Uit Wikibooks

Inhoud

1 Het massacentrum
2 Rotatie rond as met vaste richting

[bewerk] Het massacentrum

[bewerk] Bepaling van het massacentrum

In het vorige hoofdstuk werd de beweging bestudeerd van een puntmassa. Een puntmassa kan niet roteren aangezien ze geen richting heeft. Reële voorwerpen zullen eerst beschouwd worden als een verzameling van puntmassa's, waarop men de conclusies uit het vorige hoofdstuk kan toepassen. Hieruit kan men dan specifieke wetten voor rotatie afleiden.

In eerste instantie kan men zich de vraag stellen of er een punt is dat beweegt alsof alle uitwendige krachten daarop werken. Men onderstelt hiervoor een verzameling van puntmassa's m_i met posities $\vec{r_i}$ t.o.v. een vast punt. Op elk punt werken een aantal uitwendige krachten met resultante $\vec{F_i^{ext}}$ en inwendige krachten met resultante $\vec{F_i^{int}}$ . Volgens de tweede wet van Newton kan men dan schrijven:

$\vec{F_i^{ext}} + \vec{F_i^{int}} = m_i\vec{a_i}$

Wanneer men deze vergelijkingen lid aan lid optelt voor alle punten, dan verdwijnen de inwendige krachten uit deze som. Er blijft dus:

$\sum{\vec{F_i^{ext}}} = \sum{m_i\vec{a_i}}$ (1)

Stelt men $m = \sum{m_i}$ , dan kan men zoeken naar een punt met coördinaat r_C zodat geldt:

$m\vec{r_C} = \sum{m_i\vec{r_i}}$

Een oplossing hiervoor is:

(2)

Men noemt dit punt het massacentrum van het systeem. Er geldt dan ook:

$m\vec{v_C} = \sum{m_i\vec{v_i}}$

$m\vec{a_C} = \sum{m_i\vec{a_i}}$

Wanneer men dit invult in de vergelijking (1), dan krijgt men:

$\sum{\vec{F_i^{ext}}} = m\vec{a_C}$

Of in woorden: het massacentrum beweegt alsof alle uitwendige krachten erop aangrijpen. Alles wat in vorig hoofdstuk gezegd werd over de beweging van een puntmassa, geldt voor de beweging van het massacentrum (anders had men waarschijnlijk niet zoveel aandacht besteed aan de beweging van een puntmassa).

Deze afleiding geldt zowel voor vervormbare als onvervormbare systemen. Bij onvervormbare systemen zal het massacentrum een vaste plaats hebben in het voorwerp, bij vervormbare zal het zich binnen het systeem kunnen verplaatsen.

Men kan de coördinaten van het massacentrum uitrekenen door de uitdrukking (2) te projecteren op b.v. de assen van een cartesisch assenkruis:

$x_C = \frac{\sum{m_i x_i}}{m} \quad y_C = \frac{\sum{m_i y_i}}{m} \quad z_C = \frac{\sum{m_i z_i}}{m}$

Indien men een voorwerp beschouwt als opgebouwd uit een continue massaverdeling, dan zal de som vervangen worden door een integraal:

$x_C = \frac{\int{x.dm}}{\int{dm}} \quad y_C = \frac{\int{y.dm}}{\int{dm}} \quad z_C = \frac{\int{z.dm}}{\int{dm}}$

Men ziet dat deze formules overeenkomen met de formules van het zwaartepunt voor zover de aantrekkingskracht van de aarde door evenwijdige krachten kan voorgesteld worden.

[bewerk] Eigenschappen van het massacentrum

1. Men kan zich bij de bepaling van het massacentrum ook laten leiden door het feit dat als het systeem een symmetrievlak of een symmetrieas heeft, het massacentrum dan in dat symmetrievlak of op die symmetrieas moet liggen.

Onderstelt men b.v. dat het zx-vlak een symmetrievlak is dan betekent dit dat er voor elk punt met massa m_i en coördinaat y_i er ook een punt met massa m_j = m_i en coördinaat y_j = -y_i moet zijn. Bij sommeren over alle massa's vallen die tegen elkaar weg en eindigt men met een y_C=0, m.a.w. in het xz-vlak.

Op analoge manier kan men aantonen dat bij aanwezigheid van een symmetrieas het massacentrum op die symmetrieas moet liggen. Zij b.v. de z-as een symmetrieas. Dan moet er voor elk punt met massa m_i en coördinaat x_i en y_i ook een punt zijn met massa m_j = m_i en coördinaat x_j = -x_i en y_j = -y_i. Bij sommeren over alle massa's zal men dus komen op een x_C=0 en y_C=0 d.i. op de z-as.

2. Het massacentrum wordt bepaald via een som (of integraal). Men kan die som opdelen in deelsommen. Dit betekent dat men een complexsysteem eerst kan opsplisten in eenvoudiger onderdelen waarvan het massacentrum gemakkelijk kan bepaald worden en dan die onderdelen kan combineren voor het massacentrum van het geheel. Hierbij beschouwt men de totale massa van elk onderdeel als geplaatst in het massacentrum van dat onderdeel. Voor een voorbeeld: zie bepaling van het zwaartepunt in het hoofdstuk over equivalente vectorsystemen.

3. Het massacentrum van een systeem hoeft niet noodzakelijk een materieel punt van dat systeem te zijn. Bij een holle bol zal het massacentrum samenvallen met het centrum van de bol maar daar is er geen massa aanwezig.

4. De aangrijpingspunten van de uitwendige krachten hebben dus geen belang voor de beweging van het massacentrum. Zij hebben nochtans wel belang voor de rotatie van het voorwerp of, meer algemeen, de beweging t.o.v. het massacentrum. Men zal verder de algemene beweging van een voorwerp splitsen in een beweging van het massacentrum, de translatiecomponent, en een beweging t.o.v. het massacentrum. Als het voorwerp roteert dan zal de verplaatsing van het aangrijpingspunt van de uitwendige krachten anders zijn dan indien het niet roteert. Men zal verder aantonen dat de som van de uitwendige krachten met de verplaatsing van het massacentrum bepalend is voor de kinetische energie van de translatie en de verplaatsing t.o.v. het massacentrum voor een tweede term. Bij een onvervormbaar voorwerp zal die de kinetische energie van de rotatie voorstellen.

5. Massacentrum en zwaartepunt worden bepaald met dezelfde formules voor zover men mag onderstellen dat de aantrekkingskrachten van de aarde op elk deeltje van een voorwerp evenwijdige krachten zijn. Als deze onderstelling niet meer klopt, dan zal het massacentrum niet samenvallen met het zwaartepunt.

[bewerk] Beweging t.o.v. het massacentrum

Men kan de positie van de samenstellende massa's ook bepalen t.o.v. het massacentrum zelf. Deze positievectoren zullen aangegeven worden met een accent. Wanneer men vertrekt van het massacentrum zelf als referentiepunt dan moet gelden : $\vec{r_C} = 0$ . Men heeft dus ook:

$\sum{m_i\vec{r_i^'}} = 0 \quad \sum{m_i\vec{v_i^'}} = 0 \quad \sum{m_i\vec{a_i^'}} = 0$

Deze betrekkingen zullen voortdurend terugkomen bij de studie van de rotatiebeweging en ervoor zorgen dat de formules sterk vereenvoudigen als men de beweging van een voorwerp beschrijft als een beweging van het massacentrum + een beweging t.o.v. het massacentrum.

[bewerk] Massacentrum en behoud van impuls

Wanneer er geen uitwenidge krachten werken op een systeem, dan moet de totale hoeveelheid van beweging constant blijven. Als men de uitdrukking hiervoor vergelijkt met de uidrukking voor de snelheid van het massacentrum hierboven, dan blijkt dat ook de snelheid van het massacentrum dan constant is.

$\sum{m_i\vec{v_i}} = \vec{C} \Leftrightarrow m\vec{v_C} = \vec{C}$

[bewerk] Impulsmoment van een vrij bewegend voorwerp

Men kan de positie van een puntmassa opschrijven als de positie van het massacentrum + de relatieve positie van die massa t.o.v. het massacentrum. Dus:

$\vec{r}_i = \vec{r}_C + \vec{r'}_i$

Ook voor de snelheden kan men schrijven:

$\vec{v}_i = \vec{v}_C + \vec{v'}_i$

Wanner men dit invoert in de formule voor het impulsmoment bekomt men:

$\vec {L}=\sum m_i[(\vec{r}_C + \vec{r'}_i)\times m_i(\vec{v}_C + \vec{v'}_i)$

$=\vec{r}_C\times(\sum m_i)\vec{v}_C\,+\,\vec{r}_C\times(\sum m_i\vec{v'}_i)\,+\, (\sum_i\vec{r'}_i)\times\vec{v}_C\,+\,\sum (\vec{r'}_i\times m_i\vec{v'}_i)$

Daar $\sum m_i\vec{r'}_i=0\,en\,\sum m_i\vec{r'}_i=0$ zijn de tweede en de derde term = 0. Er blijft:

In sommige landen is deze formule bekend als de eerste wet van König. De eerste term wordt ook wel het baanimpulsmoment genoemd en soms aangeduid als J. De tweede term is het impulsmoment t.o.v. het massacentrum. Bij een roterend onvervormbaar voorwerp zal dit ook wel met S van spin aangeduid worden. De formule wordt dan:

$\vec {L}=\vec{J} + \vec{S}$

Bij het berekenen van het impulsmoment t.o.v. het massacentrum mag men zowel met de absolute als met de relatieve snelheden rekenen. Dat is uit deze formule te begrijpen. Bij een berekening t.o.v. het massacentrum is r_C = 0, zodat alleen de bijdrage van de relatieve snelheden over blijft.

[bewerk] Massacentrum en energie

Bij opsplitsen in een beweging van het massacentrum en een beweging t.o.v. het massacentrum vindt men voor de kinetische energie:

$\vec{v_i} = \vec{v_C} + \vec{v_i^'}$

$\sum{\frac{m_i.v_i^2}{2}}=\frac{(\sum{m_i})v_C^2}{2} + \sum{\frac{m_i.v_i^{'2}}{2}} +(\sum{m_i\vec{v_i^'}}) \cdot \vec{v_C}$

Hierin is de laatste term = 0 (zie hierboven), zodat er overblijft:

$E_k = \frac{mv_C^2}{2} + \sum{\frac{m_i.v_i^{'2}}{2}}$

De eerste term geeft de kinetische energie van het massacentrum alsof de hele massa daarin geconcentreerd is.
De tweede term geeft de kinetische energie van de beweging t.o.v. het massacentrum.

Deze formule staat in de literatuur bekend als de (tweede) wet van König. Bemerk wel dat alleen bij een opsplitsen in beweging van het massacentrum en beweging t.o.v. het massacentrum de uitdrukking van de kinetische energie vereenvoudigt tot 2 termen i.p.v. 3.

De arbeid van alle krachten van een systeem waarop zowel inwendige als uitwendige krachten werken, kan men berekenen door de verplaatsing van elk aangrijpingspunt samen te stellen uit een verplaatsing van het massacentrum en een verplaatsing t.o.v. het massacentrum:

$d\vec{r_i} = d\vec{r_C} + d\vec{r_i^'}$

Men bekomt dan:

$\sum{\vec{F_i^{ext}}} \cdot d\vec{r_i} + \sum{\vec{F_i^{int}}} \cdot d\vec{r_i} = ( \sum{\vec{F_i^{ext}}}) \cdot d\vec{r_c} + \sum{\vec{F_i^{ext}} \cdot d\vec{r_i^'}} + (\sum{\vec{F_i^{int}}}) \cdot d\vec{r_c} + \sum{\vec{F_i^{int}} \cdot d\vec{r_i^'}}$

Omwille van de actie-reactiewet moet de som van de inwendige krachten = 0 zijn. De derde term valt dus weg. Vergelijkt men deze uitdrukking met de uitdrukking voor de kinetische energie, dan is het duidelijk dat:

$(\sum{\vec{F_i^{ext}}}) \cdot d\vec{r_c} = \frac{mv_C^2}{2}$
$\sum{\vec{F_i^{ext}} \cdot d\vec{r_i^'}} + \sum{\vec{F_i^{int}} \cdot d\vec{r_i^'}} = \sum{\frac{m_i.v_i^{'2}}{2}}$

Voor de berekening van de kinetische energie geassocieerd met het massacentrum moet men alleen rekening houden met de verplaatsing van het massacentrum, ongeacht het aangrijpingspunt van de krachten.

Voor de berekening van de kinetische energie van de beweging t.o.v. het massacentrum moet men rekening houden met de effectieve verplaatsing van de aangrijpingspunten t.o.v. het massacentrum. Als het voorwerp een onvervormbaar voorwerp is, dan kunnen de inwendige krachten geen netto arbeid leveren en valt de bijdrage van de arbeid van de inwendige krachten weg.

[bewerk] Rotatie rond as met vaste richting

[bewerk] Inleiding

Bij rotatie kan men een onderscheid maken tussen rotatie om een as met vaste richting en de algemene rotatie. De eerste beweging kan beschreven worden met vrij eenvoudige formules, die sterk parallel lopen met de formules voor de lineaire beweging. Het algemene geval speelt zich af in drie dimensies, doet beroep op vectoriële producten en matrixbewerkingen en is daardoor veel complexer.

Wanneer men met een fiets rechtdoor rijdt, eventueel over een vertragingsbult, valt de beweging van de wielen onder het eerste geval. De as beweegt wel, maar de richting ervan verandert niet. Wanneer men echter met een boog rond een putje in het fietspad rijdt, valt de beweging onder het algemene geval. De beweging van veel draaiende onderdelen in machines valt ook onder de eerste beschrijving.

Bij rotatie rond een as met vaste richting zijn de formules eendimensionaal. Men kan dus spreken van eendimensionale rotatie. Dikwijls wordt deze beweging ook vlakke beweging genoemd, omdat alle punten van het voorwerp blijven bewegen in een vlak loodrecht op de rotatieas.

We hebben het hier uitsluitend over onvervormbare voorwerpen.

[bewerk] Grootheden

We zullen beginnen met het verduidelijken van een reeks termen. Wanneer een voorwerp kan draaien rond een as, men zijn positie vastleggen door een hoek θ gemeten vanuit een referentiepositie. Als het voorwerp draait, heeft het een hoeksnelheid ω. Als die snelheid verandert, is er sprake van een hoekversnelling α. Men krijgt dus de volgende parallel tussen lineaire beweging of translatie en rotatie:

	translatie	rotatie
positie	positievector $\vec{r}$	hoek θ eenheid: radialen
eerste afgeleide	snelheid $\vec{v}$ m/s	hoeksnelheid ω rad/s
tweede afgeleide	versnelling $\vec{a}$ m/s²	hoekversnelling α rad/s²

Daaruit volgen formules analoog aan de lineaire beweging. Voor een eenparige rotatie geldt: θ(t) = θ₀ + ω.t
Voor een eenparig versnelde rotatie: θ(t) = θ₀ + ω₀.t + α.t²/2

De hoeksnelheid ω wordt voorgesteld als een vector gericht langs de rotatieas. Bij rotatie rond een as met vaste richting zal ook α volgens deze as liggen. Er zijn dan maar 2 mogelijkheden voor de zin van beide. Volgens één richting zal men de waarden van ω en α als positief rekenen, volgens de andere als negatief. Zolang men geen vectoriële producten gebruikt, kan men vrij kiezen welke zin men positieve zin noemt.

Het moment van een kracht t.o.v. de as is gelijk aan het product van de component van de kracht in een vlak loodrecht op de as met de afstand van de as tot de drager van die component. In de meeste gevallen gaat het over krachten die werken in een vlak loodrecht op de rotatieas, zoals wanneer je op de pedalen van je fiets duwt, zodat de component hierboven in feite de volledige kracht is. Dan krijgen we dus het klassieke moment = kracht x krachtarm. Voor een uitgebreider bespreking van mogelijke manieren om een moment uit te rekenen zie het einde van Elementaire bewerkingen met vectoren in het eerste hoofdstuk.

In het algemeen kan men de beweging van een voorwerp (b.v. een fietswiel) beschrijven als de beweging van een referentiepunt (b.v. punt op de fietsas) en een rotatie van het voorwerp rond een as door dat referentiepunt. Het blijkt dat die rotatie onafhankelijk is van het referentiepunt, maar typisch voor het voorwerp. De formules voor het beschrijven van deze beweging worden sterk vereenvoudigd als men een as beschouwt die ofwel stilstaat ofwel door het massacentrum van het voorwerp gaat. In dat laatste geval zal men meestal de beweging moeten beschrijven als samengesteld uit twee bewegingen: een beweging van het massacentrum en een rotatie rond een as door het massacentrum. Voorbeelden vindt men hieronder.

[bewerk] Basiswet

Nemen we een zeer eenvoudig voorbeeld van 1 massa m op een afstand r van een as. Die as wordt aan het draaien gebracht door een riem die over een schijf loopt. De riem trekt aan de schijf met kracht F op afstand d van de as. Volgens de wet van de hefbomen kan men stellen dat deze kracht zich zal laten voelen op de massa als een kracht F' volgens de formule F.d = F'.r . Dit is in feite een momentenvergelijking die zegt dat het moment van F t.o.v. de as hetzelfde moet zijn als het moment van F' t.o.v. de as. Anderzijds is de versnelling a van de massa te schrijven als r.α (r.alfa). De wet van Newton zegt nu: F' = ma . Vermenigvuldigen we beide leden met r dan bekomen we: r.F' = r.m.a . Gebruiken we nu de bovenstaande gelijkheden dan kunnen we dit schrijven als :

d.F = m.r².α

De grootheid m.r² heet het traagheidsmoment van m t.o.v. de as en wordt normaal voorgesteld als I (de I van "inertia"). Een gewoon voorwerp zal normaal beschouwd worden als opgebouwd uit meerdere puntmassa's of uit een continue massaverdeling. Het traagheidsmoment wordt dan gedefinieerd als:

traagheidsmoment t.o.v. een as:
 
, met r = afstand van elk punt tot de as.

We kunnen de formule dus lezen als: het moment van de kracht t.o.v. de as moet gelijk zijn aan traagheidsmoment x hoekversnelling.

Voor een meer realistische situatie met een reëel voorwerp i.p.v. juist één massa, zal men dit voorwerp beschouwen als opgebouwd uit kleine massa's. We moeten dan de som nemen over al deze massa's en als er meerdere krachten zijn ook over de momenten van alle krachten. Dit levert dan de echte basisformule voor de rotatie (met M_asF het moment van F t.o.v. de as, I_as het traagheidsmoment t.o.v. dezelfde as):

De som van de momenten van de krachten t.o.v. de as moet gelijk zijn aan het traagheidsmoment t.o.v. die as x hoekversnelling

Het bewijs hierboven is voor een stilstaande (vaste) as. De formule geldt ook voor een as door het massacentrum, zelfs als die beweegt. Het bewijs hiervoor kan men vinden bij de afleiding van de formules voor de algemene rotatie. In feite moet zich dus afvragen:

Draait het voorwerp rond een vaste as? Dan kan men meestal volstaan met de momentenvergelijking zoals hierboven gegeven.
Is er geen vaste rotatieas? Dan moet de beweging beschreven worden als een combinatie van een translatie van het massacentrum + een rotatie rond een as door het massacentrum. Men zal dan steeds zowel de wet van Newton als de momentenvergelijking moeten opschrijven.

Algemener bewijs
Men kan voor een meer algemeen bewijs vertrekken van de wet van Newton voor één massa. Men onderstelt de beweging in of evenwijdig aan het xy-vlak, zodat de momenten volgens de z-as liggen, en neemt het moment van beide leden t.o.v. de rotatieas:

$(\vec{r}\times \sum \vec{F}_i)_z = (\vec{r}\times m\vec{a})_z$

Bij een roterend voorwerp kan de versnelling geschreven worden als de som van een normale en een tangentiële versnelling. Daar de normale versnelling door de as wijst, is haar moment t.o.v. de as = 0. Er blijft:

$(\vec{r}\times \sum \vec{F}_i)_z = mr^2\alpha$

Voor meerdere massa's past men deze formule toe op elke massa waarna men lid aan lid optelt:

$\sum_j(\vec{r}_j\times \sum \vec{F}_{ij})_z = \sum m_ir_i^2\alpha$

De krachten kunnen nu uitwendige krachten zijn of inwendige, tussen twee massa's. Volgens de actie-reactiewet moeten de inwendige krachten in paren voorkomen die op dezelfde drager liggen, zodat de momenten tegen elkaar wegvallen. Er blijven dus alleen de uitwendige krachten over. Normaal formuleert men de som over de momenten van de krachten met één sommatie, waarbij sommige r_i dan dezelfde zullen zijn. Men krijgt dan:

$\sum(\vec{r}_i\times \sum \vec{F}_i)_z = \sum m_ir_i^2\alpha= I_{as}\alpha$

of:

$\sum M_{as}F_i = I_{as}\alpha$

Enkele voorbeelden van traagheidsmomenten.
Voor een volle schijf is het traagheidsmoment t.o.v. een as door het centrum en loodrecht op de schijf: I_C = m.r²/2
Voor een dunne staaf met lengte L: I_C = m.L²/12
Voor een rechthoekige plaat met lengte L en breedte B:

t.o.v. van een as loodrecht op de plaat: I₁ = m(L² + B²)/12
t.o.v. van een as in het vlak van de plaat evenwijdig aan L: I₂ = m.B²/12

Voor schetsen van beide situaties: zie voorbeelden verder.

Voor tabellen van traagheidsmomenten van verschillende voorwerpen, zie traagheidsmoment.

Opmerking
Hierboven werd gesteld dat men de formules moet opschrijven t.o.v. een stilstaande as of t.o.v. een as door het massacentrum. Bij een as door het massacentrum moet men normaal ook de wet van Newton opschrijven, zodat men een stelsel vergelijkingen heeft (index C verwijst naar het massacentrum):

$\sum \vec{F}_i = m\vec{a}_C$

$\sum M_{as,C} \vec{F}_i = I_{as,C}.\alpha$

De verplaatsingsformule legt een verband tussen de linkerleden van deze formules. Hetzelfde verband moet dan ook gelden tussen de rechterleden. Als het in een bepaald geval zonder vaste as interessanter is om het moment uit te rekenen t.o.v. een ander punt dan het massacentrum, b.v. P, dan kan men het rechterlid van de momentenvergelijking naar daar verplaatsen met de formule:

$\sum M_{as,P} \vec{F}_i = I_{as,C}.\alpha + (\overrightarrow{PC}\times m\vec{a}_C)_z$

Van het vectoriele product moet men natuurlijk alleen de component loodrecht op het bewegingsvlak gebruiken. Op deze manier heeft men feitelijk een grote vrijheid bij het opschrijven van de momentenvergelijking, tenminste voor ogenblikkelijke berekeningen.

[bewerk] Formule van Steiner

Als men een traagheidsmoment uitgerekend heeft t.o.v. een as en men heeft later het moment nodig t.o.v. een andere as, dan kan men zich afvragen of men volledig opnieuw moet beginnen met de berekening of men zijn vorig resultaat nog kan gebruiken. Een zekere Steiner vond dat dat laatste kan, op voorwaarde dat men vertrekt van een as door het massacentrum. Dan is het traagheidsmoment t.o.v. elke parallelle as door punt P gegeven door:

met m de totale massa van het voorwerp en d de afstand tussen de 2 assen. Voorbeelden infra.

Bewijs

Men onderstelt dat het traagheidsmoment gegeven is t.o.v. een z-as en gevraagd wordt t.o.v. een evenwijdige z'-as. Voor elke puntmassa in het systeem kan men dan schrijven dat, in een vlak loodrecht op de assen, de positie t.o.v. de z'-as gegeven is als:

$\vec{r'}_i = \vec{d}+\vec{r}_i$

Bemerk dat de vectoren r_i en r'_i alleen een x- en y-component hebben en geen z-component.

Het traagheidsmoment t.o.v. de z'-as is dan:

$I_{z'} = \sum m_i {r'}_i^2 =\sum m_i (\vec{d} + \vec{r}_i) \cdot(\vec{d} + \vec{r}_i) = (\sum m_i) d^2 + 2\vec{d} \cdot (\sum m_i\vec{r}_i) + \sum(m_i r_i^2)$

$= (\sum m_i)d^2 + \sum (m_i r_i^2)$

De term $\sum m_i\vec{r}_i = 0$ indien de z-as door het massacentrum gaat. In projectie wordt dit immmers $\sum m_i x_i=0 ,\quad \sum m_i y_i=0$ en dit is typisch voor het massacentrum als de posities t.o.v. het massacentrum bepaald worden (cfr.supra beweging t.o.v. het massacentrum). De laatste term is het traagheidsmoment t.o.v. deze z-as. De formule wordt dus, met m de totale massa:

$\displaystyle I_{z'} = I_z + md^2$

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Kracht werkend op een wiel

Als 1e voorbeeld wordt een wiel dat rolt zonder slippen behandeld

a. Eerste aanpak: rotatie rond as door massacentrum

De rotatie vergelijking: r.W = I_C.α

Bemerk dat F niet voorkomt in deze vergelijking omdat F door de as wijst en dus geen moment heeft t.o.v. de as. Men heeft nog aanvullende vergelijkingen nodig. Men moet ook de translatievergelijking opschrijven (Wet van Newton):

F - W = m.a_C

Er is een verband tussen a_C en α:

a_C = r.α

Als men het wiel als een volle schijf beschouwt, dan is I_C = m.r²/2

Men krijgt dan als oplossing:

$\alpha = \frac{2F}{3mr}$

Bemerk dat er duidelijk wrijving moet zijn om het wiel te doen draaien.

Nota: De wrijving die nodig is om het wiel te doen draaien levert geen energie aan het wiel of onttrekt geen energie eraan. Het punt waarop de kracht werkt staat immers stil (en het komt verticaal toe en vertrekt verticaal, dus loodrecht op de kracht). In de praktijk is er wel energie nodig om iets te doen rollen en weet men dat een hard opgpompte fietsband gemakkelijker rolt dan een bijna platte band. Dit komt omdat er in de praktijk altijd een contactvlak is i.p.v. alleen een contactpunt. Hierdoor zijn er verticale reactiekrachten van de grond die vóór het centrum van het wiel passeren en dus een tegenwerkend moment veroorzaken.

b. Tweede aanpak: ogenblikkelijke rotatie rond het contactpunt met de grond

Het contactpunt P met de grond moet dezelfde snelheid hebben als de grond, anders is het wiel aan het slippen. P is dus een stilstaand punt en men kan de beweging ook beschrijven als een ogenblikkelijke rotatie rond P met zelfde α. We moeten nu echter met het traagheidsmoment t.o.v. P werken. Dit wordt berekendwe met de formule van Steiner:

I_P = I_C + m.r² = 3m.r²/2

De rotatie vergelijking wordt nu:

r.F = I_P.α

Dit levert rechtstreeks hetzelfde resultaat.

Bemerk echter dat deze aanpak niet kan gevolgd worden bij een slippend wiel, want dan staat het punt P van het wiel niet stil. De eerste aanpak blijft wel geldig, maar het verband tussen a_C en α vervalt.

[bewerk] Schijf in een lus

Als 2e voorbeeld wordt een schijf in een lus van een touw beschouwd.

De beweging wordt beschreven als een beweging van het massacentrum en een rotatie rond een as door het massacentrum. Als men voor de momenten en de hoekversnelling linksdraaiend als positieve zin neemt, dan bekomt men:

r.F - r.S = I_C.α

T.o.v. een as door het middelpunt van de schijf, doet de kracht F de schijf immers naar links en de spanning in het touw de schijf naar rechts draaien. Het gewicht wijst door die as en levert dus geen moment t.o.v. die as. Als de schijf omhoog beweegt, zal de spanning S in het touw kleiner zijn dan F. Er moet immers een netto moment zijn dat linksdraaiend is.

Dit levert 1 vergelijking in 2 onbekenden. Er is nog bijkomende vergelijkingen nodig. Dit wordt weer de translatievergelijking. Met projectie op een as die omhoog gericht is krijgt men:

F + S - G = m.a_C

Er is een verband tussen a_C en α. Het touw links staat stil. We krijgen dus opnieuw:

a_C = r.α

De oplossing wordt:

$\alpha = \frac {2(2F - G)}{3mr}$

Men ziet dat F minstens de helft van het gewicht moet zijn om de schijf omhoog te laten bewegen.

$S = \frac {G + F}{3}$

Bij F = G/2 is ook S = G/2 en is α = 0: de schijf hangt in evenwicht.

Men zou dit voorbeeld ook kunnen oplossen door de rotatievergelijking op te schrijven t.o.v. het punt waar het touw de schijf raakt, analoog aan de tweede aanpak hierboven. Dat is immers ook een stilstaand punt. Dan zullen F en G voorkomen in de rotatievergelijking, maar S niet.

[bewerk] Afgeleide wetten

[bewerk] Impulsmoment en Behoud van Impulsmoment

Bij translatie kent men grootheid mv die impuls of hoeveelheid van beweging heet. Bij rotatie heeft men een impulsmoment L (in het Engels "angular momentum", in het Duits "Drehimpuls", vandaar in het Nederlands ook soms "draaiimpuls"). Het impulsmoment is feitelijk gedefinieerd als de som van de momenten van de impulsen van alle punten van het voorwerp t.o.v. de rotatieas. Deze formule kan bij vlakke beweging vereenvoudigd worden tot:

   met zin als  ω

Door de basiswet van de rotatie te integreren in de tijd komt men tot de impulsmomentstelling, die men voor 1 voorwerp kan opschrijven als:

waarbij het rechterlid te begrijpen is als de verandering van het impulsmoment, d.i. het impulsmoment op ogenblik t₂ - het impulsmoment op ogenblik t₁.

Voor meerdere voorwerpen moet men alleen rekening houden met de momenten van de uitwendige krachten:

Als de som van de uitwendige momenten nul is, dan zal het totale impulsmoment constant zijn. Dit is de wet van behoud va impulsmoment:

In de praktijk berekent men het impulsmoment op een eerste ogenblik en op een tweede ogenblik en stelt dan dat beide moeten gelijk zijn. Een voorbeeld en tegenvoorbeeld vindt men verder hieronder.

Impulsmoment van een vrij bewegend voorwerp
Als men het impulsmoment moet berekenen van een voorwerp dat rond een bewegende as draait, t.o.v. van een punt P buiten de as door het massacentrum, dan geldt voor een vlak systeem:

L = M_P mv_C + I_C.ω

De eerste term noemt men ook wel het baanimpulsmoment. In sommige landen is dit bekend als de eerste formule van König. Het bewijs ervan kan men hierboven vinden bij de eigenschappen van het massacentrum onder Impulsmoment van een vrij bewegend voorwerp .

Voorbeeld: het impulsmoment van de schijf uit het 2e voorbeeld t.o.v. het bevestigingspunt van het touw:

L = r.mv_C + I_C.ω = 3mr²ω/2

want v_C = rω

Bemerk dat een bewegende puntmassa ook een impulsmoment heeft t.o.v. een bepaald punt of as.

Voorbeeld van behoud van impulsmoment

Als voorbeeld bij behoud van impuls beschouwt men een satelliet die uitgezet wordt met een hoeksnelheid ω₀ . De satelliet bestaat uit een centraal deel en twee zonnepanelen. Bij het uitzetten zijn de zonnepanelen opgevouwen langs de satelliet, na het uitzetten worden ze open geplooid. Het centrale deel van de satelliet heeft een gegeven traagheidsmoment I_C, de zonnepanelen hebben een massa m_p en afmetingen l x b.
Alhoewel de satelliet in een baan rond de aarde beweegt onder invloed van de aantrekkingskracht van de aarde, heeft deze aantrekkingskracht geen invloed op de rotatie van de satelliet rond zijn eigen as. De aantrekkingskracht op alle delen van de satelliet kunnen immers vervangen worden door één resultante die aangrijpt in het massacentrum en dat ligt op de rotatieas. Die kracht heeft dus geen moment t.o.v. die rotatieas, m.a.w. heeft geen invloed op de rotatie van de satelliet. De voorwaarde voor behoud van impulsmoment is dus voldaan.

Om het totale traagheidsmoment van de satelliet te berekenen, moet men het traagheidsmoment kennen van een vlakke plaat. Hiervoor zijn echter 2 mogelijkheden:

ofwel t.o.v. van een as loodrecht op de plaat (as 1 in de figuur), als in de eindsituatie. Dan heeft men: I₁ = m(L² + B²)/12
ofwel t.o.v. van een as in het vlak van de plaat (as 2 in de figuur), als in de beginsituatie. Dan heeft men: I₂ = mB²/12

Er wordt ook weer gebruik gemaakt van de formule van Steiner.

Beginsituatie

I_tot,begin = I_C + 2.(m_p.d²+ m_p.b²/12)

Eindsituatie:

I_tot,einde = I_C + 2.[m_p.(d + l/2)² + m_p.(b² + l²)/12]

Volgens het behoud van impulsmoment moet nu gelden:

I_tot,begin.ω₀ = I_tot,einde.ω_einde

--- Einde voorbeeld ---

Tegenvoorbeeld
Een cilinder A draait rond zijn as met hoeksnelheid ω₀. Een identieke cilinder B die stilstaat wordt tegen deze eerste cilinder geduwd zodat ze beide uiteindelijk met dezelfde hoeksnelheid ronddraaien. Bereken deze nieuwe hoeksnelheid.

Uit de berekeningen zal blijken dat die eindhoeksnelheid de helft is van ω₀. Men zou dus kennen denken dat er hier behoud van impulsmoment speelt. Maar in de eindsituatie draaien beide cilinders in tegengestelde zin. Hun impulsmomenten moeten dus voorgesteld worden door tegengestelde vectoren waarvan de som 0 is. In het begin was er duidelijk een globaal impulsmoment, op het einde is er geen meer. Er is dus zeker geen behoud van impulsmoment. Er moet dus een uitwendig moment opgetreden zijn dat tegengesteld zin had van het oorspronkelijke impulsmoment van cylinder A.
Opmerking: het impulsmoment van beide cilinders moet in de eindtoestand bepaald worden t.o.v. dezelfde as om over het totale impulsmoment van het systeem te kunnen praten. Om het impulsmoment van de rol B te berekenen t.o.v. de as van de rol A, moet men de hoger gegeven formule L = baanimpulsmoment + I_C.ω gebruiken. Daar het massacentrum van B echter geen snelheid heeft is het baanimpulsmoment = 0 en blijft alleen I.ω_B over. Men kan het vergelijken met het moment van een koppel dat ook onafhankelijk is van het berekeningspunt. Men moet ook bedenken dat de impulsmomentvectoren thuishoren in de ruimte van de momenten, niet in de ruimte van de posities, waarin de rollen getekend zijn.

Om dit alles te begrijpen moet men een krachtenanalyse maken. De 2 cilinders worden iets uit elkaar getekend zodat men duidelijk kan aangeven welke kracht op welk voorwerp werkt. Wanneer de cylinder B tegen cylinder A geduwd wordt, zal deze laatste een kracht F uitoefenen op B. A zelf ondervindt hiervan de reactie. De krachten die door de as van A of B gaan werden niet getekend werden, nl. het gewicht van A en B, de reacties in de lagers en de druk tussen de twee rollen. Deze krachten hebben geen moment t.o.v. die as, m.a.w. ze beïnvloeden de rotatie van de rollen niet.
Men krijgt volgende rotatievergelijkingen, waarbij de positieve zin telkens gekozen werd in de zin van de hoeksnelheid:

voor A:

- r . F = I α A

voor B:

r . F = I α B

Wanneer men lid aan lid optelt en herschikt krijgt men:

I α A = - I α B

Men integreert beide leden in de tijd:

$\int_{t_1}^{t_2} \alpha_A.dt =-\int_{t_1}^{t_2} \alpha_B.dt$

ω A - ω 0 = - (ω B - 0)

Wanneer op het einde beide cilinders zonder slippen tegen elkaar rollen, is natuurlijk

ω_A = ω_B = ω

Hieruit volgt dan dat ω = ω₀/2

Vanwaar komt nu het uitwendig koppel dat het oorspronkelijke impulsmoment vernietigd heeft? Onder invloed van de kracht F op de cylinder B zou deze naar rechts moeten bewegen. Dat wordt belet door een gelijke maar tegengestelde reactie R_B die aangrijpt op de as van B. Analoog zal er een kracht R_A optreden op de as van A. Deze beide reacties vormen een koppel dat tegengesteld is aan de zin van ω₀. De koppelarm is 2r zodat het moment 2x groter is dan rF en zo het oorspronkelijke impulsmoment teniet doet.

Nota
1. De cilinders moeten in het begin over elkaar slippen. Hierbij gaat energie verloren. De kinetische energie van het systeem is in de eindtoestand dan ook lager dan in de begintoestand:

Begin: E_k = I.ω₀²/2
Einde: E_k = 2(I.ω²/2) = I ω₀²/4

2. Als de twee cilinders op één as naast elkaar draaien en zijdelings tegen elkaar gedrukt worden, is er wel behoud van impulsmoment.

--- Einde tegenvoorbeeld ---

[bewerk] Arbeid, potentiële en kinetische energie

Men kan ook een arbeid W berekenen die een moment levert bij verdraaiing van het voorwerp:

$W = \int M.d\theta$

met M = moment van de kracht t.o.v. de rotatieas. Bemerk dat een koppel van krachten geen arbeid levert bij een translatie (de som van beide krachten is 0).

En vermogen wordt dan natuurlijk P = M.ω

Kinetische energie:

- stilstaande as:

E_k = I.ω²/2

- bewegende as:

E_k = mv_C²/2 + I_C.ω²/2

Dit is de (tweede) formule van König. De eerste term kan men zien als de bijdrage van de translatie kinetische energie. De afleiding van deze formule werd gegeven onder massacentrum en energie bij het begin van dit hoofdstuk. Alleen werd de kinetische energie van rotatie hier voor een onvervormbaar voorwerp geschreven in termen van ω en het traagheidsmoment.

Hoe kan men beroemd worden met zo'n eenvoudige formule? De uitwerking van (a+b)² levert 3 termen: a² + 2ab + b². Wanneer men de beweging van een voorwerp beschrijft als de beweging van een referentiepunt en een beweging t.o.v. dat referentiepunt, dan zou men in de kinetische energie normaal ook 3 termen aantreffen. Alleen als men als referentiepunt het massacentrum neemt, blijkt dat de kruistermen, van de vorm a.b, wegvallen en alleen de 2 zuivere kwadraten overblijven.

Voorbeeld: kinetische energie van het wiel uit het eerste voorbeeld
De beweging kan op 2 manieren beschreven worden:

als een samenstelling van een translatie van het massacentrum met een rotatie rond een as door het massacentrum. Dan moet men de formule van König gebruiken met in dit geval I_C = m.r²/2:

E_k = mv_C²/2 + m.r².ω²/4

daar v_C = r.ω wordt dit:

E_k = 3.m.r².ω²/4

als een zuivere rotatie rond het stilstaande punt P, het contactpunt met de grond. Dan moet men het traagheidsmoment t.o.v. P gebruiken. Dat werd hoger uitgerekend:

I_P = 3.m.r²/2

Hiermede vindt men dadelijk:

E_k = I_P.ω²/2 = 3.m.r².ω²/4

Potentiële energie kan door rotatie opgestapeld worden in b.v. een spiraalveer:

E _p= C.θ²/2

met C een veerconstante, maar nu met dimensies Nm/rad

Men ziet dat er een perfect parallellisme is tussen de formules van translatie en rotatie. Samen met de hoger gegeven parallellen, ziet men dat de rol van massa overgenomen wordt door het traagheidsmoment, de rol van de kracht door het moment van de kracht.

Klassieke Mechanica/Voorwerpendynamica