Sterkteleer/Axiale trek en druk

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Modules
1. Inleiding
2. Evenwichtsvergelijkingen - inwendige en uitwendige krachten
3. Bepaling van de snedekrachten
4. Basisbegrippen I: Spanningen - Vervormingen - Rek - Glijding
5. Basisbegrippen II: Wet van Hooke - Vervormingsenergie
6. Axiale trek en druk I
7. Axiale trek en druk II
8. Wringing I
Overzicht belangrijkste formules
Formularium, inclusief verwijzigingen
Oefeningen
Begrippenlijst, inclusief verwijzigingen
Voorbeelden, inclusief uitwerkingen
Oefeningen
Verwijzigingen
Literatuur, geraadpleegde literatuur en externe links
Software
Collegeaantekeningen
Evaluatie/feedback/opmerkingen/vragen/suggesties.


Met de vergelijkingen die opgebouwd zijn in de modules "basisbegrippen" kunnen in principe de interne spanningen en verplaatsingen in elk punt van een lichaam berekend worden. We zullen deze formules toepassen op enkele specifieke belastingsgevallen, zoals "Axiale trek en druk", "Wringing", "Buiging" en "Afschuiving". Het eenvoudigste belastingsgeval is de zuivere axiale trek of druk, welk we in deze module behandelen.

Spanningen en vervormingen[bewerken]

In dit deel herwerken we de basisvergelijken voor spanningen en vervormingen voor het specifieke belastingsgeval "axiale trek en druk". Ook wordt de basis aangehaald aangaande toelaatbare spanningen en de bijhorende veiligheidscoëfficiënten.

Lichaam met rechte aslijn[bewerken]

Op de figuur hieronder zien we een prismatisch lichaam met een rechte aslijn, onderworpen aan een trekkracht P, gericht volgens de aslijn en aangrijpend in het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede. In elke doorsnede herleiden de inwendige krachten zich tot één centrische normaalkracht N, die in elke doorsnede gelijk is aan P. De opgewekte spanningstoestand noemt men een toestand van "enkelvoudige trek" of "enkelvoudige druk", naargelang de kracht P een trek- of een drukkracht is.

Axiale trek - balk met rechte aslijn.svg

Bij de bespreking van de materiaalwetten van Hooke werd voor een oneindig lange, rechte staaf met constante dwarsdoorsnede de "wet van het behoud der platte vlakken van dwarsdoorsneden (hypothese van Bernouilli)"afgeleid.

We nemen aan dat:

  • De hypothese van Bernouilli ook geldig blijft voor eindige prismatische lichamen met veranderlijke dwarsdoorsnede, zoals op de bovenstaande figuur. Op deze wijze wordt zeker voldaan aan de voorwaarde van de "samenhang van het materiaal".
  • De langsvezels van het materiaal elkaar onderling niet beïnvloeden, ondanks de veranderlijke dwarsdoorsnede.

Dit betekent dat er geen normaalspanningen optreden loodrecht op de x-as en dat er geen schuifspanningen optreden :

De wet van Hooke wordt in dit geval zeer eenvoudig:


Spanning[bewerken]

Uit de hypothese van Bernouilli volgt dat in elk punt van een dwarsdoorsnede de rek εx dezelfde is, zodat ook de spanning σx constant is over een dwarsdoorsnede. Op de figuur links hieronder is een deelstuk van de balk genomen. Aangezien de balk in evenwicht is, is ook elk deelstuk in evenwicht.

Axiale trek - balk met rechte aslijn - deellichaam.svg

Uit het langsevenwicht van het deelstuk links volgt:

of:

Verwaarlozing van de schuifspanningen[bewerken]

Uit de figuur rechts (balkdeel tussen x1 en x2, gedeelte boven de aslijn) is op te maken dat dit spanningsveld niet exact kan zijn. Dit balkdeel moet in evenwicht zijn onder de spanningen σx1=N/A(x1) en σx2=N/A(x2). Als de doorsnede niet constant is, dan zal niet voldaan zijn aan het momentenevenwicht. De stippellijn stelt het verloop van het zwaartepunt van dit balkdeel voor. Aangezien de resultante kracht van de spanningen aangrijpen in het zwaartepunt, zal er een resulterend moment op dit balkdeeltje zijn, afkomstig van de resultantes in x1 en x2 die een verschillende werklijn hebben. Dit moment kan enkel opgevangen worden door schuifspanningen, die echter in bovenstaande afleidingen verwaarloosd werden, en gelijk gesteld werden aan 0.

Indien de dwarsdoorsnede niet plotseling maar gelijdelijk verandert, zullen de schuifspanningen zeer klein blijven, en is de benadering met de formule σx=N/A(x) voldoende nauwkeurig. Als de doorsnede wel plots verandert kunnen in deze zone belangrijke spanningsconcentraties optreden. Deze worden niet in deze paragraaf behandeld.

Aangrijpingspunt normaalkracht[bewerken]

Het resulterend moment van alle spanningen in een bepaalde doorsnede A(x) tegenover het aangrijpingspunt van de normaalkracht N moet nul zijn, zoniet zou er een resulterend moment optreden in deze doorsnede:

y en z zijn hier de coördinaten van punten in de dwarsdoorsnede ten opzichte van het aangrijpingspunt van de normaalkracht; is het moment geleverd door de spanning in het elementair deeloppervlakje dA, ten opzichte van het aangrijpingspunt van de normaalkracht.

Aangezien σx verschillend is van 0, moeten in beide vergelijkingen de integralen gelijk zijn aan 0. Dit is het geval als het aangrijpingspunt van de normaalkracht gelijk is aan het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede.

Het geval waarbij het aangrijpingspunt van de externe kracht P niet gelijk gelijk is aan het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede wordt later in dit boek behandeld.

Rek[bewerken]

De relatieve lengteverandering of rek in een dwarsdoorsnede is gelijk aan

De dwarsinkrimping (of -uitzetting in geval van druk) wordt:

De factor E.A geeft aan in welke mate de staaf zich verzet tegen de vervormingen εx onder invloed van de langskracht P=N. Men noemt deze factor EA de stijfheidsmodulus tegen langsvervorming of de rekstijfheid.

Lichaam met gekromde aslijn[bewerken]

We beschouwen een elementair stukje balk langs een gebogen aslijn, waar de kromtestraal gelijk is aan ρ0. Uit de studie van de inwendige krachten werd de normaalkracht N berekend, loodrecht op de dwarsdoorsnede en aangrijpend op de aslijn (= in het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede), zoals op de figuur hieronder.

Axiale trek - balk met gekromde aslijn.svg

We nemen aan dat de hypothese van Bernouilli geldig is. De vervormingen verlopen dan alsof we het rechterzijvlak van het elementaire deeltje met een hoek Δdα laten draaien ten opzichte van het linkerzijvlak.

We bekijken nu de vervorming van de langsvezel QR. Deze vervormt tot Q'R', doordat er enerzijds een langsrek plaatsheeft ten gevolge van de normaalkracht N en anderzijds een dwarscontractie plaatsheeft.

We kunnen de rek van de vezel QR van dit elementaire deeltje als volgt berekenen:

Hierbij werd de dwarscontractie verwaarloosd ten opzichte van de lengte (ρ0+y), dit blijft voldoende nauwkeurig indien ρ0 voldoende groot is ten opzichte van van de dwarscontractie, wat voor reële lichamen (bijna) steeds het geval zal zijn.

We stellen vast dat de rek onafhankelijk is van y (=de positie van de vezel ten opzichte van de aslijn). Bijgevolg is de rek dezelfde voor alle vezels en dus de ganse dwarsdoorsnede. Aangezien de rek in de ganse dwarsdoorsnede dezelfde is, zal ook de spanning σ over de ganse doorsnede dezelfde zijn. Deze spanning moet in evenwicht zijn met de normaalkracht N.

We kunnen voor gekromde lichamen dus dezelfde formules gerbuiken voor de spanning en de rek als voor lichamen met een rechte aslijn:
Spanning:

Langsrek:

Dwarskrimp:

De x-as wordt hier volgens de aslijn genomen, en de y-as en z-as liggen in het vlak van de dwarsdoorsnede, zoals uiteengezet in de paragraaf over de snedekrachten .


Lengteverandering van rechte stukken[bewerken]

Algemeen[bewerken]

Verlenging van rechte balk onder axiale last.svg

In bovenstaande figuur ondergaat in de balk met lengte L de snede met x-coördinaat=0 een verplaatsing u(0) en de snede met x-coördinaat=L een verplaatsing u(L), onder invloed van een axiale kracht P=N.
De normaalspanning σ en rekken ε worden gegeven door de formules uit de vorige paragrafen:

De verlenging δ is het verschil tussen de verplaatsing u volgens de x-as in de staafuiteinden:

In functie van de inwerkende normaalkracht N(x) en de staafafmetingen A(x) wordt dit:

Bij constante E-modulus is de verlenging gelijk aan de oppervlakte onder het spanningsdiagramma gedeeld door de elasticiteitsmodulus.

Indien de balk over de ganse balklengte aan een constante normaalkracht N=P onderworpen is, en de balk een constante dwarsdoorsnede A heeft, dan wordt δ:

Toepassing: verlenging van een kegelvormige staaf[bewerken]

De kegelvormige stalen staaf in onderstaande figuur heeft een cirkelvormige dwarsdoornede, met uiterste diameters D1 en D2. De staaf is onderworpen aan een trekkracht P.
Volgende gegevens zijn gekend:

L = 1 m Lengte
P = 100 kN Trekkacht
D1 = 2 cm Diameter links
D2 = 3 cm Diameter rechts
E = 210.000 N/mm2 Elasticiteitsmodulus staal

Verlenging van kegel.svg

Voor de oppervlakte van een cirkel geldt:

De spanning in snede x wordt dan gegeven door:


De verlenging δ van de staaf kan berekend worden met de formule uit de vorige paragraaf:


De integraal rekenen we uit met behulp van de substitutieregel. We kunnen de diameter D uitschrijven in functie van x. De diameter varieert lineair van D1 voor x=0 tot D2 voor x=L.
Voor een willekeurige x wordt de diameter D bepaald door volgende uitdrukking:

De integraal kan dan als volgt worden uitgerekend:


De formule voor de verlenging van deze kegelvormige staaf wordt dus:

We stellen vast dat:

  • Als de diameter constant is (D1=D2=D), vinden we terug de formule voor de verlenging van een staaf met constante dwarsdoorsnede.
  • Als de kegel niet afgeknot is geldt D1=0. De verlenging δ wordt dan oneindig groot. Deze waarde is slechts theoretisch omdat dat ook de doorsnede 0 wordt. Een dergelijke doorsnede kan geen belasting op opnemen. De spanning σ=N/A zou oneindig groot worden in deze sectie.

Om de verlenging van de staaf numeriek uit te rekenen kunnen we de gegevens in de gevonden formule invullen. Zeer belangrijk hierbij is dat alle gegevens dezelfde dimensies hebben. We herwerken de gegevens naar "N" en "mm":

L = 1000 mm L = 1 m Lengte
P = 100.000 N P = 100 kN Trekkacht
D1 = 20 mm D1 = 2 cm Diameter links
D2 = 30 mm D2 = 3 cm Diameter rechts
E = 210.000 N/mm2 E = 210.000 N/mm2 Elasticiteitsmodulus staal

De verlenging δ van deze staaf wordt dan:

Toepassing: inrekening van het eigengewicht[bewerken]

Verlenging van rechte balk onder axiale last met inrekening eigengewicht.svg

Op de figuur hiernaast zien we een balk met constante doorsnede A en lengte L, die onderworpen is aan een axiale trekkracht P.

De soortelijke massa of dichtheid van het materiaal bedraagt ρ, uitgedrukt in dimensie [massa per volume] met grootheid [kg/m3].

De kracht uitgeoefend door het eigengewicht van de balk in een willekeurige snede x bedraagt:

    met : ρ = dichtheid [kg/m3]
g = zwaartekrachtversnnelling [m/s2]
A = sectie [m2]

In een willekeurige doorsnede x werkt de normaalkracht N:

De verlenging δ kan dan berekend worden met:

Uitwerking geeft:

Deze formule kan herwerkt worden tot:

De eerste term in deze laatste formule is de verlenging van de staaf onder invloed van de kracht P. De tweede term is de verlenging onder invloed van het eigengewicht G=ρgAL. Deze laatste term geeft dezelfde verlenging als zou men de ganse balk belasten met een kracht gelijk aan de helft van het eigengewicht G.

Als de lengte L toeneemt, neemt ook de normaalkracht toe in de ophanging bovenaan. Men kan hieruit de "maximale veilige lengte" van een kabel of staaf bepalen, door te eisen dat de spanning σ lager blijft dan de toelaatbare spanning σ:

Lichaam met gelijke sterkte op trek of druk[bewerken]

Lichaam met gelijke sterkte op trek en druk.svg

Uit de vorige paragraaf blijkt dat in een balk met constante doorsnede de grootste spanning optreed in één snede bovenaan. In alle andere doorsnedes is de spanning kleiner en wordt het materiaal niet ten volle benut. Indien men de vorm van een lichaam zodanig kiest dat in alle dwarsdoorsnedes dezelfde spanning werkt, noemt men dit een "lichaam met gelijke sterkte" op trek (of druk).

Om de vorm van dit lichaam te bepalen (zie de figuur hiernaast), bekijken we een elementaire strook met lengte dx op een afstand x van de onderzijde van de balk. Aangezien we een lichaam met gelijke sterkte onderzoeken, heerst er per definitie dezelfde spanning σ op de boven- en de onderzijde van deze elementaire strook.

Het gewicht dG van deze elementaire strook is (met ρ de dichtheid):

Het vertikaal evenwicht van deze strook geeft hetvolgende:


We kunnen deze laatste formule integreren over de lengte x, x varieert dan van 0 tot x en A varieert van A0 tot A.

Hieruit kunnen we besluiten dat de doorsnede A volgens een exponentiële wet varieert:

Om een dergelijke balk in de realiteit te produceren zal praktisch zeer moeilijk zijn. Men zal als benadering een stuk samenstellen uit een aantal stroken met constante doorsnede en deze met gelijdelijke overgangen verbinden. Op de figuur hiernaast is dit geschetst met een stippellijn.

Laat men alle doorsnede werken aan de toelaatbare spanning σ dan worden de doorsneden:

De verlenging van het lichaam met gelijke sterkte kan men eenvoudig bepalen aangezien de spanning σ en dus ook de rek ε constant zijn.

Het gewicht G van de staaf is gelijk aan het verschil van de resultantes van de spanning in oven en ondervlak:

De maximale lengte die een dergelijk lichaam kan bereiken is theoretisch onbeperkt omdat de spanning steeds σ blijft. De enige beperking is dat in de praktijk de doorsnede A oneindig groot wordt als het stuk oneindig lang wordt.

Bij lichamen die op druk belast worden gelden dezelfde formules voor de spanning en de lengteveranderingen. Men moet evenwel opletten dat de staaf niet te smal wordt, om uitknikken te vermijden. Het "knikprobleem" wordt later in dit boek behandeld.

Eenvoudige hyperstatische gevallen bij axiale belasting[bewerken]

Niet-homogene dwarsdoorsnede[bewerken]

In alle vorige paragrafen gingen we ervan uit dat een lichaam steeds opgebouwd was uit één enkel materiaal. In de realiteit is een lichaam dikwijls samengesteld uit meerdere materialen, zoals bijvoorbeeld beton en staal in gewapend beton of een houten balk met een metalen verstevigingsstrip.

Als voorbeeld berekenen we de krachtswerking in van de samengestelde balk op de figuur hieronder, die bestaat uit drie concentrische buizen van verschillend materiaal met lengte L. De doorsneden voor de drie materialen zijn respectievelijk A1, A2, A3, en de elatasticiteitsmoduli E1, E2 en E3. De balk wordt onderworpen aan een centrische last P.

Axiale last - niet homogene dwarsdoorsnede.svg

We veronderstellen dat de constructie zodanig is dat alle onderdelen dezelfde lengteverandering ondergaan, en dat ze afzonderlijk blijven werken. Hiermee bedoelen we dat er geen onderlinge wrijvingskrachten optreden tussen de materialen, of insnoeringen of andere effecten waardoor de materialen elkaar zouden kunnen beïnvloeden.

Elk materiaal van een deel van de last P opnemen. De drie onderdelen zullen elk een druklast opnemen die we benoemen met X1, X2 en X3.

Uit het langsevenwicht vinden we:

Er zijn geen andere evenwichtsvergelijkingen. Om de snedekrachten in elk materiaal te berekenen, moeten we de vervormingen van het materiaal in rekening brengen. Deze voorwaarden noemt men "elasticiteitsvergelijkingen".

In bovenstaand geval veronderstellen we dat de lengteverandering δ van de drie stukken dezelfde zal zijn. Dit kunnen we uitschrijven als:

We kunnen nu P in functie van δ schrijven door substitutie van de elasticiteitvergelijkingen in het langsevenwicht. Na enig rekenwerk levert dit:

Hieruit kunnen we dan terug X1, X2 en X3 bepalen. Voor X1 geeft dit:

Algemeen kunnen we stellen dat:

Elk onderdeel neemt dus een gedeelte van de last P op in de verhouding van zijn relatieve stijfheidsmodulus EA op trek of druk. De evenredigheidsfactor is:

Deze verdeling van P over de samenstellende delen is onafhankelijk van het aantal samenstellende delen, op voorwaarde dat ze onafhankelijk van elkaar werken. Constructies zoals in dit voorbeeld, waarin de krachtswerking slechts kan bepaald worden door inrekening van de vervormingen, noemt men "hyperstatisch". In tegenstelling tot isostatische problemen, moeten bij hyperstatische problemen de afmetingen (A) en de materiaaleigenschappen (E) gekend zijn om de inwendige krachten te kunnen berekenen.

Voorbeeld: kolom in gewapend beton[bewerken]

Axiale last - kolom in gewapend beton.svg

Een gewapende betonkolom zoals op de figuur hiernaast, wordt belast met een axiale drukkracht N. Gevraagd wordt de spanningen in het het beton en het staal te berekenen.

Volgende gegevens zijn gekend:

N = - 500 kN Axiale druk
Ea = 210.000 N/mm2 Elasticiteitsmodulus staal
Eb = 30.000 N/mm2 Elasticiteitsmodulus beton

Uit de figuur halen we staal- en betonoppervlakte:

De krachten in het staal en beton halen we uit de formules van de vorige paragraaf:

Om de schrijfwijze van deze formules te vereenvoudigen, voeren we een "gelijkswaardigheisfactor" m in:

Na deling van teller en noemer door Eb worden de krachten:

Om de spanningen te bepalen delen we de krachten in staal en beton door hun respectieve oppervlakte:

Numerieke uitwerking geeft:

In de praktijk zal men bij de berekening gewapende betonconstructies voor de gelijkwaardigheidsfactor m niet de theoretische waarde m=Ea/Eb nemen, maar wel een overeengekomen waarde, meestal m=15. Door de overschatting van de rekstijfheid van het staal houdt men er rekening mee dat het beton krimpt in de tijd en kruipt onder spanning, waardoor het zich tracht te ontrekken aan de belasting. Hierdoor wordt het staal zwaarder belast, wat men inrekent door de een hogere gelijkwaardigheidsfactor.

Temperatuurspanningen[bewerken]

Axiale last - temperatuurspanningen.svg

Temperatuurspanningen ontstaan in lichamen waar de vrije uitzetting of inkrimping bij een temperatuurswijziging belemmerd wordt. Deze spanningen kunnen zeer groot worden en zijn dikwijls de oorzaak van overbelasting en breuk.

We onderzoeken deze temperatuurspanningen aan de hand van een balk QR die vastzit tussen twee onbeweeglijke massieven, zodat er geen lengteverandering mogelijk is. Indien de staaf vrij zou kunnen uitzetten, zou de totale verlenging gelijk zijn aan:

    met : α = lineaire uitzettingscoëfficiënt [K-1]
ΔT = T - T0 = temperatuursverschil [K]

De nieuwe lengte van de staaf zou dan zijn

De verlenging δ kan echter niet optreden, dus zal de belemmerde uitzetting of inkrimping tot gevolg hebben dat er inwendige spanningen ontstaan die verlenging δ tenietdoet. Deze spanningen zorgen er als het ware voor dat de staaf met lengte L+δ terug samengedrukt wordt tot de lengte L. De eenheidsvervorming of rek ε is dan gelijk aan:

Daarmme komt een spanning σ overeen, gelijk aan:

Het minteken duidt erop dat dat een temperatuursstijging een drukspanning tot gevolg heeft en een temperatuursdaling een trekpsanning.

Uit de formule blijkt dat de spanning onafhankelijk is van de lengte L. De waarde van de uitzettingscoëfficiënt α van enkele veel voorkomende constructiematerialen is opgenomen in de tabel in de paragraaf over de elasticiteitsmodulus. Zo vinden we voor staal bij een temperatuursstijging van 1K een spanning van:

Zelfs bij kleine temperatuurswijzingen kunnen deze spanningen, en de ook de reactiekrachten (=σ.A) zeer hoog oplopen. In constructies zal men deze hoge spanningen en reactiekrachten trachten te vermijden door bewegingsmogelijkheden te creëren door gebruik te maken van bijvoorbeeld rolopleggingen of uitzettingsvoegen.

Spoorspatting als gevolg van de hitte

Bij normale spoorrails wordt tussen de rails ruimte voorzien voor het uitzetten en inkrimpen van de staaf door temperatuursveranderingen. Bij continu gelaste spoorstaven, die honderden meters lang zijn, wordt deze lengteverandering verhinderd. Dit leidt tot grote krachten in de spoorstaaf die tot knik van de rail (spoorspatting) kunnen leiden. Daarom worden bij dit type rails extra aandacht besteed aan de opbouw van het grindbed naast het spoor.

Temperatuurspanningen bij niet-homogene dwarsdoorsnedes[bewerken]

Hyperstatische structuren zijn zeer gevoelig aan aan temperatuursvariaties. De verschillende verplaatsingen van de verschillende materialen kunnen niet vrij optreden en veroorzaken zeer grote inwendige krachten.

Axiale last - temperatuurspanningen niet homogene doorsnede.svg

Als voorbeeld beschouwen we symmetrisch lichaam samengesteld uit drie staven met dezelfde lengte uit twee verschillende materialen. Aan beide uiteinden zijn de staven vast met elkaar verbonden.
Materiaal 1 heeft een dwarssectie A1, een elasticiteitsmodulus E1 en een uitzettingscoëfficiënt α1.
Materiaal 2 heeft een dwarssectie A2, een elasticiteitsmodulus E2 en een uitzettingscoëfficiënt α2.

De temperatuurswijziging ΔT = T - T0 veroorzaakt spanningen in de staven omdat de uitzettingscoëfficiënten α1 en α2 verschillend zijn.

Indien α21, dan wil de middelste verder uitzetten dan de twee buitenste. Vermits alle staven dezelfde verlenging moeten ondergaan, wordt de vrije uitzetting in staaf 2 tegengewerkt door staven 1. In 2 ontstaat dan een drukkracht -X, terwijl in de staven 1 globaal een trekkacht X ontstaat.

De vrije uitzetting α2.L.(T - T0) van staaf twee wordt door de drukkacht -X tegengewerkt, zodat de resulterende lengteverandering δ gelijk is aan:

De vrije uitzetting α1.L.(T - T0) in de staven 1 wordt nog versterkt door de trekkracht X, zodat de verlenging de volgende wordt:

De beide lengteveranderingen moeten uiteraard gelijk zijn:

Hieruit kan men X berekenen en de spanningen in de staven:

In vele gevallen zullen de optredende spanningen aanleiding geven tot ernstige beschadigingen of vernieling. Het natuurlijke verweringsproces bij natuursteen, het scheuren van beton, het barsten of loskomen van een glazuurlaag op kleitegels, het scheuren en afbrokkelen van pleisterlagen op muren of betonwanden, het loskomen van wegmarkeringen, enzovoorts, zijn grotendeels het gevolg van ongelijke thermische uitzetting of inkrimping van materialen in een hyperstatisch geheel.

Indien een stuk niet symmetrisch is samengesteld, werken de krachten niet meer axiaal. Zo zal een lichaam met twee staven van een verschillend materiaal bij opwarming opkrullen naar de kant van het materiaal met de kleinste uitzettingscoëfficiënt. Hierop zijn bimetaalthermometers en thermostaatregelaars gebaseerd.

Ketelformule (dunwandige cilindrische stukken)[bewerken]

Dunwandige cilindrische lichamen zoals bijvoorbeeld klemringen, drukketels, drukleidingen, vloeistof- en gasreservoirs, waarvan de wanddikte klein is ten opzichte van de diameter, kunnen berekend worden met de eenvoudige formules van axiale trek en druk.

Indien de wanddikte van dezelfde grootteorde is als de diameter zoals bijvoorbeeld dikwandige drukcilinders voor hydraulische persen, artilleriegeschut, extrusiepijpen, reactorvaten, moet voor de studie van de spanningen en vervormingen de exactere methodes uit de elasticiteitsleer gebruikt worden.

Ring met inwendige druk[bewerken]

Ring met inwendige radiaaldruk.svg

We beschouwen een dunne ring met straal "r" en relatief verwaarloosbare dikte "e", zoals op de figuur rechts. De breedte van deze ring is L=1. Op deze ring werkt een constante radiale binnendruk "q" per eenheid van oppervlakkte.

We nemen aan dat wegens de geringe dikte "e" de spanningen in de ring gelijk zijn over de ganse dikte. Hieruit volgt:

De halve ring op de middelste figuur is slechts in evenwicht als:

Uit de twee vorige vergelijkingen kunnen we σ bepalen in functie van de binnendruk, de dikte en de straal:

Deze laatste formule noemt men de ketelformule.

De totale verlenging δo van de omtrek ring kan men bepalen door de rek te ingreren over de ganse cirkelomtrek:

De verlening van de straal δr bekomen we door de omtrekverlenging te delen door door 2π :

De trekspanningen in de ring worden niet alleen veroorzaakt door inwendige drukken. Ook traagheidsheidskrachten zoals middelpuntvliedende krachten veroorzaken omtrekspanningen. Voorbeelden zijn onder andere vliegwielen, wielbanden en riemschijven. De inwendige druk q wordt nu vervangen door een centrifugaalkracht per eenheid van oppervlakte q.

Ring onder invloed van centrifugaalkrachten.svg

Laten we de ring uit het vorige voorbeeld rond zijn as ronddraaien met een hoeksnelheid ω, uitgedrukt in [radialen per seconde], dan ondergaat het elementaire deeltje dφ een centrifugaalkracht per eenheid van oppervlakte "q".

De massa m van dit deeltje is gelijk aan volgende uitdrukkking, met ρ de dichtheid uitgedrukt als [massa per volume]:

Met de omtreksnelheid v=r.ω, kunnen we q schrijven als, :

De spanning wordt dan:

Ook hier geldt de bedenking dat het probleem van spanningen in draaiende schijven, in rotors van turbines, enz., meer ingewikkelde twee- of driedimensionale problemen zijn die thuishoren in de elasticiteitsleer.

Voorbeeld ketelformule[bewerken]

opgave

Een onbelaste dunwandige stalen cilinder met straal r = 60mm en wanddikte e = 4mm wordt versterkt door het opwinden van een staaldraad (diameter D = 1 mm) die met een beginspanning van 90N/mm2 wordt aangebracht, vooraleer er enige inwendige druk in de cilinder is. Bereken de spanningen in de cilinder en de staaldraad nadat in de cilinder een inwendige druk q = 2 N/mm2 is aangelegd.

Ring onder invloed van centrifugaalkrachten ketelformule.svg
oplossing

Een doorsnede van de beginsituatie en het gevraagde is hiernaast geschetst. We beschouwen een stuk van 1 mm lengte uit de cilinder. Hierop zit 1 winding staaldraad. De beginspanning van 90N/mm2 in de staaldraad zal een vooralsnog onbekende alzijdige externe druk "-p" op de cilinder veroorzaken. Wegens de 3e wet van Newton, zal de cilinder dus een inwendige druk "p" op de staaldraad veroorzaken, die in evenwicht is met de beginspanning in de staaldraad. Deze druk "p" kan berekend worden uit het vertikale krachtenevenwicht op het beschouwde winding staaldraad:

Deze druk p veroorzaakt in de cilinder een omtrekdrukspanning σ1 gelijk aan:

De nadien aangelegde inwendige druk q geeft aanleiding tot een trekspanning σ2 in staaldraad en cilinder. Uit het vertikaal evenwicht halen we:

De resulterende spanningen zijn dan:

  • In de staaldraad σD:
  • In de cilinder σC:

Inwendige elastische vervormingsenergie[bewerken]

Inwendige vervormingsenergie bij axiale trek of druk[bewerken]

De algemene formule voor de inwendige elastische vervormingsenergie U werd in een vorige module reeds opgesteld voor een driedimensionale spanningstoestand.

Bij een axiale belasting treden enkel normaalspanningen σx = σ op, zodat de energie per volumeëenheid in dit geval gelijk wordt aan:

Indien we de totale vervormingsenergie Av van de staaf willen bepalen in functie van de de normaalkracht N(x) die in de staaf werkt, dienen we U te integreren over het ganse volume van de balk:

Door invullen van U met σ=N(x)/A krijgen we:

Als de staafdoorsnede A en de normaalkracht N constant zijn dan wordt de uitdrukking voor Av eenvoudig:

De maximale hoeveelheid elastische energie die per volumeëenheid in een materiaal kan opgestapeld worden, wordt begrensd door de elasticiteitsgrens Re:

Deze grootheid wordt ook wel modus van resiliëntie genoemd. Deze resiliëntie-modulus (maximale elastische vervormingsenergie van een materiaal) is ook een maat voor de dempende eigenschappen van een materiaal. Voor enkele materialen is in onderstaande tabel de vervormingsenergie per volumeëenheid en per massaëenheid aangegeven.

Resiliëntie-modulus Umax van enkele contructiematerialen
Materiaal Dichtheid
ρ [kg/m3]
Elasticiteitsmodulus
E [N/mm2]
Elasticiteitsgrens
Re [N/mm2]
Umax/Volume
[Nmm/mm3]
Umax/Massa
[Nmm/g]
zacht staal 7.850 210.000 200 0,095 12,1
veerstaal 7.850 200.000 1.000 2.5 318,5
koper 8.500 112.000 28 0,004 0,4
rubber 930 1 2,1 2 2.150
eik 1.000 10.500 28,1 0,038 37,5

Uit de laatste kolom blijkt dat rubber voor eenzelfde gewicht veruit de beste schokdempende eigenschappen van deze materialen bezit.

Voorbeeld: Berekening van verplaatsingen in isostatische structuren[bewerken]

Axiale last verplaatsingen in isostatische structuur.svg
Opgave

Een stalen stootbok, geschematiseerd in de figuur rechts, wordt belast door een horizontale last P.
Bereken de horizontale verplaatsing δA in punt A.
Volgende gegevens zijn gekend:

P = 300 kN Externe kracht
E = 210.000 N/mm2 Elasticiteitsmodulus staal
A = 2.500 mm2 Sectie van staven 1, 2 en 3
Oplossing

We zoeken eerst alle uitwendige krachten HB, VB, VC, zoals aangeduid op de figuur:

  • Horizontaal evenwicht: P = HB
  • Vertikaal evenwicht: VB = VC
  • Momentenevenwicht rond punt A: 1,5P+2VC=0

=> HB=P ; VC=-0,75P ; VB=-0,75P

Hierna bepalen we de staafkrachten. De staafkrachten in staven 1, 2 en 3 duiden we respectievelijk als X1, X2 en X3. De krachten door de staven geleverd op de knoopunten zijn de tegengestelden van de staafkrachten (3e wet van newton: actie = reactie). We kunnen de staafkrachten bepalen door in elk knooppunt het evenwicht uit te schrijven:

  • Knoop A
  • Hoek tussen de staven : de lengte van AC bedraagt (1,52+22)1/2=2,5 m.
    Hieruit volgt sin α = 2/2,5 = 0,8 ; cos α = 1,5/2,5 = 0,6
  • Horizontaal evenwicht: P = - sin α . X3 => X3 = -1,25 P (drukkracht)
  • Vertikaal evenwicht: - X1 = - cos α . X3 => X1 = -0,6 . -1,25 P => X1 = 0,75 P (trekkracht)
  • Knoop B
  • Horizontaal evenwicht: HB + (- X2) = 0 => X2 = P (trekkracht)

Het is eenvoudig na te gaan dat het vertikaal evenwicht in knoop B en de knoopevenwichten in C tot dezelfde resultaten leiden.

De staafkrachten X brengen de staven onder spanning, en stapelen inwendige vervormingsenergie op in de staven, bepaald door de formule in de vorige paragraaf. De totale inwendige vervormingsenergie Av vindt men door een sommatie over alle staven. Hierbij vullen we de lengtes in in mm aangezien we de verplaatsing in mm willen kennen:

Deze opgestapelde inwendige energie is uitsluitend afkomstig van de arbeid geleverd door de externe kracht P. Voor deze arbeid geleverd door de uitwendige krachten Au geldt:

Gelijkstelling van Au en Av levert:

Numerieke uitwerking met de gekende gegevens levert dan:

Voorbeeld: Staafkrachten en verplaatsing in een hyperstatische constructie[bewerken]

Axiale last krachten in hyperstatische structuur.svg
Opgave

Een hyperstatische stalen structuur (zie figuur rechts) wordt belast door een uitwendige kracht P.
Bereken de staafkrachten en de vertikale verplaatsing δA.
Volgende gegevens zijn gekend:

P = 100 kN Externe kracht
E = 210.000 N/mm2 Elasticiteitsmodulus staal
A = 400 mm2 Sectie van staven
L = 3 m Lengte staaf AC
α = 30° Hoek tussen de staven
Oplossing

Uit de symmetrie van de opgave kunnen we opmaken dat de staafkracht in staven AB en AD dezelfde moet zijn. We noemen de staafkracht in staaf AC "X" en deze in AB en AD "Y". Uit het vertikaal evenwicht in knoop A volgt:

Als in de staaf AC een kracht X werkt, dan is de verlenging van deze staaf gelijk aan XL/EA. Deze verlenging is ook de verplaatsing in punt A volgens de werklijn van P, zodat deze een arbeid levert:

De opgestapelde inwendige energie bedraagt:

Door substitutie van Y door de eerder gevonden uitdrukking voor Y wordt dit:

Gelijkstelling van uitwendige arbeid Au en de inwendige vervormingsenergie Av levert:

Numerieke uitwerking voor de staafkrachten en de verplaatsing in A geeft:


<< Terug naar Basisbegrippen - Deel 2 / Verder naar Axiale trek en druk - Deel 2 >>
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.