beroep gedaan op knooppunt D:
$\sum X_i = S_{CD}\cos 60 - S_{DE} = 0$
Hieruit volgt: S_DE = 144,3 kg (trek).

Klassieke Mechanica/Statica

Uit Wikibooks

Inhoud

[bewerken] Inleiding

[bewerken] Evenwicht van een enkelvoudig onvervormbaar voorwerp

[bewerken] De evenwichtsvoorwaarde

[bewerken] Praktische uitwerking

[bewerken] Voorbeeld

[bewerken] Vrijheidsgraden en verbindingen

[bewerken] Ideale staaf

[bewerken] Strikte evenwichtsvoorwaarden

[bewerken] Isostatisch, hyperstatisch en hypostatisch systeem

[bewerken] Voorbeelden

[bewerken] Evenwicht van samengestelde voorwerpen

[bewerken] Samengesteld systeem, geheel onvervormbaar

[bewerken] De vergelijkingen

[bewerken] Samengesteld systeem, geheel vervormbaar

[bewerken] De vergelijkingen

[bewerken] Meervoudige contacten

[bewerken] Vakwerken

[bewerken] Berekening

Weergaven

Persoonlijke instellingen

Navigatie

Zoeken

zusterprojecten

Afdrukken/exporteren

Hulpmiddelen