Transmissielijnen/Samengestelde lijn

Soms zijn verscheidene transmissielijnen, elk met mogelijk een eigen karakteristieke impedantie, aan elkaar gekoppeld, eventueel via een elektrisch netwerk(je). Zo'n lijn is een samengestelde transmissielijn. Hieronder staat een voorbeeld van een lijn in drie delen

             Z01             Z02               Z03
                      R                C         
    ─┼─────────────────┼────────────────┤├────────────────────┐ 
                      ┌┴┐                                    ┌┴┐                                             
                      │ │                                    │ │   
                      │ │                                    │ │ ZL 
                      └┬┘                                    └┬┘  
    ─┼─────────────────┼─────────────────┼────────────────────┘
     0       L1              L2                 L3 

Om de ingangsimpeantie van de samengestelde lijn te bepalen gaan we als volgt tewerk.

We bepalen eerst de vervanginsimpedantie van het laatste deel:

$z_{in3}={\frac {z_{L}+\tanh(\gamma L_{3})}{1+z_{L}\tanh(\gamma L_{3})}}$

Vervolgens bepalen we de belasting van het voorlaatste (tweede) deel als de serieschakeling van de capaciteit C en de zojuist bepaalde vervangingsimpedantie.

           Z01             Z02             
                      R                C         
    ─┼─────────────────┼─────────────────┐ 
                       │                ─┴─
                       │                ─┬─
                      ┌┴┐               ┌┴┐                                             
                      │ │               │ │   
                      │ │               │ │ Zin3 
                      └┬┘               └┬┘  
    ─┼─────────────────┼─────────────────┘
     0       L1              L2                 

We moeten er steeds rekening mee houden dat we met relatieve impedanties z werken.

$z_{L2}={\frac {1}{Z_{02}}}({\frac {1}{j\omega C}}+z_{in3}Z_{03})$

Nu kunnen we de vervanginsimpedantie van het tweede deel berekenen.

$z_{in2}={\frac {z_{L2}+\tanh(\gamma L_{2})}{1+z_{L2}\tanh(\gamma L_{2})}}$

Het eerste deel is belast met de parallelschakeling van de weerstnd R en de zojuist bepaalde vervangingsimpedantie van het tweede deel.

          Z01                        
                      R                     
    ─┼─────────────────┼────┐                                                   
                      ┌┴┐  ┌┴┐                                         
                      │ │  │ │   
                      │ │  │ │ Zin2 
                      └┬┘  └┬┘  
    ─┼─────────────────┼────┘
     0       L1                           

$z_{L1}={\frac {1}{Z_{01}}}{\frac {1}{{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{z_{in2}Z_{02}}}}}$

Nu kunnen we de vervangingsimpedantie van het eerste deel berekenen; dit is de ingangsimpedantie van de samengestelde lijn.

$z_{in1}={\frac {z_{L1}+\tanh(\gamma L_{1})}{1+z_{L1}\tanh(\gamma L_{1})}}$

Dus:

$\,Z_{in1}=z_{in1}Z_{01}$

Voorbeeld

We nemen in het bovenstaande voorbeeld alle drie de lijnstukken als verliesvrije lijn met karakteristieke impedantie 50Ω en c = 10pF/m, R = 1kΩ en C = 0,1μF. De lijnstukken zijn respectievelijk 100m, 50m en 10m lang. De lijn is aangesloten op een bron met cirkelfrequentie ω = 100MHz en belast met een parallelkring bestaande uit een capaciteit C_L van 1,2nF, een inductantie L_L van 0,5μH en een weerstand R_Lvan 10Ω. De relatieve belastingsimpedantie is dus:

$\,z_{L}={\frac {Z_{L}}{Z_{0}}}={\frac {1}{Z_{0}(j\omega C_{L}+{\frac {1}{j\omega L_{L}}}+{\frac {1}{R_{L}}})}}={\frac {1}{6j+{\frac {1}{j}}+5}}={\frac {1}{5-5j}}=0{,}1+0{,}1j$.

Voor een verliesvrije lijn is

$\,Z_{0}={\sqrt {\frac {l}{c}}},$

zodat de voortplantingscoefficient is:

$\,\gamma =j\beta =j\omega {\sqrt {lc}}=j\omega Z_{0}c=0{,}05j$.

We vinden:

$z_{in3}={\frac {0{,}1+0{,}1j+\tanh(0{,}5j)}{1+(0{,}1+0{,}1j)\tanh(0{,}5j)}}={\frac {0{,}1+0{,}65j}{0{,}95+0{,}055j}}=0{,}145+0{,}675j$

Het tweede deel van de lijn is dus belast met:

$z_{L2}={\frac {1}{Z_{02}}}{\frac {1}{j\omega C}}+z_{in3}={\frac {1}{500j}}+0{,}145+0{,}675j=0{,}145+0{,}673j,$

zodat de vervangingsimpedantie is:

$z_{in2}={\frac {0{,}145+0{,}673j+\tanh(2{,}5j)}{1+(0{,}145+0{,}673j)\tanh(2{,}5j)}}={\frac {0{,}145-0{,}074j}{1{,}50-0{,}108j}}=0{,}099-0{,}042j$

Het eerste deel van de lijn is dus belast met:

$z_{L1}={\frac {1}{{\frac {Z_{01}}{R}}+{\frac {1}{z_{in2}}}}}={\frac {0{,}099-0{,}042j}{0{,}05(0{,}099-0{,}042j)+1}}={\frac {0{,}099-0{,}042j}{1{,}005-0{,}002j}}=0{,}099-0{,}041j.$

De ingangsimpedantie is dus:

$z_{in}={\frac {0{,}099-0{,}041j+\tanh(5j)}{1+(0{,}099-0{,}041j)\tanh(5j)}}={\frac {0{,}099-3{,}422j}{0{,}860-0{,}335j}}=1{,}445-3{,}418j,$

dus

$\,Z_{in}=z_{in}Z_{0}=72{,}3-170{,}9j(\Omega ),$

wat we ons kunnen voorstellen als een weerstand van 72,3Ω in serie met een capaciteit

${\frac {1}{170{,}9\omega }}=58{,}5pF$.