Transmissielijnen/Vervangingsimpedantie

We kunnen een transmissielijn aan het begin vervangen door de ingangsimpedantie $z_{in}$. Algemeen is $Z(x)$ de vervangingsimpedantie van het resterende deel $L-x$ van de lijn op een afstand $x$ van het begin van de lijn, d.w.z. de impedantie die door de rest van de lijn wordt vertegenwoordigd.

$Z(x)={\frac {u(x)}{i(x)}}$,

of relatief:

$z(x)={\frac {Z(x)}{Z_{0}}}={\frac {u(x)}{v(x)}}$.

Uit de formule voor de ingansimpedantie kunnen we direct afleiden dat voor punten $x$ en $y$ op de lijn geldt:

$z(x)={\frac {(z(y)+1)e^{+\gamma (y-x)}+(z(y)-1)e^{-\gamma (y-x)}}{(z(y)+1)e^{+\gamma (y-x)}-(z(y)-1)e^{-\gamma (y-x)}}}={\frac {z(y)+\tanh(\gamma (y-x))}{1+z(y)\tanh(\gamma (y-x))}}$

Zo kunnen we door de keuze $y=0$ de vervangingsimpedantie in de ingangsimpedantie uitdrukken:

$z(x)={\frac {(z_{in}+1)e^{-\gamma x}+(z_{in}-1)e^{+\gamma x}}{(z_{in}+1)e^{-\gamma x}-(z_{in}-1)e^{+\gamma x}}}={\frac {z_{in}-\tanh(\gamma x)}{1-z_{in}\tanh(\gamma x)}}$

Of door de keuze $y=L$ in de belastingsimpedantie:

$z(x)={\frac {(z_{L}+1)e^{+\gamma (L-x)}+(z_{L}-1)e^{-\gamma (L-x)}}{(z_{L}+1)e^{+\gamma (L-x)}-(z_{L}-1)e^{-\gamma (L-x)}}}={\frac {z_{L}+\tanh(\gamma (L-x))}{1+z_{L}\tanh(\gamma (L-x))}}$