Transmissielijnen/Telegraafvergelijkingen

Een enkelvoudige elektrische transmissielijn bestaat uit twee equidistante geleiders van een bepaalde lengte $L$ en homogene structuur. De geleiders hebben afzonderlijk een zekere ohmse weerstand en zelfinductie en t.o.v. elkaar geleiding en capaciteit. Al deze parameters zijn evenredig met de lengte. Per lengte-eenheid worden ze gedistribueerde parameters genoemd, aangeduid met $r,l,g$ en $c$. De lijn is belast, afgesloten, met een belastingimpedantie $Z_{L}$. De ruimte tussen de geleiders is (deels) gevuld met een diëlektricum, hetgeen de golfsnelheid van de lijn beïnvloedt.

Aan het begin van de lijn ($x=0$) is een signaalbron aangesloten (maar niet in de afbeelding zichtbaar). Beschouw een stukje $x,x+\mathrm {d} x$ van de lijn. Spanning en stroom bij $x$ geven we aan met resp. $u(x,t)$ en $i(x,t)$.

De gedistribueerde parameters $c,g,r$ en $l$ zijn resp. de capaciteit, de (parallel)geleiding, de (serie)weerstand en de zelfinductie per lengte-eenheid van de lijn. We kunnen differentiaalvergelijkingen opstellen voor $u$ en $i$. Er geldt:

$u(x+dx,t+dt)-u(x,t)=-u_{r}-u_{l}\,$

en

$i(x+dx,t+dt)-i(x,t)=-i_{c}-i_{g}\,$

Voor de capaciteit $c\cdot \mathrm {d} x$ geldt:

$i_{c}=c\cdot \mathrm {d} x{\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}\,$,

en voor de zelfinductie $l\cdot \mathrm {d} x$:

$u_{l}=l\cdot \mathrm {d} x{\frac {\partial i(x,t)}{\partial t}}\,$.

Invullen in de genoemde differentiaalvergelijkingen levert:

$i(x+dx,t)-i(x,t)=-i_{c}-i_{g}=-c\cdot \mathrm {d} x{\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}-g\cdot \mathrm {d} x\cdot u(x,t)\,$

zodat

${\frac {i(x+\mathrm {d} x,t)-i(x,t)}{dx}}=-c{\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}-g\cdot u(x,t)\,$

of

$-{\frac {\partial i(x,t)}{\partial x}}=c{\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}+g\cdot u(x,t)\,$

Aaloog vinden we:

$-{\frac {\partial u(x,t)}{\partial x}}=r{\frac {\partial i(x,t)}{\partial t}}+l\cdot i(x,t)\,$

De beide vergelijkingen heten de telegraafvergelijkingen. Ze zijn lineair, dus volgens het superpositiebeginsel kunnen we volstaan met harmonische analyse.

We beschouwen daarom een sinusvormig signaal met frequentie $f$ en dus met cirkelfrequentie $\omega =2\pi \,f$. We rekenen complex en schrijven $u$ i.p.v. ${\underline {u}}$ en $i$ i.p.v. ${\underline {i}}$

De vergelijkingen worden:

$-{\frac {\partial i}{\partial x}}=(g+j\omega c)u\,$

en

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=(r+j\omega l)i\,$

We noemen

$\,\gamma ={\sqrt {(g+j\omega c)(r+j\omega l)}}$ de voortplantingscoefficient

en

$\,Z_{0}={\sqrt {\frac {r+j\omega l}{g+j\omega c}}}={\sqrt {\frac {(r+j\omega l)(g-j\omega c)}{g^{2}+\omega ^{2}c^{2}}}}$ , de karakteristieke impedantie.

Voor het gemak drukken we alle grootheden uit in de karakteristieke impedantie. Zo voeren we in:

$\,v=Z_{0}i$

dan krijgen de vergelijkingen de eenvoudige vorm

${\frac {\partial u}{\partial x}}=-\gamma v\,$

en

${\frac {\partial v}{\partial x}}=-\gamma u\,$.

met als oplossingen:

$\,u(x)=Ae^{-\gamma x}+Be^{+\gamma x}$

en

$\,v(x)=Ae^{-\gamma x}-Be^{+\gamma x}$.