Rekenen/Decimale breuken

Decimale breuken zijn breuken met als noemer een macht van 10, dus 10, 100, 1000, enz. In plaats van de bekende manier van noteren met een breukstreep, noteren we zulke breuken als volgt met een decmale komma:

${\frac {3}{10}}=0{,}3$

${\frac {35}{100}}=0{,}35$

${\frac {1987}{1000}}=1{,}987$

Dus als een vertrouwd rijtje cijfers, maar nu met een komma erin. Het aantal cijfers achter de komma bepaalt welke macht van 10 er in de noemer staat.

In 0,3 staat er nog één cijfer na de komma, daarom staat er 10 in de noemer 0,3 = 3/10
in 0,35 staan er nog twee cijfers achter de komma, daarom: 0,35 = 35/100
in 1,987 staan er drie cijfers na de komma, daarom: 1,987 = 1987/1000.

Sommige breuken laten zich eenvoudig als decimale breuk schrijven:

${\frac {3}{25}}={\frac {12}{100}}=0{,}12$

${\frac {7}{125}}={\frac {56}{1000}}=0{,}056$

${\frac {11}{3125}}={\frac {352}{100000}}=0{,}00352$

Lang niet alle breuken echter kunnen als decimale breuk geschreven worden, maar wel kan elke breuk heel dicht benaderd worden door een decimale breuk. Daarom kunnen we goed rekenen met decimale breuken. De rekenmethoden voor decimale getallen kunnen we gewoon ook voor decimale breuken gebruiken, als we rekening houden met de plaats van de decimale komma.

Optellen en aftrekken

We zetten de decimale komma's onder elkaar

 0,056
 0,00352
 ––––––– +
 0,05952

 1234,5678
   94,123
 ––––––––– +
 1328,6908

 1234,5678
   94,123
 ––––––––– -
 1140,4448

Vermenigvuldigen

Vermeigvuldigen van twee decimale breuken gaat op de gebruikelijke manier, waarbij de komma zo in het resultaat geplaatst wordt dat er achter de komma evenveel cijfers zijn als er samen in de beide te vermenigvuldigen getallen zijn.

Hoeveel is 123,56 × 4,123 ? Zet de getallen onder elkaar en voer de gebruikelijke vermenigvulgiging uit.

    123,56
     4,123
    –––––– ×
     37068
    247120  
   1235600
  49424000
  –––––––– 
  50943788 zet de komma op de juiste plaats. Er waren samen 5 cijfers achter de komma, dus
 509,43788 (eindresultaat)

We hebben berekend: 123,56 × 4,123 = 509,43788.

De gevolgde methode wordt duidelijk als we schrijven:

123,56 = 12356 × 0,01 
 4,123 =  4123 × 0,001

dus

123,56 × 4,123 = 12356 × 4123 × 0,01 × 0,001 = 50943788 × 0,00001 = 509,43788

Delen

Delen van twee decimale breuken gaat op de gebruikelijke manier met een staartdeling, waarbij vooraf de komma in het deeltal en de deler evenveel plaatsen teruggeschoven wordt, tot de deler geen komma meer heeft.

Hoeveel is 123,456 : 7,98 ?

Verschuif de komma's twee plaatsen terug: 123,456 : 7,98 = 12345,6 : 798. Dit houdt in dat zowel deeltal als deler met 100 vermenigvuldigd worden, wat de uitkomst van de deling niet beïnvloedt.

Staartdeling:

  798 / 12345,6 \ 15,470...
         798
        ––––
         4365
         3990
         ––––
          3756
          3192
          ––––
           5640
           5586
           ––––
             540
             ....

We hebben berekend 123,456 : 7,98 = 15,470...

Repeterende (decimale) breuken

Wat doen we met de andere breuken? Men kan bewijzen dat elke breuk te schrijven is als decimale breuk of als zogenaamde repeterende (decimale) breuk.

Is 1/3 een decimale breuk? Door te proberen een staartdeling uit te voeren vinden we:

1/3 = 0,3333333....,

de deling eindigt niet, maar er vindt herhaling van zetten plaats. Zo is ook:

2/9 = 0,222...

met een herhaalde 2

1/7 = 0,142857142857....

met een herhaald deel 142857.

Om aan te geven dat een bepaald patroon zich herhaalt, schrijven we in plaats van puntjes (...) liever dat deel tussen / en /:

1/3 = 0,/3/

2/9 = 0,/2/

1/7 = 0,/142857/

(De streep wordt ook vaak door het eerste en het laatste cijfer van de herhaling geschreven.)

Zulke breuken noemen we repeterende (decimale) breuken. We kunnen ze nog gemakkelijk als decimale breuk opvatten, alhoewel het deel achter de komma niet eindigt, altijd maar verder gaat.

Het is wel plezierig dat men kan bewijzen dat elke breuk te schrijven is als decimale breuk of als repeterende breuk. Ook is natuurlijk elke decimale breuk een breuk, immers het is een breuk met een macht van 10 als noemer, maar ook elke repeterende breuk is een breuk. Dat kunnen we met een voorbeeld aantonen.

Welke breuk is 0,/123/? We schrijven:

0,123123123123123....

en trekken dit af van

1000 x 0,123123123123... = 123,123123123123.

Dat levert:

999 x 0,/123/ = 1000 x 0,/123/ - 0,/123/ = 123,123123123... - 0,123123123... = 123 (exact!)

dus:

0,/123/ = 123/999 = 41/333

Door staartdeling kunnen we eventueel nagaan dat dit juist is.

333 / 41 \ 0,123123123123...
      333
      ---
       770
       666
       ---
       1040
        999
       ----
         41 
         herhaling

Uit de berekening kunnen we opmaken dat we het repeterende deel moeten delen door evenveel negens als er cijfers in dat deel zijn. Zo is:

0,/356589/ = 356589/999999 = 13207/37037

en

0,/225/ = 225/999 = 25/111

Als het repeterende deel niet direct achter de komma staat, moeten we eerst wat rekenen:

0,123/456/ =

0,123 + 0,000/456/ =

0,123 + 0,/456/ x 0,001 =

0,123 + 456/999 x 0,001 =

0,123 + 456/999000 =

123/1000 + 456/999000 =

122877/999000 + 456/999000 =

123333/999000 =

41111/333000

Repeterende negens

Een speciale vermelding verdient het geval van repeterende negens, zoals in het getal:

0,/9/ = 0,99999999....

Omdat de negens nooit eindigen, is:

10 x 0,999... = 9,999... = 9 + 0,999...

Daaruit volgt:

9 x 0,999... = 9

zodat we bewezen hebben dat:

0,999... = 1

Het getal 0,999... is dus een andere manier om het getal 1 op te schrijven.

Zo is ook:

1,/9/ = 2

1,23/9/ = 1,24