Transmissielijnen/Smith-chart

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De ingangsimpedantie hangt met de belastingsimpedantie samen door de volgende relatie voor de relatieve waarden:

.

Omdat het om complexe grootheden gaat, is dit voor "handmatige" berekening een bewerkelijk karwei, maar de tegenwoordige computers voeren een dergelijke berekening met bijvoorbeeld programma's als Maple of Excel gemakkelijk uit.

In het verleden, vóór het gebruik van computers, lag dit anders. Er bleek echter een relatief eenvoudige grafische methode te zijn, de z.g.n. Smith-kaart, die berustte op de relatie tussen de (relatieve) impedantie en de reflectiecoëfficiënt op enig punt van de lijn.

en omgekeerd

.

De methode bepaalt bij de belastingimpedantie via geschikte cirkelvormige coördinaten de bijbehorende reflectiecoëfficiënt aan het einde van de lijn. De reflectiecoëfficiënt aan het begin van de lijn kan dan eenvoudig bepaald worden door de relatie:

,

die voor verliesvrije lijnen slechts een door de lengte bepaalde fasedraaiing betekent. Vervolgens wordt de bij deze reflectiecoëfficiënt behorende ingangsimpedantie weer van de cirkelvormige coördinaten afgelezen.

De hele procedure verloopt grafisch m.b.v. een Smith-kaart, een nomogram voor het omrekenen van de beide complexe parameters en in elkaar. Tegenwoordig is het gebruik van Smith-kaarten in de praktijk min of meer achterhaald.

Achtergrond Smith-kaart[bewerken]

Het nomogram berust op de volgende constateringen:

Noem

en

dan is:

.

Dus

en

Dwz.

of anders geschreven:

.

Voor vaste r zijn dit cirkels om het middelpunt met straal .

Evenzo:

,

of anders geschreven:

Voor vaste zijn dit cirkels om het middelpunt met straal .

Figuur 1. Principe van een Smith-kaart

In de bovenstaande figuur 1 zien we het principe van een Smith-kaart. De figuur toont volle cirkels voor de waarden 0, 0.33, 1 en 3 van het reële deel van de impedantie . De delen van cirkels daar "dwars" op zijn de lijnen voor de waarden 2, 1, 0.5, 0 (=as), -0.5, -1 en -2 van het imaginaire deel i van de impedantie .

In de figuur is een (relatieve) impedantie aangegeven, dus met en . De bijbehorende reflectiecoëfficiënt kan worden afgelezen in de gewone rechthoekige coördinaten, maar wordt meestal in poolcoördinaten en gegeven. De absolute waarde kan gevonden worden als fractie van de straal van de buitenste cirkel. Er geldt: en .

In onderstaande figuur zien we een in de praktijk gebruikte Smith-kaart.

Smith-kaart voor praktisch gebruik

Toepassing[bewerken]

Voor toepassing van de Smith-kaart gaan we uit van een verliesvrije lijn, of een lijn die bij de signaalfrequentie een zuiver ohmse karakteristieke impedantie heeft.

Het gebruik van een Smith-kaart gaat in beginsel in de volgende drie stappen.

Figuur 2. Gebruik van een Smith-kaart
  1. De gegeven impedantie wordt uitgezet op het cirkelvormige coördinatenstelsel voor het reele deel en het imaginaire deel van . In het centrale rechthoekige coördinatenstelsel stelt het uitgezette punt de reflectiecoëfficiënt voor. Dit stelsel is voor het gemak gegeven in poolcoördinaten en bepaalt dus en . In figuur 2 is de (relatieve) impedantie uitgezet.
  2. Bij een verliesvrije lijn wordt, door omcirkelen om de oorsprong over de juiste hoek, de reflectiecoëfficiënt aan het begin (of in een ander punt) van de lijn gevonden. In geval van demping door de lijn, kan de grootte van de reflectiecoëfficiënt aangepast worden. In figuur 2 komt de lengte van de lijn (of het relevante gedeelte) overeen met een hoek . Door omcirkelen over het dubbele van deze hoek wordt de reflectiecoëfficiënt aan het begin (of op een ander plaats) van de lijn gevonden.
  3. Op het cirkelvormige coördinatenstelsel kan de bijbehorende impedantie worden afgelezen. In het geval van figuur 2 is dat: .

Reciproke[bewerken]

De Smith-kaart kan ook gebruikt worden om van een (relatieve) impedantie de reciproke waarde te bepalen. Er geldt immers:

,

dus

,

en de waarde daarvan kan afgelezen worden bij .

Figuur 3. Bepaling van complexe inverse

In figuur 3 lezen we van de impedantie de inverse waarde af.


+++++++++++++++++++++++++++++++++werk in uitvoering++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Ook voor admittanties kan de Smith-kaart gebruikt worden. Immers:

    y = 1/z = ---

en

    Ga = -G = ---,

zodat met -G ipv. G gerekend moet worden. Dus G spiegelen tov. oorsprong.



 

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.