Uit Wikibooks

Dynamica

Inhoud 1 Inleiding 2 De wetten van Newton 2.1 Vrijmaken van het voorwerp 2.2 Versnelling bepalen 2.3 Controle 2.4 Uitrekenen 2.5 Tweede voorbeeld 3 Impuls en Behoud van impuls 3.1 Impulsstelling 3.1.1 Voor 1 massa 3.1.2 Voor meerdere massa's 3.2 Behoud van impuls 3.3 Links 4 Arbeid en energie 4.1 Energiestelling voor één massa 4.2 Energiestelling voor meerdere massa's 4.3 Speciaal geval : potentiaal krachten en behoud van energie 4.3.1 Strict behoud van energie 4.3.2 Uitgebreid behoud van energie 4.3.3 Berekening van enkele potentiële energieën 4.4 Vermogen

[bewerk] Inleiding

De dynamica is de studie van de oorzaken van een beweging. Dit kan onder vorm van een antwoord op de vraag wat is de beweging als er een systeem van gegeven krachten werken of wat zijn de krachten die nodig zijn om een bepaalde beweging te bekomen.

In eerste instantie zal men het gedrag van een puntmassa bekijken. Een puntmassa is een geometrisch punt waaraan men een massa toekent. Een punt kan niet roteren. Rotatie onderstelt verandering van richting maar een punt heeft geen richting. Het blijkt nadien dat de wetten die hier afgeleid worden ook toepasselijk zijn op de beweging van het massacentrum van voorwerpen.

Voorwerpen kunnen echter wel roteren. Om die beweging te bestuderen zal men voorwerpen eerst beschouwen als opgebouwd uit puntmassa's en de bewegingsvergelijkingen dan sommeren over alle puntmassa's van het voorwerp. Dit leidt tot specifieke wetten voor de rotatie van voorwerpen. Hierbij wordt geen gebruik gemaakt van de lineaire snelheid van de punten, die verschilt van punt tot punt, maar van de hoeksnelheid, die karakteristiek is voor het hele voorwerp. Verder blijkt de rol die de kracht speelt bij de translatie nu overgenomen door het moment van de kracht en de rol van de massa door het traagheidsmoment.

Er blijkt een zeer groot verschil te bestaan tussen de formules voor de rotatie rond een vaste as, of minstens een bewegende as maar met vaste richting (de rotatie van de wielen van een fiets die mooi rechtdoor rijdt b.v.) en de algemene formules, waarbij de rotatieas voortdurend van richting mag veranderen (zoals bij een fiets die een bocht neemt). Vandaar dat deze in afzonderlijke hoofdstukken behandeld worden.

Dit hoofdstuk over de elementaire dynamica zou men dus ook de dynamica van een puntmassa kunnen noemen. Volgende punten zullen daarbij aan bod komen:

1. Wetten van Newton
2. Impuls en behoud van impuls
3. Arbeid en behoud van energie
4. Centrale kracht

Het laatste punt omvat ook de planetenbewegingen. Dit zijn geen puntmassa's, maar door de grote afstanden ertussen rekent men in eerste instantie met de baan van het massacentrum.

De dynamica van voorwerpen wordt behandeld in dynamica van voorwerpen.

[bewerk] De wetten van Newton

De klassieke mechanica wordt ook wel Newtoniaanse mechanica genoemd omdat de basis ervan gelegd werd door Isaac Newton (1643-1727). Op het vlak van de mechanica droeg hij vooral bij door de drie wetten van Newton en door de algemene gravitatiewet, waardoor hij een wiskundige grondslag gaf aan de wetten van Kepler. Zijn grote werk op dit vlak is "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", soms ook kortweg geciteerd als "Principia" (1684-1686). Het werd nog in het latijn geschreven, terwijl in onze streken Simon Stevin reeds een eeuw vroeger begonnen was met in het Nederlands (van toen) te schrijven. Zijn werk was reeds voorbereid door Galilei Galileo met zijn grondige studie van de vrije val als eenparig versnelde beweging en de conclusie dat een horizontale beweging kan doorgaan met een minimum aan energieverlies. Men kan hierin een aanwijzing zien voor de eerste wet van Newton of de traagheidswet.

Eerste Wet van Newton: de traagheidswet

Een voorwerp waarop geen netto resulterend kracht werkt zal zijn bewegingstoestand behouden: als het in rust is blijft het in rust, als het in beweging is zal het met constante snelheid bewegen in een rechte lijn.

Tweede Wet

Als er een netto resulterende kracht werkt op een voorwerp dan zal dit een versnelling krijgen die evenredig is met de kracht en omgekeerd evenredig met de massa.

Derde Wet of actie-reactie wet

Krachten zijn interacties tussen twee voorwerpen. Als een eerste voorwerp een kracht uitoefent op een tweede, dan zal het tweede een even grote maar tegengestelde kracht uitoefenen op het eerste.

De tweede wet wordt meestal geformuleerd als:

Wiskundig volgt hieruit de eerste wet. Gezien de vroegere problemen die men had om b.v. te verklaren hoe een steen verder beweegt wanneer hij losgekomen is van de hand van de werper, was deze eerste wet een grote stap vooruit.

De tweede wet van Newton is als formulering waarschijnlijk één van de kortste uit de mechanica, maar de toepassing ervan is, zeker in het begin, niet zo evident. Men kan zich bij die toepassing laten leiden door de volgende 4 stappen.

[bewerk] Vrijmaken van het voorwerp

A. Wanneer men de wet van Newton wil toepassen, dan is de eerste vraag welke massa m men wil beschouwen. Men moet telkens zoeken naar krachten die werken op m, op het voorwerp dat men wil bestuderen om de juiste kracht te kiezen uit elk actie-reactiepaar. Om gemakkelijker een antwoord te vinden is het goede praktijk om het voorwerp los van zijn omgeving te tekenen. Dit is de eerste stap in het vrijmaken van het voorwerp. Als er meerdere voorwerpen zijn, dan mag men die alleen samen nemen als:

• ze als één geheel met dezelfde versnelling bewegen;
• als men niet geïnteresseerd is in de krachten tussen deze voorwerpen.

Als eerste voorbeeld wordt een bol aan een touw beschouwd, rustend op een ronddraaiende kegel. In de eerste stap zal men de bol afzonderlijk tekenen, los van de kegel.

B. De tweede stap is het invoeren van alle krachten die vanuit de omgeving op de bal werken. Hierbij moet men zich 2 vragen stellen:
 - werkt de zwaartekracht? Zijn er andere krachten die op afstand werken?
 - waar zijn er contacten met de omgeving? Daar werken normaal ook krachten.

In dit geval moet men voor de eerste vraag positief antwoorden. Men zal dus het gewicht tekenen als aangrijpend in het massacentrum van het voorwerp.

Om de tweede vraag te beantwoorden doet men de ronde van het voorwerp. Hierbij ontdekt men hier 2 contacten met de omgeving:
1. het touw. Het touw trekt aan de bol en de bol trekt aan het touw. De eerste kracht werkt op de bol, de tweede op het touw. Het is dus de eerste die men nodig heeft.
2. er is een contact tussen bol en kegel. De bol drukt op de kegel en de kegel houdt de bol omhoog. Deze laatste is de kracht op de bol. Men moet dus een kracht loodrecht op de kegel tekenen en omhoog. Dit moet de figuur leveren zoals hiernaast.

[bewerk] Versnelling bepalen

C. Eens de krachten ingevuld moet men zich afvragen wat men weet over de versnelling. Hiervoor zal men moeten kijken naar wat men weet over de baan. Als de baan rechtlijnig is, dan zal ook de versnelling de richting van die rechte moeten volgen. Is de baan gekromd, dan is er zeker een versnelling gericht vanuit de holle kant naar het kromtemiddelpunt van de baan. Bij een cirkel is dit kromtemiddelpunt gewoon het middelpunt van de cirkel.

In dit voorbeeld is de baan een horizontale cirkel is. Er is dus een normale versnelling die naar het centrum van die cirkel gericht is. Dat is dus een horizontale versnelling, niet langs de zijkant van de kegel.

In Amerikaanse werken zal men de som van de krachten dikwijls de "applied forces"" noemen en de massa x versnelling de "resultant forces". Dit beantwoordt aan het idee van oorzaken in het ene en gevolg in het andere lid. Alhoewel ma de dimensie van een kracht heeft, lijkt het toch beter het accent te leggen op de versnelling als het basiselement van het rechterlid.

[bewerk] Controle

D. Voor men aan de berekeningen begint, is het goed om even te controleren of wat men getekend heeft wel zinvol is. De tweede wet van Newton is zeer logisch: als er een resulterende kracht is in een bepaalde richting, dan is er een versnelling in die richting. En omgekeerd: als men zeker is dat er een versnelling is in een bepaalde richting, dan moet er een resulterende kracht (mogelijk) zijn in die richting.

Hier is er zeker een horizontale versnelling naar rechts. De resultante van alle krachten zal dus naar rechts moeten gericht zijn. Men ziet dat alleen de spanning in het touw een kracht naar rechts kan leveren. Verticaal moeten de krachten elkaar in evenwicht kunnen houden. Er zijn neerwaartse en opwaartse krachten. Dat is in principe dus mogelijk.

Vooral bij problemen met wrijvingskrachten zal deze controle dikwijls eventuele fouten in de zin van die krachten aan het licht brengen.

[bewerk] Uitrekenen

Men heeft nu de vergelijking waaraan het systeem moet voldoen. Dat is een vectoriële vergelijking in twee dimensies. Er mogen dus twee onbekenden in voorkomen. Als de hoeksnelheid van de kegel en het gewicht van de bol gegeven zijn, dan zijn dat de spanning in het touw en de druk op de kegel. Men kan deze vergelijking nu projecteren op een klassiek horizontaal-verticaal assenkruis. Een goede regel is om te projecteren op de dominerende richting van de vectoren. Hier zijn er twee die volgens een horizontaal-verticaal assenkruis liggen en twee volgens een schuin assenkruis evenwijdig aan en loodrecht op de kegel. Maar de 2 onbekenden liggen volgens dit laatste assenkruis. Als men zo schuin projecteert krijgt men twee vergelijkingen met telkens maar 1 onbekende. Dat is dus de snelste oplossingsmethode.

Zij α de basishoek van de kegel, ω de hoeksnelheid van de kegel.
Zij l de lengte van het touw + de straal van de bol. Dan is de straal van de cirkel beschreven door het massacentrum van de bol gegeven door r = l.cos α
De normale versnelling wordt dan: a_n = r.ω²
De projectie langs de kegel wordt dan:

  met enkel S als onbekende

Projectie loodrecht op de kegel levert dan:

  met enkel D als onbekende

Het is typisch dat sinus en cosinus afwisselen in de vergelijkingen als men op orthogonale assen projecteert.

De laatste figuur schetst de evolutie van het systeem bij stijgende hoeksnelheid van de kegel. Bij kleine hoeksnelheid zal a_n klein zijn, zodat er een druk D nodig is om de veelhoek te sluiten. Bij stijgende hoeksnelheid komt er een punt waarop D=0 is. Stijgt de hoeksnelheid nog verder, dan zou D naar beneden gericht moeten zijn om de bol op de kegel te houden. Kan dat niet, dan zal het touw een kleinere hoek maken met de horizontale opdat de horizontale component van de spanning in het touw zou kunnen toenemen terwijl de verticale component gelijk blijft aan het gewicht. De bol komt dan los van de kegel en gaat iets erboven hangen.

[bewerk] Tweede voorbeeld

Twee blokken liggen op elkaar. Aan het onderste wordt getrokken met een kracht F, het bovenste wordt tegengehouden door een touw, dat schuin gespannen is onder een hoek van 30°. Tussen de blokken is er wrijving met wrijvingscoëfficiënt f₁, tussen het onderste blok en de grond met wrijvingscoëfficiënt f₂. Dit betekent dat er een wrijvingskracht optreedt die f maal de druk is op het oppervlak. Welke versnelling krijgt het onderste blok?

Men mag dit probeempje niet te eenvoudig benaderen. Als aan het onderste blok getrokken wordt, zal het bovenste willen meebewegen naar rechts. Daardoor komt er een spanning in het touw. Daar het touw schuin gespannen is wordt het bovenste blok lichtjes opgetild. Het druk dus niet meer met zijn volle gewicht op het onderste blok. In welke mate het opgetild wordt hangt af van de spanning in het touw, die afhangt van de wrijvingskracht, die afhangt van de druk tussen beide blokken, die weer afhangt ... van de spanning in het touw. Dit is geen cirkelredenering. Dat twee veranderlijken mekaar beïnvloeden is vrij frequent en stelt algebraisch geen probleem, zoals verder zal blijken.

- Over welke massa's moet men praten? Daar men de kracht tussen beide blokken nodig heeft en beide een verschillende versnelling hebben, moet men zeker beide blokken afzonderlijk beschouwen. Men tekent ze dan ook best ietwat uit elkaar.
- Wat is de zin van de wrijving? Het bovenste blok moet door de wrijving naar rechts geduwd worden. Dus is de wrijving die daarop werkt zeker naar rechts gericht. De reactie hierop werkt op het onderste blok en is dan naar links gericht. Deze is als de vector -w₁ genoteerd. Welk vector van het actie-reactiekoppel men met een + en welke men met een - noteert, kan vrij gekozen worden. De + en - betekenen alleen dat men te maken heeft met twee even grote maar tegengesteld gerichte vectoren, wat typisch is voor een actie-reactiekoppel. Bij het opschrijven van de projecties wordt met dit min-teken uit de vectoriële notatie geen rekening gehouden. Dan kijkt men alleen naar de zin van de vector t.o.v. de projectierichting. Er blijft dat bij projectie op zelfde assen, de projecties van actie en reactie tegengesteld teken moeten hebben. Zie infra b.v. voor W₁.

Na het vrijmaken en het invullen van alle krachten moet een figuur bekomen zoals hiernaast. Men kijgt dan voor de projecties op een klassiek xy-assenkruis:

Voor m₁:

  (1)

  (2)

  (3)

Voor m₂

  (4)

  (5)

  (6)

Er blijken zes vergelijkingen te zijn voor zes onbekenden. Dat moet normaal oplosbaar zijn. Na invullen van (3) in (1) en een beetje herschikken van (1) en (2) bekomt men:

  (1b)

  (2b)

Dit blijkt een stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden, dat dus afzonderlijk oplosbaar is. Men kan S elimineren door (1b) te vermenigvuldigen met sin 30° en (2b) met cos 30° en beide lid aan lid op te tellen. Het resultaat is:

Op analoge manier kan men D₁ elimineren door (2b) met -f₁ te vermenigvuldigen en lid aan lid op te tellen:

Als men als numerieke gegevens neemt: m₁ = 2 kg, m₂ = 5 kg, f₁ = 0,1 , f₂ = 0,2 en F = 30 N, dan bekomt men als numerieke oplossing:

D₁ = 18,909 N

S = 2,183 N

Uit (5) haalt men:

D₂ = G₂ + D₁ = 50 + 18,909 = 68,909

(4) kan herwerkt worden tot:

-f₁D₁ - f₂.D₂ + F = m₂.a

Invullen van de numerieke gegevens leidt tot a = 2,87 m/s²

De fout die bij dit soort problemen soms gemaakt wordt is dat men inziet dat de druk D₂ beïnvloed wordt door het gewicht van m₁. Sommigen willen dat verrekenen door voor het gewicht van m₂ het gewicht van beide massa's te verrekenen. Dit soort beïnvloeden wordt echter verrekend via de verbindingskrachten, hier D₁ en W₁. Men moet de krachten bij hun aangrijpingspunt laten en nooit een kracht die op een bepaalde massa werkt opschrijven in de vergelijkingen van een andere massa.

[bewerk] Impuls en Behoud van impuls

Een massa onderworpen aan de wet van Newton, kan men volgen in de tijd. Wiskundig komt dit neer op het integreren van beide leden van de wet van Newton naar de tijd. Hierbij worden de volgende nieuwe begrippen ingevoerd:

de stoot: 
de impuls of hoeveelheid van beweging:

Uit de eerste definitie wordt de eenheid voor stoot en hoeveelheid van beweging afgeleid als Newton.seconde, met symbool Ns.

[bewerk] Impulsstelling

[bewerk] Voor 1 massa

Dit is rechtstreeks de integraal van beide leden van de wet van Newton tussen een beginogenblik, hier met index "init" van "initieel", en een eindogenblik, hier met index "fin" van "finaal"

Dit is een vectoriële wet die dicht aansluit bij de tweede wet van Newton. Men zal dezelfde techniek voor het vrijmaken van de massa m moeten volgen. In de vectoriële formule staat een minteken, maar als bij projectie de term die volgt ook negatief is, dan kan het in de praktijk een som worden.

Voorbeeld

Een bal beweegt wrijvingsloos over een horizontaal vlak en botst tegen een volkomen gladde verticale wand. Men stelt vast dat de bal de wand nadert onder een hoek van 60° en teruggekaatst wordt onder een hoek van 50°. Bereken de snelheid na de botsing en de stoot van de wand op de bal. Snelheid voor de botsing: 4 m/s ; massa van de bal: 0,1 kg.
Nota: alleen bij een volkomen elastische botsing zou de uittreehoek moeten gelijk zijn aan de invalshoek.

Oplossing
De bal botst tegen een "volkomen gladde wand". Hiermede geeft men aan dat de kracht van de wand op de bal steeds loodrecht op de wand zal staan. De stoot als integraal van de kracht over de botsingstijd zal dus ook loodrecht op de wand staan. Er zijn dus 2 onbekenden in het probleem: de grootte van de stoot en de grootte van de snelheid na de botsing. Volgens bovenstaande impulsstelling kan men opschrijven:

Men kan deze vergelijking projecteren op een klassiek horizontaal-vertikaal assenkruis:

De eerste vergelijking zou men met -1 kunnen vermenigvuldigen. Dan worden alle mintekens een + en wordt het rechterlid een som. Uit de laatste vergelijking volgt onmiddellijk:

Dit invullen in de eerste vergelijking levert de stoot:

[bewerk] Voor meerdere massa's

Wanneer men meerdere massa’s heeft, kan een deel beschouwd worden als het systeem waarover men praat en de rest als niet behorend tot dat systeem. Voor de krachten wordt dan een onderscheid ingevoerd tussen:
- inwendige krachten: krachten tussen twee massa’s die behoren tot het systeem. De inwendige krachten moeten, volgens het derde postulaat van Newton steeds onder de vorm van aktie-reaktieparen voorkormen.
- uitwendige krachten: krachten die van buitenuit op één der massa’s van het systeem werken. Ze krijgen hier de index "ext" voor "extern".

Wanneer de bovenstaande stelling toegepast wordt op op elke massa van het systeem en men dan sommeert over alle massa’s van het systeem, vallen de stoten van de inwendige krachten tegen elkaar weg.De inwendige krachten vormen immers actie-reactieparen die even lang werken. Alleen de stoten van de uitwendige krachten kunnen de totale hoeveelheid van beweging van het systeem beïnvloeden:

Bemerk dat er nu ook gesommeerd wordt over alle massa's. Alhoewel in de formules dezelfde index gebruikt wordt, kan elke som over een ander aantal elementen lopen. Bij een explosie b.v. kan men in het begin één massa hebben en een grote hoeveelheid brokstukken na de explosie.

[bewerk] Behoud van impuls

Van deze laatste uitdrukking bestaat een speciaal geval. Als de som van de uitwendige stoten nul is, dan staat er dat de eindtoestand nog gelijk is aan de begintoestand. Kortweg zegt dat dan dat de totale impuls constant is of behouden blijft. In wiskundige vorm:

Het kan ook gebeuren dat de voorwaarde dat de som van de uitwendige stoten nul is alleen opgaat voor de projectie ervan op een bepaalde richting. Dan staat er dat voor de projecties op die richting de eindtoestand nog gelijk is aan de begintoestand of m.a.w. dat er behoud geldt volgens die richting. Dit is het geval voor de richting langs de wand van vorig voorbeeld. De projectie van de vergelijking langs de wand zegt dat er evenwijdig aan de wand behoud van impuls is. In deze aardse wereld zitten we altijd met het gewicht als verticale uitwendige kracht, zodat behoud van impuls dikwijls alleen in het horizontale vlak zal kunnen toegepast worden, b.v. bij botsende biljartballen. Een andere mogelijkheid om de invloed van de zwaartekracht te mogen verwaarlozen is te stellen dat de botsingstijd zeer klein is, waarover verder meer.

In de praktijk zal men niet de constante berekenen, maar past men behoudswetten toe door de som van de hoeveelheden van beweging te maken op een eerste ogenblik en daarna die som ook te maken op een tweede ogenblik en dan te stellen dat beide sommen moeten gelijk zijn. Voor Behoud van Energie zal het gaan over sommen voor twee verschillende posities van het systeem, daar deze wet afgeleid wordt door integratie in de ruimte.

Bij een botsing geldt er steeds behoud van impuls, maar niet noodzakelijk behoud van energie. Wanneer er bij een botsing ook de energie behouden blijft, spreekt men van een volkomen elastische botsing. Dit impliceert dat de voorwerpen zeker niet aan elkaar blijven kleven. Wanneer twee botsende voorwerpen aan elkaar blijven kleven dan heeft men een volkomen niet-elastische botsing. Een grondige studie van botsingen behelst dus meer dan behoud van impuls en wordt daarom naar verder verschoven.

Voorbeeld

Een biljartbal wordt met een snelheid van 5 m/s tegen een stilstaande bal geschoten. Men stelt vast dat deze bal uitwijkt onder een hoek van 60° en dat de andere bal vertrekt onder een hoek van 30° t.o.v. de snelheid van de aankomende bal. Bereken de snelheid van beide ballen.

Oplossing
Dit is een interactie tussen de 2 ballen zonder invloed van krachten van buitenuit. Er geldt dus een behoud van impuls. Men schrijft dus dat de impuls voor de botsing moet gelijk zijn aan de totale impuls na de botsing:

Dit kunnen we projecteren op een horizontale en een vertikale as:

Als alle massa's dezelfde zijn kunnen deze weggedeeld worden uit de vergelijkingen. De eenvoudigste manier om dit soort lineaire stelsels op te lossen is beide vergelijkingen te vermenigvuldigen met een coëfficiënt zodat de onbekende die men weg wil tegengestelde coëfficiënten krijgt en wegvalt als men lid aan lid optelt. Om v_r weg te werken zal men dus de eerste vergelijking vermenigvuldigen met sin 30° en de tweede met cos 30° en lid aan lid optellen. Dit levert:

v₀.sin30 = v_b(cos60.sin30 + sin60.cos30) = v_b.sin90 = v_b

Dus v_b = 5.sin 30° = 2,5 m/s

Op analoge manier werkt men v_b weg door de eerste vergelijking te vermenigvuldigen met sin 60° en de tweede met -cos 60°. Dit levert op analoge manier dat v_b = v_b.sin 60° = 5.sin 60° = 4,33 m/s

Nota: het is geen toeval dat de ballen onder een hoek van 90° uit elkaar gaan. dit blijkt een eis van het behoud van energie: 5² = 2,5² + 4,33². Als men behoud van energie mag toepassen bij dit probleem, dan moet maar één richting na de botsing gegeven worden om het probleem te kunnen oplossen.

Nota: botsingstijd zeer klein
Om berekeningen te vereenvoudigen zal men dikwijls stellen dat “de botsingstijd zeer klein is”. Deze idealisatie heeft twee gevolgen:

1. de invloed van niet-botsingskrachten mag verwaarloosd worden.
2. er kan een omwisseling van snelheden gebeuren zonder verandering van plaats.

Voor het eerste punt: als men dezelfde verandering van impuls wil bereiken in een steeds kortere tijd, dan zal de kracht die hiervoor moet zorgen steeds groter moeten worden. De andere krachten, zoals b.v. het gewicht, nemen echter niet toe naarmate de interactietijd kleiner wordt. Hun invloed wordt dus verwaarloosbaar bij zeer kleine interactietijden.

Voor het tweede punt: wanneer b.v.een biljartbal tegen een stilliggende biljartbal aanbotst, zal men een eerste ogenblik hebben waarbij de eerste bal beweegt en de tweede stil ligt en een volgend ogenblik waarop de eerste stil ligt en de tweede beweegt, zonder dat beide ballen van plaats veranderd zijn.

Dit laatste effect is te begrijpen uit het feit dat deze idealisatie leidt tot een snelheden, die in één ogenblik overgaan naar de nieuwe waarden. Daar verplaatsing de integraal is van de snelheid over de tijd, is er op het eerste ogenblik van de nieuwe snelheid nog geen verplaatsing omdat er dan nog geen interval is waarover kan geïntegreerd worden.

Hoe realistisch is deze idealisatie? Wanneer een smid zijn hamer losjes op het aambeeld laat neerkomen en terug opwippen is de contacttijd enkele honderdsten van een seconde. Als men geïnteresseerd is in wat er seconden nadien gebeurt, dan is dat inderdaad te verwaarlozen.

[bewerk] Links

Er bestaan op internet heel wat simulaties van botsingen. Een bekende, met elastische en niet-elastische botsingen in te vinden bij de applets van Walter Fendt: http://www.walter-fendt.de/ph14d/ (in verscheidene talen)
Een lijstje van interessante sites kan men vinden op http://fys.kuleuven.be/pradem/fysaplet.htm

[bewerk] Arbeid en energie

Men kan een voorwerp dat onderworpen is aan de tweede wet van Newton volgen langs de baan. Het is uit de dagelijkse ervaring duidelijk dat wanneer men tegen iets duwt om dat te verplaatsen, men dan arbeid levert. Wanneer een kracht van punt tot punt kan verschillen gedurende deze verplaatsing, zal men een beroep moeten doen op een integraal om deze arbeid uit te rekenen. Voor het product van twee vectoren bestaan echter twee mogelijkheden: scalair en vectorieel product. Het blijkt dat we hier het scalair product nodig hebben want het resultaat moet een reëel getal zijn.

[bewerk] Energiestelling voor één massa

Indien er maar 1 massa is kan er maar 1 verplaatsing zijn. In differentiaalvorm krijgt men:

Met de substitutie krijgt men

Als men zich in het rechterlid nu beperkt tot v als variabele en de verdere afhankelijkheid van v t.o.v. de tijd niet beschouwt, dan krijgt men:

Integreren van beide leden tussen een positie 1 en een positie 2 levert:

Men definieert nu:

Arbeid: 
Kinetische energie: 

De stelling zegt dus: de arbeid van de kracht gaat naar de verandering van kinetische energie van het voorwerp.

Arbeid en energie worden uitgedrukt in Joule, symbool J. 1 J = 1 N x 1 m.(Qua dimensie komt dit dus overeen met een moment met eenheid Nm, Newton-meter)

Dus
Wanneer de arbeid positief is dan wordt er energie geleverd aan het voorwerp. Wanneer de arbeid negatief is wordt er energie onttrokken aan het voorwerp.

Men kan hier een link leggen met wat in de kinematica verteld wordt. Als een kracht loodrecht staat op de baan van een massa, dan zal die massa ook een versnelling krijgen die loodrecht staat op die baan (tweede wet van Newton). Bij een versnelling loodrecht op de baan verandert de richting van de snelheid maar niet de grootte. De kinetische energie van het voorwerp blijft dus constant. Men ziet dat door het scalair product in de berekening van de arbeid geleverd door de kracht, die kracht dan ook geen arbeid levert. Heeft de kracht wel een component volgens de raaklijn aan de baan, dan zal er een verandering zijn van grootte van de snelheid en dus van de kinetische energie.

[bewerk] Energiestelling voor meerdere massa's

De vorige formule moet op elke massa toegepast worden. Alhoewel de inwendige krachten in paren voorkomen, is het niet altijd zo dat de verplaatsing van het aangrijpingspunt van de actie- en reactiekracht dezelfde is. Een voorbeeld hiervan vindt men op het einde van deze paragraaf. Men moet dus zowel de arbeid van de inwendige als van de uitwendige krachten verrekenen:

Hierbij loopt j over alle massa's en i over alle krachten op elke massa. Meestal vervangt men de dubbele som in het linkerlid door één som lopend over alle inwendige en uitwendige krachten.

Een grote vereenvoudiging van deze formule treedt echter op als men te maken heeft met ideale verbindingen. Een ideale verbinding wordt gedefinieerd als een verbinding die geen arbeid levert en er ook geen opneemt. De krachten die optreden in ideale verbindingen kan men in bovenstaande energieberekening dus rustig weglaten.

Om het mechanisme van de ideale verbindingen te begrijpen, moet men een onderscheid maken tussen inwendige verbindingen en verbindingen met de omgeving.

- Voor inwendige verbindingen komt het erop neer dat zowel actie- als reactiekracht dezelfde verplaatsing ondergaan volgens de richting of werklijn van de krachten. Daar beide krachten echter een tegengestelde zin hebben, zal de totale arbeid nul zijn. Er is echter wel iets gebeurd: er is energie van één onderdeel van het systeem naar een ander onderdeel overgebracht, daar elke component van het actie-reactiekoppel op een ander onderdeel werkt. Dit is b.v. duidelijk het geval bij een scharnier.

- Bij verbindingen met de omgeving werkt slechts één van beide krachten op het beschouwde systeem. De mogelijkheden om geen arbeid te hebben zijn dan ofwel geen verplaatsing (b.v. vaste scharnier) of een verplaatsing loodrecht op de kracht (b.v. volkomen glad oppervlak: schaatser op ijs, luchtkussentafel).

Als voorbeeld van een geval waarbij actie en reactie niet dezelfde verplaatsing hebben, kan men het geval beschouwen van een kist die men vooruitduwt. Er is wrijving tussen de kist en de grond. De wrijvingskracht die aangrijpt op de grond en de wrijvingskracht die aangrijpt op de kist vormen een actie-reactiekoppel. Maar het aangrijpingspunt van de wrijving op de kist verplaatst zich met de kist. Er wordt dus arbeid onttrokken aan de kist (die uiteindelijk moet geleverd worden door de man die de kist duwt). De wrijvingskracht op de grond grijpt telkens op een ander punt aan, maar ieder van die punten staat stil. Er wordt dus geen mechanische arbeid doorgegeven aan de grond. De arbeid die onttrokken wordt aan de kist zal vooral gaan naar wrijvingswarmte en dus als mechanische energie verdwijnen uit het systeem.

[bewerk] Speciaal geval : potentiaal krachten en behoud van energie

Het blijkt dat de arbeid van sommige krachten onafhankelijk is van de gevolgde weg en alleen bepaald wordt door begin- en eindpunt. Deze krachten noemt men conservatieve krachten of potentiaalkrachten.

Voor deze krachten geldt ook dat als men een weg in één zin en daarna in de tegengestelde zin doorloopt (omwisselen van begin- en eindpunt), men dezelfde arbeid eens zal moeten leveren en eens zal ontvangen. Bij het doorlopen van een gesloten kromme moet de arbeid dus nul zijn. Als een integraal van een functie over een gesloten kromme nul is, dan moet de rotor van deze functie binnen de kromme nul zijn:. Dit levert dus een middel om te controleren of een gegeven kracht een potentiaalkracht is of niet. De naam 'rotor' is ontstaan omdat een voorwerp dat geplaatst wordt in een krachtveld met rotor verschillend van 0, de neiging zal vertonen te beginnen draaien.

Een eenvoudig voorbeeld is het water in een beek dat trager stroomt tegen de zijkant dan in het midden. In het voorbeeld van de figuur hiernaast is v_y = -0,5.x² + 2x . Als men hierin een vierkant plankje laat drijven dicht bij de oever, dan zal het deel dat meer in het midden van de beek ligt harder vooruit geduwd worden dan het deel bij de oever. Het plankje zal daardoor beginnen draaien. Men vindt hier voor de rotor alleen een z-component. Een positieve component betekent een rotatie in tegegnwijzerzin (van x- naar y-as). Men vindt:

Voor x<2 levert dit een positief resultaat, voor x>2 een negatief resultaat, zoals men intuïtief ook verwacht.

Wanneer een kracht een potentiaalkracht is, dan definieert men de potentiële energie van een voorwerp in een bepaalde positie onder invloed van die potentiaalkracht als het tegengestelde van de arbeid die nodig is om het voorwerp in die positie te brengen:

In het rechterlid staat een onbepaalde integraal. Deze is slechts op een constante na bepaald. Normaal zal men een ijking uitvoeren door:

• ofwel van deze onbepaalde integraal een bepaalde integraal te maken door een vaste vertrekpositie in te voeren
• ofwel de constante te ijken door een bepaalde waarde toe te kennen aan de potentiële energie in een bepaalde positie. Om de zaken eenvoudig te houden zal men meestal deze energie gelijk aan nul kiezen op de plaats waar de integrand ook nul is. Op die manier hoeft men geen constante mee te nemen bij het uitrekenen van de potentiële energie.

Uit bovenstaande betrekking volgt dan ook dat de arbeid geleverd door een potentiaalkracht bij verplaatsing van een positie naar een andere, het tegengestelde is van de verandering van potentiële energie.

Wanneer de rotor van een functie nul is, dan kan deze functie ook altijd geschreven worden als de gradiënt van een andere functie. Hier betekent dit dat men de potentiële energie ook kan definiëren als een functie zodanig dat de kracht het tegengestelde is van de gradiënt van deze functie:

Deze definitie is wiskundig iets veiliger - men moet niet eerst een speciale eis stellen aan de kracht - maar geeft minder fysisch inzicht in de betekenis van potentiële energie en geeft ook geen manier om deze te berekenen. Zie ook gradient en nabla-operator.

Bemerk dat men in de praktijk bijna altijd met verschillen in de potentiële energie zal moeten werken en dat het verschil van twee functiewaarden alleen gelijk is aan de functiewaarde van het verschil van de argumenten voor een lineaire functie. Dit betekent in de praktijk dat men, indien de potentiaalfunctie een lineaire functie is, op elke willekeurige plaats de oorsprong kan leggen van het argument en er de potentiële energie gelijk aan nul stellen zonder een constante te moeten meenemen in de uitdrukking van de potentiële energie. Dit is het geval bij de formule voor de potentiële energie van de gravitatie aan het aardoppervlak (E_p = mgh), maar niet voor de potentiële energie volgens de algemene gravitatieformule of voor de potentiële energie van een veer.

[bewerk] Strict behoud van energie

Bij een systeem dat uitsluitend beïnvloed wordt door potentiaalkrachten, kan men de arbeid geleverd door deze krachten in hetzelfde lid brengen als de kinetische energie en opschrijven als het tegengestelde van de verandering van de potentiële energie. Men bekomt dan een som waarvan de waarde constant moet blijven, een hoeveelheid die behouden moet blijven. Deze hoeveelheid noemt men de mechanische energie. Wiskundig schrijft men de wet van behoud van energie kortweg op als:

Dit constant blijven geldt in eerste instantie voor een verandering van positie. Daar men echter geen ogenblikkelijke verandering van positie kan hebben (versnelling oneindig!), zal er ook altijd een tijdsverschil nodig zijn. Bij behoud van hoeveelheid van beweging speelt in de eerste plaats het tijdsverschil en dit kan eventueel zonder verschil in positie van de betrokken massa's. Hier heeft het geen zin om het systeem te bekijken in dezelfde positie maar op twee verschillende tijdstippen: de snelheden en de potentiële energie(ën) moeten dan dezelfde zijn. Essentieel is hier dat men twee verschillende posities bekijkt.

Daar de potentiële energie functie is van de plaats en de kinetische energie functie van de snelheid (en/of hoeksnelheid), legt deze wet een verband tussen positie en snelheid. En daar de kinetische energie het kwadraat van de snelheid bevat, houdt ze geen rekening met de richting van de snelheid. M.a.w. deze wet zegt dat een massa die aan deze wet onderworpen is, steeds met even grote snelheid door een gegeven positie (in termen van het argument van de potentiële energie) zal passeren, wat ook de richting van de snelheid zij.

In de praktijk bepaalt men best deze som in beide posities, liever dan de afzonderlijke verschillen:

Bemerk dat de correcte formulering in termen van verschillen is:

Het is dus niet "het verschil in potentiële energie is gelijk aan het verschil in kinetische energie" maar wel "het verschil in potentiële energie is het tegengestelde van het verschil in kinetische energie".

[bewerk] Uitgebreid behoud van energie

In de praktijk zijn er veel problemen waarbij niet-potentiaalkrachten optreden zoals b.v. wrijving. Men kan dan toch de energiebalans zodanig schrijven dat men kan zeggen dat de som van de energieën in een eerste positie gelijk is aan de som van de energieën in de tweede positie. Brengt men in de energiestelling de potentiaalkrachten naar het rechterlid over en behoudt men alleen de niet-potentiaalkrachten in het linkerlid dan kan met schrijven:

U = Δ E_p + Δ E_k

met U de arbeid van de niet-potentiaalkrachten.

Men kan nu deze arbeid verdelen over de arbeid die geleverd wordt aan het systeem en de arbeid die onttrokken wordt aan het systeem. De eerste arbeid is positief en die laten we in het linkerlid als E_{geleverd aan 't systeem}. De tweede arbeid is negatief. Als men die overbrengt naar het rechterlid dan wordt ook die positief. Men kan die noteren als |E_{onttrokken uit 't systeem}|. Men krijgt dan de volgende uitgebreide behoudsformulering:

Het voordeel van deze formulering is dat het een somformulering is: een som is commutatief en kan zoveel termen bevatten als men wil.

[bewerk] Berekening van enkele potentiële energieën

1. Potentiële energie van de aantrekkingskracht op aarde

In een assenkruis met x- en y-as in het horizontale vlak en de z-as vertikaal omhoog kan men de aantrekkingskracht van de aarde schrijven als m(0,0,-g). In hetzelfde assenkruis wordt . De potentiële energie wordt dan:

Bemerk dat men bij een z-as naar beneden als resultaat -mgz + C bekomt

Daar dit een lineaire functie van z is, kan men voor het berekenen van verschillen in potentiële energie de oorsprong in een willekeurig punt gelijk aan nul stellen en tevens in dit punt de constante gelijk nul kiezen. Alleen bij een lineaire functie geldt immers: L(x2) - L(x1) = L(x2 - x1), m.a.w; alleen het verschil van de argumenten telt, niet hun feitelijke waarde. Dit leidt tot de practische formule:

Ep(mg) = mgh

Waarbij men h=0 mag kiezen waar men wil en h moet stijgen met de hoogte boven het nulniveau.

2. Potentiële energie van de algemene gravitatie

Als men zich op grote afstand van de aarde bevindt, kan men de aantrekkingskracht van de aarde niet meer als constant beschouwen. Men moet dan beroep doen op de formule van de algemene gravitatie. De kracht tussen de voorwerpen is daarbij alleen functie van de afstand tussen de voorwerpen, d.i. alleen functie van r als men in bolcoördinaten werkt. Hierbij moet r bepaald worden als de afstand tussen de massacentra. De kracht tussen de massa m₁ en m₂ wordt dan:

.

In bolcoördinaten is . De drie eenheidsvectoren die hierin voorkomen staan loodrecht op elkaar. Na het scalair product tussen kracht en deze dr blijft dus alleen de term in dr over. Die invullen in de basisformule levert:

Bemerk dat het uiteindelijke minteken afkomstig is van de r^-1 in de integraal.

Dit is geen lineaire functie in r. Om geen constante te moeten meenemen moet men een referentiepunt kiezen waar de protentiële energie nul is. Dat punt is op r oneindig. Het gevolg is wel dat voor alle reële afstanden de potentiële energie negatief is. Men moet daarbij erop letten dat -100 kleiner is dan -10 en dat weer kleiner dan 0. M.a.w. alhoewel de potentiële energie dan 0 is op oneindig, is die waarde op oneindig nog altijd de hoogste waarde. Dit levert de bekende formule:

Bij het bekende probleem van de ontsnappingssnelheid uit de aantrekkingskracht van de aarde zal men moeten stellen dat op het aardoppervlak geldt:

Op oneindig zijn beide nul. Men krijgt dan:

E_p(aardopp.) + E_k(aardopp.) = 0

- G.m_a.m₂/r_a + m₂v²/2 = 0

G.m_a.m₂/r_a = m₂v²/2

v² = 2G.m_a/r_a

Hierin is G.m_a = 4.10¹⁴ in m/kg.s² (MKS-eenheden) en r_a = 6730 km (gemiddeld). dit levert een ontsnappingssnelheid van 11,2 km/s

Het is dus niet E_p(aardopp.) = E_k(aardopp.)! Als men dit opschrijft moet men de vierkantswortel trekken uit een negatief getal.

3. Potentiële energie van een veer

De grootte van de veerkracht is gegeven door k(x-x₀), waarin x₀ de onbelaste positie is van het losse einde van de veer, x de actuele positie en k de veerconstante, die normaal uitgedrukt wordt in Newton/meter of met symbolen voor de eenheden: N/m. Veer en massa zijn hier uit elkaar getekend om duidelijk te kunnen aangeven welke kracht op wat werkt. Men moet de kracht op het blokje in rekening brengen. Men krijgt dan:

Stelt men deze E_p = 0 bij x = x₀ dan wordt ook C=0. Men krijgt dan de bekende formule, met l de actuele lengte van de veer en l₀ de onbelaste lengte:

Ep(veer) = k(l-l0)2/2

Wanneer aan beide einden van de veer getrokken wordt moet men bedenken dat de beide veerkrachten gelijk maar tegengesteld moeten zijn omwille van het 3e postulaat en het feit dat de massa van de (ideale) veer nul is. Men komt dan op een uitdrukking waarbij alleen de verandering van de lengte van de veer een verandering in potentiële energie veroorzaakt, wat op fysische gronden natuurlijk evident is. De bovenstaande formule blijft dan dus geldig.

Bemerk dat het minteken alleen zinvol is in de vectoriële vorm voor de kracht van de veer. Het zegt dat de zin van de kracht altijd tegengesteld is aan de zin van de vervorming van de veer. Daar het hier om een ééndimensioneel probleem gaat, laat men dikwijls de vectorstreepjes weg. Men weet dan echter niet waarover men juist aan het praten is: alleen over de grootte of over grootte en zin van de kracht? Als men over de grootte van de kracht wil praten, dan moet men de norm nemen van beide leden van de vectoriële vorm en dan is het eerste wat verdwijnt het minteken voor het rechterlid van de vectoriële vorm hierboven.

Voorbeeld

De afbeelding stelt een schaaltje voor dat aan een veer hangt. De onbelaste lengte van de veer is 10 cm, de veerconstante 100 N/m en het schaaltje weegt 100 g. Wat is de nieuwe lengte van de veer met het schaaltje eraan en in rust?

Als het schaaltje in rust hangt, wordt het gewicht van het schaaltje in evenwicht gehouden door de kracht van de veer:

mg = k(l - l₀)

of met de getalwaarden:

0,1.10 = 100(l - 0,1)

Hieruit vindt men dat de actuele lengte l = 0,11 m of 11cm.

Men legt nu in het schaaltje een massa van 200 g. Bereken de maximale uitwijking van het schaaltje.

Oplossing: Wanneer men een massa van 200 g in het schaaltje legt, is de kracht van de veer niet meer voldoende om dit totale gewicht van 300 g op te houden. Het schaaltje zal naar beneden versnellen en met een zekere snelheid door de nieuwe evenwichtsstand passeren. Eens voorbij die stand wordt het afgeremd door de veer omdat de kracht van de veer dan groter is dan 3 N. Uiteindelijk zal het schaaltje stoppen, maar dan ogenblikkelijk terug naar boven versnellen. Het hele gebeuren wordt beheerst door de wet van behoud van energie. Men past die toe door de totale energie te berekenen bij de begin- en bij de eindpositie. Om die posities te bepalen wordt een x-as naar beneden ingevoerd met nulpunt in de vertrekpositie van het schaaltje.
Beginpositie: potentiële energie van de zwaartekracht = 0

potentiële energie van de veer = k(l - l₀)²/2 = 100(0,01)²/2 = 0,005 J

E_k = 0

De eindpositie is die waarbij de snelheid = 0 is en dus ook E_k = 0. Voor potentiële energieën geldt:

veer: ment moet rekenen met de totale uitrekking van de veer en dat is x + 1 cm. Dus

E_p = 100(x+0,01)²/2

zwaartekracht: E_p = -mgx = -0,3.10.x

Alles bij elkaar levert dit de vergelijking:

0,005 = -3.x + 100(x+0,01)²/2

Dit is een kwadratische vergelijking in x. Er zijn dus 2 oplossingen: x = 0,04 m en x = 0 m. Als men het houdt bij de beschrijving zoals hierboven gegeven, dan blijft dit systeem ten eeuwigen dage tussen deze posities op en neer gaan. In werkelijkheid treedt er energieverlies op door de luchtweerstand en door inwendige verliezen in de veer, zodat de beweging na een tijdje stopt in een nieuwe evenwichtsstand. Deze stand ligt bij een lengte van de veer van 13 cm (cfr.eerste deel). De beide gevonden oplossingen liggen symmetrisch t.o.v. van deze stand want ze beantwoorden resp. aan een lengte van 15 cm en 11 cm.

Een variant op dit probleem bestaat erin dat de massa vanaf een zekere hoogte h boven het schaaltje erin valt en eraan blijft kleven. Dan bestaat het probleem uit 3 fazes: het vallen van de massa wordt beheerst door behoud van energie. De botsing met het schaaltje, waarbij men onderstelt dat er wel verandering van snelheid is maar niet van positie, door behoud van impuls. De beweging na de botsing wordt opnieuw beheerst door behoud van energie, maar er is nu wel een E_k in de beginpositie.

[bewerk] Vermogen

Het vermogen geleverd door een kracht is de arbeid per tijdseenheid of P = dA/dt.

Hieruit volgt op basis van de definitie van differentiaal (niet door dt van rechter- naar linkerlid over te brengen):

Het vermogen wordt uigedrukt in Watt met symbool W. 1 W = 1 J/s.
Vermogen x tijd levert opnieuw energie. Een bekende practische eenheid die volgens dit stramien gemaakt is is de kilowattuur of KWh. 1 KWh = 3,6.10⁶ J of 3600 KJ.