Transmissielijnen/Spanning en stroom

De spanning u en de "stroom" v hebben de vorm:

$u(x)=u_{0}^{+}e^{-\gamma x}+u_{0}^{-}e^{+\gamma x}$

en

$v(x)=u_{0}^{+}e^{-\gamma x}-u_{0}^{-}e^{+\gamma x}$.

met

$u_{0}^{+}={\tfrac {1}{2}}(u_{0}+v_{0})$

en

$u_{0}^{-}={\tfrac {1}{2}}(u_{0}-v_{0})$.

We onderscheiden daarin de heengaande golf:

$u^{+}(x)=u_{0}^{+}e^{-\gamma x}$

en de gereflecteerde (teruggaande) golf:

$u^{-}(x)=u_{0}^{-}e^{+\gamma x}$.

De voortplantingscoëfficiënt

$\,\gamma =\alpha +j\beta$,

heeft als reëel deel de dempingscoëfficiënt α en als imaginair deel de fasedraaiïngscoëfficiënt β, ook golfgetal geheten.

Voor alle duidelijkheid herhalen we nog dat u en v de amplitude en de fase beschrijven. Het verloop langs de lijn en in de tijd is dus:

$u^{+}(x,t)=\Re (u_{0}^{+}e^{-\gamma x}e^{j\omega t})=\Re (u_{0}^{+}e^{-\alpha x}e^{j(\omega t-\beta x)})=u_{0}^{+}e^{-\alpha x}\cos(\omega t-\beta x)$

en

$u^{-}(x,t)=\Re (u_{0}^{-}e^{+\gamma x}e^{j\omega t})=\Re (u_{0}^{-}e^{+\alpha x}e^{j(\omega t+\beta x)})=u_{0}^{-}e^{+\alpha x}\cos(\omega t+\beta x)$

We zien dat de heengaande golf $u^{+}\,$ verloopt volgens:

$\,e^{-\gamma x}=e^{-\alpha x-j\beta x}$,

dus uitdempend volgens

$\,e^{-\alpha x}$

en met faseverloop

$\,e^{-j\beta x}$.

Analoog zien we dat $u^{-}\,$ verloopt volgens:

$\,e^{+\gamma x}=e^{+\alpha x+j\beta x}$,

dus met toenemende x in amplitude toenemend, wat inhoudt uitdempend in tegengestelde richting, volgens:

$\,e^{-\alpha x}$

en met faseverloop

$\,e^{+j\beta x}$.

Analoog voor de stroom.