Rekenen/Machtsverheffen

Machtsverheffen is een rekenkundige bewerking, waarbij hetzelfde getal een aantal keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd.

Voorbeelden

Zoals we vermenigvuldigen opgevat hebben als herhaald optellen, zo kunnen we ook herhaald vermenigvuldigen:

3 × 3 × 3 × 3 

We kunnen dit gewoon uitrekenen door inderdaad herhaald te vermenigvuldigen:

3 × 3 × 3 × 3 = 9 × 3 × 3 = 27 × 3 = 81

Het is wat omslachtig en ook nogal lastig te lezen. Neem bijvoorbeeld

3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 

Hoeveel keer staat hier nu een 3? Door tellen zien we dat er 9 keer een 3 staat. We schrijven dit overzichtelijker op als:

$3^{9}$ (drie tot de negende, of drie tot de macht negen),

waarin we meteen zien dat het om 9 3-en gaat die met elkaar vermenigvuldigd moeten worden. We spreken van machtsverheffing: het getal 3 is verheven tot de macht 9. We lezen: drie tot de negende (macht) of drie tot de macht negen. Het getal 3 heet het grondtal en het getal 9 de macht of e×ponent. De uitkomst van een machtsverheffing is al gauw erg groot, althans bij getallen groter dan 1:

$3^{9}=19683$

$2^{10}=1024$

$2^{16}=65536$

$5^{16}=152.587.890.625$

Formule

De algemene formule is:

$x^{n}$

• x = het getal dat met zichzelf wordt vermenigvuldigd, het grondtal
• n = het aantal malen dat dit grondtal met zichzelf wordt vermenigvuldigd, de exponent

Oftewel:

$x^{n}=\underbrace {x\times \ldots \times x} _{n\ {\text{keer}}}$,

Bijzonderheden:

• n is een positief getal
• $x^{1}$ = $x$
• $x^{0}$ = 1, maar alleen als $x$ $\neq$ 0

Regels

Het is gemakkelijk in te zien dat:

$3^{4}3^{5}=3^{4+5}=3^{9}$

$(3^{4})^{5}=3^{4\times 5}=3^{20}$

$3^{4}7^{4}=(3\times 7)^{4}=21^{4}$

${\frac {5^{36}}{5^{5}}}=5^{36-5}=5^{31}$

Deze regels gelden algemeen.

Ook machten van negatieve getallen kunnen we uitrekenen: Bij een even macht is het resultaat positief:

$(-3)^{4}=3^{4}$

Bij een oneven macht is het resultaat negatief:

$(-3)^{5}=-3^{5}$

We kunnen ook machten uitrekenen van andere dan gehele getallen.

$\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}={\tfrac {1}{4}}\times {\tfrac {1}{4}}\times {\tfrac {1}{4}}={\tfrac {1}{64}}$

$0{,}21^{3}=0{,}21\times 0{,}21\times 0{,}21=0{,}009261$

Kwadraat

De tweede macht van een getal wordt meestal kwadraat genoemd. We zeggen dus meestal niet zeven tot de tweede (macht) voor 7², maar zeven kwadraat. De term kwadraat betekent vierkant en hangt samen met de oppervlakte van een vierkant die gelijk is aan het kwadraat van de lengte van een zijde.

Overzicht met kwadraten 0-100

02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81

102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361

202 = 400 212 = 441 222 = 484 232 = 529 242 = 576 252 = 625 262 = 676 272 = 729 282 = 784 292 = 841

302 = 900 312 = 961 322 = 1024 332 = 1089 342 = 1156 352 = 1225 362 = 1296 372 = 1369 382 = 1444 392 = 1521

402 = 1600 412 = 1681 422 = 1764 432 = 1849 442 = 1936 452 = 2025 462 = 2116 472 = 2209 482 = 2304 492 = 2401

502 = 2500 512 = 2601 522 = 2704 532 = 2809 542 = 2916 552 = 3025 562 = 3136 572 = 3249 582 = 3364 592 = 3481

602 = 3600 612 = 3721 622 = 3844 632 = 3969 642 = 4069 652 = 4225 662 = 4356 672 = 4489 682 = 4624 692 = 4761

702 = 4900 712 = 5041 722 = 5184 732 = 5329 742 = 5476 752 = 5625 762 = 5776 772 = 5929 782 = 6084 792 = 6241

802 = 6400 812 = 6561 822 = 6724 832 = 6889 842 = 7056 852 = 7225 862 = 7396 872 = 7569 882 = 7744 892 = 7921

902 = 8100 912 = 8281 922 = 8464 932 = 8649 942 = 8836 952 = 9025 962 = 9216 972 = 9409 982 = 9804 992 = 9801 1002 = 10000