Lineaire algebra/Bilineaire vorm

Content-type: text/html

\chapter{Bilineaire en kwadratische vormen}

Definitie:
Als $\textstyle (F,V,+)$ een vectorruimte is over het veld $\textstyle F$, dan defini\"eren we een bilineaire vorm als $\textstyle \langle ,\rangle :V\times V\to F:(v_{1},v_{2})\mapsto \langle v_{1},v_{2}\rangle$, lineair in beide componenten.

We noemen een bilineaire vorm symmetrisch a.s.a.

$\forall v_{1},v_{2}\in V:\langle v_{1},v_{2}\rangle =\langle v_{2},v_{1}\rangle$

Stel dat we een symmetrische bilineare vorm hebben, dan is

$q:V\to F:v\mapsto \langle v,v\rangle$

de bijhorende kwadratische vorm (quadratic form). Over deze kwadratische vorm hebben we wat meer informatie:

${\begin{aligned}\forall v_{1},v_{1}\in V:\\q(v_{1}+v_{2})&=\langle v_{1}+v_{2},v-1+v_{2}\rangle \\&=\langle v_{1},v_{1}\rangle +\langle v_{1},v_{2}\rangle +\langle v_{2},v_{1}\rangle +\langle v_{2},v_{2}\rangle \\&=q(v_{1})+2\langle v_{1},v_{2}\rangle q(v2)\end{aligned}}$

Dus weten we, als we in een veld zijn waar $\textstyle 2\neq 0$\footnote{een veld waar $\textstyle 2=0$ is bijvoorbeeld het veld $\textstyle \mathbb {Z} _{2}$, dit veld is veel gebruikt in computer wetenschappen}, dan is

${\frac {q(v_{1}+v_{2})-q(v_{1})-q(v_{2})}{2}}=\langle v_{1},v_{2}\rangle$

Matrix voorstellingen

Gegeven een symetrische bilineaire vorm op een vectroruimte $\textstyle (F,V,+)$ kunnen we steeds een matrix van die vorm opstellen. Kies eerst een basis $\textstyle \beta =\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ van $\textstyle V$. Dan kan je iedere $\textstyle v\in V$ schrijven t.o.v. de basisvectoren:

$v=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}$

Dan is

${\begin{aligned}\langle v,w\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},\sum _{i=1}^{n}y_{i}v_{i}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\langle v_{i},v_{j}\rangle y_{i}\\&={\begin{pmatrix}x_{1}&\ldots &x_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle v_{1},v_{1}\rangle &\ldots &\langle v_{1},v_{n}\rangle \\\vdots &\ddots &\vdots \\\langle v_{n},v_{1}\rangle &\ldots &\langle v_{n},v_{n}\rangle \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Aangezien we met een symmetrische vorm werken wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrische is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm.

Basisverandering

We zullen onderzoeken wat er gebeurd bij basisverandering. Stel dat je een nieuwe basis $\textstyle \beta '=\{v'_{1},\ldots ,v'_{2}\}$ Dan weten we dat er een inverteerbare matrix $\textstyle P\in F^{n\times n}$ bestaat zodat $\textstyle (v'_{1},\ldots ,v'_{n})=P(v_{1},\ldots ,v_{2})$. We kunnen dus een vector $\textstyle v\in V$ op twee manieren ontbinden:

${\begin{aligned}\end{aligned}}$