Wiskunde/Rekenkunde

Voorwoord

Deze pagina bevat basale informatie, die wellicht voor veel mensen overbodig is. Deze informatie wordt toch toegevoegd aan dit Wikiboek over wiskunde, omdat:

• er gestreefd wordt naar een groot en duidelijk leerboek;
• men bij ingewikkelde berekeningen altijd moet kunnen terugvallen op de basis;
• deze informatie niet alleen gebruikt kan worden om te leren, maar ook om uit te leggen, wat in veel gevallen nog moeilijker is.

Alle 'vaktaal' en begrippen zullen uitgelegd worden, of op de pagina zelf, of d.m.v. een link naar bijv. Wikipedia. Een uitgebreidere en eenvoudigere uitleg van veel onderwerpen van Rekenkunde staan in het boek Rekenen, dit is slechts een samenvatting voor een beter begrip van de rest van het wiskundeboek. Voor wie moeite heeft met deze pagina, is dat een goed alternatief. Een boek Rekenkunde** gaat volgen, dat dieper ingaat op de stof die hieronder beschreven wordt.

Begin bij het begin

In het dagelijkse leven en in de wetenschap worden veel dingen uitgedrukt in getallen. Die getallen willen we ook opschrijven; dat doen we met een of meer cijfers. Bij het alledaagse rekenen gebruiken we daarvoor voornamelijk het decimale talstelsel. Daarin worden alle getallen geschreven met behulp van de cijfers 0 t/m 9 en indien nodig een komma. Dit talstelsel zal ook worden gebruikt in deze rekenkundepagina, tenzij specifiek aangeven wordt dat een ander systeem gebruikt wordt.

Soms willen we ook rekenen met "getallen" waarvan we de waarde (nog) niet weten, of die verschillende waarden mogen hebben. We spreken van parameters en variabelen. We noteren ze met letters of andere symbolen (meestal Griekse letters), waaraan een bepaalde waarde gegeven is of die een waarde kunnen aannemen. Ook is het soms handig om een bepaald getal een naam te geven, door het getal aan te geven met een letter. Dan hoeven we niet steeds dat getal op te schrijven; en ... als we later toch een andere waarde willen gebruiken, hoeven we niet alles opnieuw op te schrijven. Een variabele kan opgevat worden als: elk getal kan hier ingevuld worden.

Met alleen getallen zijn we niet tevreden, we willen er ook mee rekenen. Dit gebeurt met operatoren. We onderscheiden unaire' operatoren en binaire.

Unaire operatoren

Unaire operatoren zijn operatoren die een bewerking uitvoeren op één getal. Een voorbeeld hiervan is worteltrekken. De operator wordt aangeduid met het symbool ${\sqrt {^{^{\ }}}}$, en werkt slechts op één getal, bijvoorbeeld:

${\sqrt {9}}=3$

Binaire operatoren

Binaire operatoren vormen een bewerking uit op twee getallen. Deze getallen staan meestal links en rechts van de operator. Voorbeelden hiervan zijn:

• optellen (symbool +):

$3+2$

• aftrekken (symbool -):

$3-2$

• vermenigvuldigen (symbool ×, * of .)

$3\times 2$

• delen (symbool / of :)

$3/2$

Optellen en vermenigvuldigen zijn commutatief, d.w.z. dat: $2+5=5+2$ en $3\times 4=4\times 3$. Aftrekken en delen zijn niet commutatief.

Assignment ook mag een leerling pas verder met een volgend hoofdstuk als hij de repetitie af heeft van het hoofdstuk waarmee hij klaar is , dit staat officieel in de schoolwetten van nederland

De assignmentoperator (ook wel toekenningsoperator) is een speciale operator die voornamelijk gebruikt wordt bij het resultaat van een formule. Wat aan de ene kant van deze operator staat moet gelijk zijn aan wat aan de andere kant staat.

$=$assignment

Aan de slag

Nu volgt uitleg over berekeningen van de 1e, 2e, en 3e orde, d.w.z. optellen/aftrekken, vermenigvuldigen/delen en machtheffen/worteltrekken. Maar eerst de zogenaamde voorrangsregels van de wiskunde:

Voorrangsregels

De welbekende regel Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord, die staat voor:
Machtsverheffen ? Vermenigvuldigen ? Delen ? Worteltrekken ? Optellen ? Aftrekken is verouderd en dient niet meer gebruikt te worden.

Inmiddels wordt gewerkt met de volgende volgorde:
Haakjes ? Machtverheffen / Worteltrekken ? Vermenigvuldigen / Delen ? Optellen / Aftrekken
Dit is makkelijk te onthouden met de volgende regel: Het Mannetje Won Van De Oude Aap Of: Hoe Makkelijk Was De Volgorde Ook Alweer?

De / betekent dat de operators in gelijke rang zijn, ze worden in dat geval dan in volgorde van links naar rechts uitgevoerd.

Haakjes in een berekening geven aan dat dat deel eerst uitgerekend moet worden, voor de rest van de berekening. (Meestal worden deze haakjes gebruikt), [maar als er haakjes binnen haakjes komen te staan worden voor de duidelijkheid deze haakjes meestal gebruikt].

Optellen

De meest eenvoudige berekening die we kunnen doen, is bij een getal één optellen. Beginnend bij 0 (nul) krijgen we:

$0+1=1$

In deze simpele formule zie je twee getallen staan (0 en 1), een binaire operator (+) en een assignmentoperator (=).

De volgende is wat moeilijker:

$1+1=2$

Waar komt de 2 vandaan? Dit is een natuurlijk getal en bij afspraak de opvolger van 1. De volgende waarden zijn:

3 4 5 6 7 8 9

Na 9 komt 9 + 1, dat heet tien en in het decimale stelsel schrijven we dat als 10. Zoals uitgelegd op de talstelselpagina, mag je voor elk getal een willekeurig aantal nullen zetten zonder dat de waarde verandert. 9 Is dus hetzelfde als 00000009. Willen we verder dan 9, dan tellen we één op bij het eerstvolgende cijfer links van het cijfer dat we willen ophogen. Het cijfer dat we ophogen zetten we terug naar 0.

Aangezien we net hebben gesteld dat $0+1=1$, wordt het dus $09+1=10$ (of $009+001=010$, of $9+1=10$). Vanaf hier worden geen voorloopnullen meer geschreven.

Nog enkele voorbeelden:

$3+1=4$

$19+1=20$

$88+1=89$

$99+1=100$

$124+1=125$

Tot nu toe hebben we nog maar 1 opgeteld bij de andere getallen. Dit kan ook anders:

$0+2=2$

$2+2=4$

$3+2=5$

$9+2=11$

$0+12=12$

$89+22=111$

$100+23=123$

Er kunnen ook meer getallen tegelijk opgeteld worden; dit gebeurt in principe van links naar rechts, maar de volgorde doet er niet toe:

$1+1+1=(1+1)+1=2+1=3$

$15+23+36=(15+23)+36=38+36=74$

maar ook:

$15+23+36=15+(23+36)=15+59=74$

$15+23+36=23+(15+36)=23+51=74$

Als een waarde bij een negatief getal moet worden opgeteld(bijv. $-5+8$, kan dat op twee manieren uitgerekend worden. Omdat optellen commutatief is, geldt $-5+8=8-5$. Hoe dit berekend wordt, staat hieronder bij aftrekken. Een andere manier is om eerst terug te tellen naar 0, om daarna een 'gewone' som over te houden. De regel is, dat:

$-11+1=-10$

$-10+1=-9$

...

$-2+1=-1$

$-1+1=0$

Of in 1 keer:

$-2+2=0$

$=-10+10=0$

etcetera

Voor ons voorbeeld geldt dus:

$-5+8=-5+5+3=0+3=3$

Aftrekken

Aftrekken is het tegenovergestelde van optellen.

$1+2=3$

$3-2=1$

Waar het bij optellen niet uitmaakt of er haakjes staan, maakt dat bij aftrekken wel verschil:

$25-13-11=1$

$25-(13-11)=25-2=23$

$25-(11-13)=25-(-2)=25+2=27$

Optellen en aftrekken kan in elke volgorde (mits geen waardes tussen haakjes):

$5+12-6=17-6=11$

$5-6+12=-1+12=11$

$-6+12+5=6+5=11$

Als een getal van een negatieve waarde wordt afgetrokken, moet je de (–)tekens even wegdenken, en de waardes bij elkaar optellen, en voor het antwoord weer een (–)teken zetten: $-5-6$ wordt $5+6=11$ en dan het (–)teken ervoor: $-5-6=-11$

Bewijs(m.b.v. vermenigvuldigen met negatieve getallen, zie hieronder):

$-5-6=-1\times 5+(-1\times 6)=-1\times (5+6)=-1\times 11=-11$

Vermenigvuldigen

Vermenigvuldigingen worden geschreven in de volgende vorm: $a*b=c$ of $a\times b=c$ of $a\cdot b=c$. Er zijn dus drie tekens voor vermenigvuldigen: het sterretje (*), het kruisje ($\times$) en de punt ($\cdot$). Spreek uit: a keer b is c, of a maal b is c. Ook twee (combinaties van) getallen tussen haakjes, niet gescheiden door een operator, is een vermenigvuldiging

$(4+5)(2+1)=(4+5)\times (2+1)=9\times 3=27$

en hoeven ook niet gescheiden te worden door een van de vermenigvuldigingstekens.

$3\times 2$ betekent dus 3 maal 2, oftewel $2+2+2=6$

$x\cdot 1=x$, want als je 1 keer van iets hebt, heb je precies dat iets.

Vermenigvuldigingen kunnen net zoals optelsommen omgedraaid worden.

$4\times 6=6+6+6+6=24$

$6\times 4=4+4+4+4+4+4=24$

Vermenigvuldigingen met meer dan twee getallen gaat als volgt:

$5\times 3\times 2=(5\times 3)\times 2=15x2=30$

of

$5\times 3\times 2=5\times (3\times 2)=5\times 6=30$

Vermenigvuldigen met negatieve getallen is vrij eenvoudig. Behalve $x=1\cdot x$, geldt ook $-x=-1\cdot x$ en de daaruit voortvloeiende $-x\cdot -1=x$. Dit komt doordat de negatieve getallen (op de getallenlijn) het spiegelbeeld zijn van de positieve. Met deze regel kunnen we vermenigvuldigen met negatieve getallen gemakkelijk uitleggen:

$3\times -4=3\times (-1\times 4)=(-1)\times 3\times 4=-1\times 12=-12$

$-3\times -4=(-1\times 3)\times (-1\times 4)=(-1\times -1)\times (3\times 4)=1\times 12=12$

De algemene regel voor producten is dat de uitkomst positief is bij een even aantal negatieve getallen, en negatief bij een oneven aantal negatieve getallen.

Delen

Delen is het omgekeerde van vermenigvuldigen. $5\times 3=15$, $15/3=5$ en $15/5=3$ Het eerste getal (hetgene voor de schuine streep) heet deeltal, het tweede is de deler. Er zijn vier bekende notaties van delen. De dubbelepunt (15:3=5), de dubbelepunt met een horizontale streep ertussen, de horizontale streep en de schuine streep (15/3=5). De dubbelepunt wordt in het basisonderwijs gebruikt. De dubbelepunt met een horizontale streep ertussen en de schuine streep worden vaak op de deeltoets van een rekenmachine gebruikt. De schuine streep wordt ook vaak gebruikt op de computer; het is een gemakkelijke notatie voor delingen (quotiënten) met slechts één getal als deeltal en een als deler (breuken). Zodra er echter meer karakters in het spel komen, of er komt een breuk binnen een breuk, wordt het onduidelijk. In deze gevallen wordt meestal een liggende streep gebruikt om aan te duiden wat het deeltal en wat de deler is:

${\frac {2+(5\times 2-3)}{25+{\frac {3}{12}}}}$

Dit is veel duidelijker dan $[2+(5x2-3)]/[25+(3/12)]$ Bij delen moet rekening gehouden worden met de volgorde waarin gedeeld wordt:

$24/(6/2)=24/3=8$

$(24/6)/2=4/2=2$

Voor delen met negatieve getallen geldt hetzelfde als vermenigvuldigen; een oneven aantal negatieve getallen geeft een negatieve uitkomst en een even aantal negatieve getallen een positieve uitkomst. Delen en vermenigvuldigen kan door elkaar:

$5\times 4/2=20/2=10$

$5/2\times 4=2{,}5\times 4=10$

Breuken: Breuken zijn eigenlijk niets anders dan eenvoudige delingen. Een kwart is gelijk aan 1 gedeeld door 4. Breuken bestaan altijd uit twee gehele getallen. De deler van een breuk heet noemer en het deeltal teller. De teller telt hoe vaak de noemer in de breuk voorkomt.

Machtsverheffen

Machten zijn speciale vermenigvuldigingen. Het is een korte notatie voor het vermenigvuldigen van één getal met zichzelf. De bekendste macht is de tweede macht, ofwel het kwadraat. $5^{2}=5\times 5=25$, of algemeen: $x^{2}=x\cdot x$ (spreek uit: vijf tot de tweede (macht), of: vijf kwadraat) De algemene vorm van een macht is: $p^{q}$ (lees: p tot de macht q). p is het grondtal, dit getal wordt een aantal malen met zichzelf vermenigvuldigd. Het getal q, de exponent, geeft aan hoeveel keer p als factor in de vermenigvuldiging voorkomt.

$2^{5}=2\times 2\times 2\times 2\times 2=4\times 2\times 2\times 2=8\times 4=32$

Ook geldt dat $p^{-q}={\frac {1}{p^{q}}}$

en $p^{0}=1$

Worteltrekken

Worteltrekken kan opgevat worden als het omgekeerde van machtsverheffen. De bekendste wortel is de vierkantswortel (${\sqrt {\ }}$). Dit is het omgekeerde van het kwadraat; je berekent hiermee van welk getal het kwadraat genomen moet worden, om het getal onder de wortel te krijgen. ${\sqrt {25}}=5$, want $5^{2}=25$. Afspraak is dat een vierkantswortel niet negatief is. Een andere notatie van de vierkantswortel is: ${\sqrt {a}}=a^{1/2}$.

Er bestaan ook andere wortels. De derdemachtswortel rekent bijvoorbeeld uit welk getal tot de derde macht verheven moet worden om het getal onder de wortel te krijgen: ${\sqrt[{3}]{27}}=3$, want $3^{3}=27$. Omdat $(a^{1/3})^{3}=a$, schrijft men ook ${\sqrt[{3}]{a}}=a^{1/3}$.

Heel algemeen schrijft men: ${\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n}$.

Procenten

Een procent (%) staat voor een honderdste deel $1\%={\frac {1}{100}}=0{,}01$. Procenten zijn in sommige gevallen gemakkelijker te lezen dan decimalen of breuken. Als je n % van a wilt uitrekenen, schrijf je dat als volgt $a*n\%=$, en reken je uit: $a*{\frac {n}{100}}$, bijvoorbeeld: 5% van 60 is $60*{\frac {5}{100}}=3$.

Bij het spreken over procenten worden vaak fouten gemaakt. Soms zie je staan: Rente gaat met 1% omhoog. Als de rente op dat moment 5% is, en met 1% omhoog zou gaan, wordt de nieuwe rente $5+5*{\frac {1}{100}}=5{,}05\%$. Waarschijnlijk werd er bedoeld dat de rente van 5% naar 6% gaat. De kop had dan moeten zijn: Rente gaat met één procentpunt omhoog.

Om te berekenen hoeveel geld je hebt na een jaar, als je bijvoorbeeld €100 op de bank zet met 3% rente, reken je dat als volgt uit: Rente is $100*{\frac {3}{100}}=3$, plus het beginbedrag: $100+3=103$.

Een eenvoudiger manier is om die twee berekeningen samen te voegen, en het feit gebruiken dat $100=100*100\%$:

$100*{\frac {100}{100}}+100*{\frac {3}{100}}=100*\left({\frac {103}{100}}\right)=100*1{,}03$

De algemene regel is: Als een bedrag K op een rekening wordt gezet met r% rente, is het bedrag na 1 jaar:

$K*{\frac {100+r}{100}}$