Rekenen/Vermenigvuldigen

Vermenigvuldigen is een rekenkundige bewerking waarbij een getal (het eerste) herhaaldelijk bij zichzelf wordt opgeteld. Het aantal herhalingen is het tweede getal. Beide getallen worden de factoren genoemd, de uitkomst heet het product.

Er zijn verschillende methoden om het product te berekenen.

Tellen

Staan ergens 4 rijen van 12 kruisjes,

     1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
  
 1   x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  
 2   x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x 
 3   x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x 
 4   x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x 

dan kunnen we weer door de rijen bij elkaar op te tellen ontdekken dat er nu 48 kruisjes staan:

12 + 12 + 12 + 12 = 48

Vermenigvuldigen

Dat is nogal omslachtig, we kunnen daar sneller achter komen door het getal 12 met 4 te vermenigvuldigen:

4 × 12 = 48 (vier keer twaalf is achtenveertig).

In plaats van "keer" zeggen we ook wel "maal", dus: vier maal twaalf is ...

We krijgen weer een natuurlijk getal als uitkomst. Die uitkomst heet het product van de getallen 4 en 12; 4 heet vermenigvuldiger en 12 vermenigvuldigtal. Omdat hun rol verwisselbaar is, wordt elk wel als factor van het product aangeduid. We kunnen vermenigvuldigen opvatten, zoals we hierboven zagen, als herhaald optellen: we tellen 4 keer 12 bij elkaar op.

Dat vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal verwisseld mogen worden, zien we in het voorbeeld door het optellen van de 12 kolommen met elk 4 kruisjes:

12 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 48

We zien dus dat 4 × 12 = 12 × 4

Methode

Niet al te grote getallen kunnen we nog uit het hoofd met elkaar vermenigvuldigen, maar we hebben weer een algemene methode nodig. Die methode berust weer op ons decimaal talstelsel.

Het product 49 × 236 rekenen we per cijfer van de vermenigvuldiger uit:

49 × 236 = 49 × 6 + 49 × 30 + 49 × 200 = 49 × 6 + 49 × 3 × 10 + 49 × 2 × 100

Omdat vemenigvuldigen met 10, 100, 1000 enz. alleen maar het achterplaatsen van nullen betekent, moeten we dus berekenen:

49 × 6 = 40 × 6 + 9 × 6 = 4 × 6 × 10 + 9 × 6
49 × 3 = 40 × 3 + 9 × 3 = 4 × 3 × 10 + 9 × 3 
49 × 2 = 40 × 2 + 9 × 2 = 4 × 2 × 10 + 9 × 2

Uiteindelijk komt de hele vermenigvuldiging neer op het berekenen van producten van twee getallen onder de 10. Daarom leren we die poducten uit ons hoofd via de tafels van vermenigvuldiging.

We schrijven de berekening weer onder elkaar en vermelden apart de tussenresultaten:

     4 9                    
   2 3 6              
 ——————— × (6)
      54
     
     5   ←— onthouden
     4 9                    
   2 3 6              
 ——————— × (6)
    29 4      
     
   2     ←— onthouden
     4 9                    
   2 3 6              
 ——————— × (6)
   2 9 4        
     
     
     4 9                    
   2 3 6              
 ——————— × (30 = 3 × 10, vandaar eerst een 0 geschreven)
   2 9 4        
    27 0 
   
     2
     4 9                    
   2 3 6              
 ——————— × (30)
   2 9 4        
  14 7 0  
 
 
     4 9                    
   2 3 6              
 ——————— × (30)
   2 9 4        
 1 4 7 0   

     4 9                    
   2 3 6              
 ——————— × (200 = 2 × 100, daarom eerst 2 0-en)
   2 9 4        
 1 4 7 0  
  18 0 0

     1
     4 9                    
   2 3 6              
 ——————— × (200)
   2 9 4        
 1 4 7 0  
 9 8 0 0
———————— +
11 5 6 4

Dit schrijven we natuurlijk in een keer op; de tussendoor te onthouden getallen schrijven we ook niet meer op, we onthouden ze echt.

    49                    
   236              
  ———— × 
   294        
  1470  
  9800
 ————— +
 11564

Overigens is het handiger om het grootste getal bovenaan te zetten en dan met het kleinere getal daaronder te vermenigvuldigen.

Tafels van vermenigvuldiging

Essentieel bij vermenigvuldigen zijn de tafels van vermenigvuldiging (en deling). Die moet je uit je hoofd kennen, vooral die voor de eerste tien cijfers (en die van 11 is niet moeilijk en neem die van 12 ook gelijk mee). Deze tafels zijn in de regel alleen goed te leren door ouderwets te stampen, door ze stuk voor stuk enkele malen achter elkaar op te dreunen en er vervolgens vele opgaven mee te maken. Je hebt er een leven lang plezier van.

de tafels van vermenigvuldiging

Vermenigvuldigen met negatieve getallen

Als we 4 keer een tekort van 12 hebben, dan is het totale tekort natuurlijk 48.

4 × (–12) = –48

Omdat we de factoren van een product mogen verwisselen is:

(–12) × 4 = 4 × (–12) = –48

Hoe berekenen we (–4) × (–12)? Door een minteken ontstaat een tekort, maar door nog een minteken ontstaat weer een overschot:

(–4) × (–12) = 48

Algemeen: tel het aantal mintekens. Is dat oneven dan komt er een – voor de uitkomst:

(–4) × 12 × (–3) × (–2) = – 4 × 12 × 3 × 2 = –288.

Is dat even dan komt er geen teken voor de uitkomst, of we schrijven een +:

(-4) × (-12) × (-3) × (-2) = 4 × 12 × 3 × 2 = 288 = +288.