Rekenen/Worteltrekken

Bij het machtsverheffen hebben we gezien dat een tweede macht ook kwadraat (vierkant) wordt genoemd. Dit hangt samen met de oppervlakte van een vierkant, die het kwadraat van de lengte van een zijde is. Zo is:

$4^{2}=4\times 4=16$

en

$123^{2}=123\times 123=15129$.

Wat nu als we willen weten van welk getal 16 of 15129 het kwadraat is? Van 16 weten we het vermoedelijk wel, maar van 15129? We noemen zo'n getal de (vierkants)wortel en schrijven:

${\sqrt {16}}=4$ (de wortel uit zestien is vier)

en

${\sqrt {15129}}=123$.

De berekening om de wortel te bepalen noemen we worteltrekken.

Maar ook het kwadraat van –4 is gelijk aan 16:

$(-4)^{2}=16$,

dus we zouden ook –4 als wortel van 16 kunnen opvatten. Dat willen we niet, daarom spreken we af dat een wortel niet negatief mag zijn. De wortel uit een getal is dus het positieve getal (of 0) waarvan het kwadraat het oorspronkelijke getal oplevert.

Omdat een kwadraat niet negatief kan zijn, kunnen we alleen de wortel trekken uit niet-negatieve getallen.

We hoeven ons niet te beperken tot getallen waarvan de wortel een mooi geheel getal is, de zgn. kwadraten (0, 1, 4, 9, 16, 25, enz.), zo is:

${\sqrt {2{,}25}}={\sqrt {\frac {9}{4}}}={\frac {3}{2}}=1{,}5$,

want

$1{,}5\times 1{,}5=2{,}25$,

en

${\sqrt {0{,}04}}=0{,}2$,

want

$0{,}2\times 0{,}2=0{,}04$.

Maar wat is ${\sqrt {2}}$ of ${\sqrt {3}}$? Omdat:

$1<2<4$,

zal ook gelden:

$1<{\sqrt {2}}<2$.

Ook:

$14^{2}=196<200<225=15^{2}$,

zodat:

$14<{\sqrt {200}}=10\times {\sqrt {2}}<15$,

dus

$1{,}4<{\sqrt {2}}<1{,}5$.

We kunnen zo verdergaan:

$141^{2}=19881<20000<20164=142^{2}$,

zodat:

$141<100\times {\sqrt {2}}<142$,

dus

$1{,}41<{\sqrt {2}}<1{,}42$.

Zo kunnen we doorgaan en de decimalen van ${\sqrt {2}}$ bepalen. Dan zou blijken dat de decimalen niet eindigen, maar ook niet repeteren. We hebben een nieuw soort getal ontdekt op de getallenrechte. Een getal dat niet een rationaal getal is; we noemen het daarom een irrationaal getal.

De boven uitgevoerde methode om de decimalen van ${\sqrt {2}}$ te bepalen is wat omslachtig. Er is een systematische methode om de wortel uit een getal te trekken. We zullen in de praktijk, net als voor andere berekeningen, een rekenmachine te hulp roepen, die moeiteloos de gewenste berekeningen uitvoert. Daarbij is het goed mogelijk dat de rekenmachine het hieronder getoonde algoritme gebruikt om een wortel te trekken.

We trekken de wortel uit 5625. We delen het getal in stukken van twee cijfers, gerekend vanaf de plaats van de (eventuele) komma: 56|25. Net als bij een staartdeling schrijven we achter het getal een \ en daarachter het resultaat. In stapjes ziet dat er zo uit:

      56|25 \ ?
  ?×?=

      56|25 \ 7
  7×7=49
      --
       7 

      56|25 \ 7
      49
      --
       7 25
14?×?=             (schrijf 2×7=14 en zoek een cijfer ? zodat 14?×? afgetrokken kan worden.
     
      56|25 \ 75
      49
      --
       7 25
145×5= 7 25       
       ----
          0
  

Dus

${\sqrt {5625}}=75$, immers 75×75=4900+700+25=5625.

We berekenen zo ook de wortel uit 1024.

     1024 \ 32
3×3=  9
     --
      124
62×2= 124         (schrijf 2×3=6 en zoek een cijfer ? zodat 6?×? afgetrokken kan worden.
      ---
        0

Dus

${\sqrt {1024}}=32$.

En ook berekenen we ${\sqrt {123454321}}$.

        1 23 45 43 21 \ 11111
  1×1=  1
        -
        0 23
  21×1= 0 21          (schrijf 2×1=2 en zoek een cijfer ? zodat 2?×? afgetrokken kan worden.           
        ----
           2 45
  221×1=   2 21       (schrijf 2×11=22 en zoek een cijfer ? zodat 22?×? afgetrokken kan worden.     
           ----
             24 43
  2221×1=    22 21    (schrijf 2×111=222 en zoek een cijfer ? zodat 222?×? afgetrokken kan worden.     
             -----
              2 22 21
  22221×1=    2 22 21   
              -------
                  0

Dus

${\sqrt {123454321}}=11111$.

Als laatste voorbeeld berekenen we ${\sqrt {155372019}}$.

        1 55 37 20 19 \ 12464,8
  1×1=  1
        -
        0 55
  22×2= 0 44             (schrijf 2×1=2 en zoek een cijfer ? zodat 2?×? afgetrokken kan worden.  
        ----
          11 37
  244×4=   9 76          (schrijf 2×12=24 en zoek een cijfer ? zodat 24?×? afgetrokken kan worden.  
          -----
           1 61 20
  2486×6=  1 49 16       (schrijf 2×124=248 en zoek een cijfer ? zodat 248?×? afgetrokken kan worden.
           -------
             12 04 19
  24924×4=    9 96 96   
             --------
              2 07 23 00
  249288×8=   1 99 75 04
             -----------
  enz.

Dus

${\sqrt {155372019}}=12464{,}8\ldots$.

Uitleg

Hoe hebben we √155372019 bepaald? We verdeelden het getal 155372019 in groepjes van twee cijfers:

1 55 37 20 19,

en omdat het eerste groepje een 1 is, zal de wortel met een 1 beginnen, en dus tussen 10000 en 20000 liggen.

              1 55 37 20 19 \ ?               1 55 37 20 19 \ 1
        ?×?=  ?                         1×1=  1
              -                               -
                                              0 55

We hebben vast $10000^{2}$ afgetrokken. Omdat de rest samen met het tweede groepje 055 is, zal het volgende cijfer van de wortel, zeg x, zo zijn dat

$(10+x)^{2}-10^{2}=20\cdot x+x^{2}=(20+x)\cdot x=(2\cdot 10+x)\cdot x$

zo dicht mogelijk bij 55 ligt.

              1 55 37 20 19 \ 1?              1 55 37 20 19 \ 12
        1×1=  1                         1×1=  1
              -                               -
              0 55                            0 55                schrijf 2×1=2  en zoek een cijfer ?  
       2?×?=  ? ??                      22×2= 0 44                zodat 2?×? afgetrokken kan worden. 
              ----                            ----                     
                                                11 37

Het blijkt dat x = 2; de wortel zal dus tussen 12000 en 13000 liggen. We hebben al $10000^{2}$ afgetrokken en trekken nog

$(22\times 2)\times 1000^{2}=22000\times 2000$

af. In totaal hebben we nu

$10000^{2}+22000\times 2000=144000000=12000^{2}$

afgetrokken. Zo gaan we verder. De rest, samen met het volgende groepje, is 1137. We zoeken weer het getal (cijfer) x, zodanig dat:

$(120+x)^{2}-120^{2}=240\cdot x+x^{2}=(240+x)\cdot x=(2\cdot 120+x)\cdot x$

zo dicht mogelijk ligt bij 1137.

          11 37
  244×4=   9 76          (schrijf 2×12=24 en zoek een cijfer ? zodat 24?×? afgetrokken kan worden.  
          -----
           1 61 20

Het blijkt dat x = 4; de wortel zal dus tussen 12400 en 12500 liggen. De rest, samen met het volgende groepje, is 16120. We zoeken weer het getal (cijfer) x, zodanig dat:

$(1240+x)^{2}-1240^{2}=2480\cdot x+x^{2}=(2480+x)\cdot x=(2\cdot 1240+x)\cdot x$

zo dicht mogelijk ligt bij 16120. Dan blijkt x = 6 te zijn.

           1 61 20
  2486×6=  1 49 16       (schrijf 2×124=248 en zoek een cijfer ? zodat 248?×? afgetrokken kan worden.
           -------
             12 04 19
  24924×4=    9 96 96   
             --------
              2 07 23 00
  249288×8=   1 99 75 04
             -----------
  enz.

Dus

${\sqrt {155372019}}=12464{,}8\ldots$

Hogere-machtswortels

Behalve de tweedemachts- of vierkantswortel bestaan er ook hogere-machtswortels. Zoals de vierkantswortel a.h.w. bij een kwadraat hoort, zo hoort de derde-machtswortel bij een derde macht:

${\sqrt[{3}]{125}}={\sqrt[{3}]{5\times 5\times 5}}=5$ (de derde-machtswortel uit 125 is 5).

Dus:

${\sqrt[{3}]{125}}=5$,

omdat

$5\times 5\times 5=5^{3}=125$

Zo is ook:

${\sqrt[{4}]{16}}={\sqrt[{4}]{2^{4}}}=2$,

omdat

$2^{4}=16$.

Ook:

${\sqrt[{4}]{4}}={\sqrt[{4}]{2^{2}}}={\sqrt {2}}$ (de vierde-machtswortel uit vier is wortel twee).