Rekenen/Breuken

Uit Wikibooks
Ga naar: navigatie, zoek

Wat als we 2 delen door 3? Duidelijk is dat als we 2 appels met z'n drieën moeten delen elk minder dan een hele appel krijgt. Het gemakkelijkst is het beide appels in 3 delen te delen en elk daar 2 stukken van te geven. Zo'n derde deel heet een derde en we noteren het als:

\frac 13 of als 1/3.

Daarvan krijgt elk er 2, dus elk krijgt:

\frac 23 (twee derde), ook geschreven als 2/3.

We noemen zulke getallen breuken. We schrijven het als een streep, de breuk- of deelstreep, met een getal erboven en een getal eronder. Ook wordt de breuk wel op een lijn geschreven, met een schuine breukstreep. Het getal boven de breukstreep heet teller, dat onder de breukstreep noemer. De teller telt hoe vaak een deel dat door de noemer bepaald wordt, voorkomt. Zo is:

\frac {7}{13} (zeven dertiende ) of 7/13,

de breuk waarin 7 keer een dertiende deel voorkomt. Deel 7 appels met z'n dertienen. Dat doen we 't eenvoudigst door elke appel in 13 stukken te verdelen en ieder 7 van die stukken te geven.

Soms is de uitkomst een geheel getal:

\frac {48}{4} = 48 : 4 = 12.

Kennelijk is de breuk 48/4 hetzelfde als het getal 12. Dat is ook begriijpelijk, want 48 stukken van een vierde is evenveel als 12 hele.

We kunnen ook hele getallen met breuken combineren:

\frac {49}{4} = 49 : 4 = 12 + \tfrac 14 = 12 \tfrac 14 (twaalf een vierde).

Namen[bewerken]

Hoe noemen we al die breuken? Van een paar hebben we al gezien hoe ze heten. Hier volgen er nog een paar:

\tfrac 12 een half
\tfrac 14 een vierde
\tfrac 38 drie achtste
\tfrac 7{21} zeven eenentwintigste
\tfrac 3{100} drie honderdste
\tfrac 3{101} drie honderdeende
1\tfrac 12 anderhalf
3\tfrac 12 drie (en) een half
8\tfrac 23 acht twee derde

Vereenvoudiging[bewerken]

Niet alleen zijn sommige breuken hetzelfde als een geheel getal, maar ook zijn veel breuken aan elkaar gelijk. Zo is:

\frac 23 = \frac 46 = \frac{24}{36} = \frac{448}{672}.

We kunnen het getal dat door de breuk 2/3 bepaald is, op oneindig veel verschillende manieren opschrijven. Al die vormen van 2/3 ontstaan door zowel de teller als de noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen.

\frac 23 = \frac{2\times 2}{2\times 3} = \frac{12\times 2}{12\times 3} = \frac{224\times 2}{224\times 3}.

Dat is erg onoverzichtelijk, daarom zoeken we altijd naar de eenvoudigste vorm door de grootste gemeenschappelijke factor van teller en noemer er uit te delen. Die factor heet ggd (= grootste gemene deler) van teller en noemer. Het uitdelen van die factor heet vereenvoudigen van de breuk. Na vereenvoudiging ontstaat de eenvoudigste vorm van de breuk.

\frac{34}{119} = \frac{17\times 2}{17\times 7} = \frac 27
\frac{3072}{1280} = \frac{256\times 12}{256\times 5} = \frac{12}{5}
\frac{342}{456} = \frac{114\times 3}{114\times 4} = \frac 34

Alle breuken samen vormen getallen waar we alle bewerkingen als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (behalve door 0) mee kunnen uitvoeren. We noemen ze ook rationale getallen, naar het Latijnse woord "ratio" (verhouding).

Optellen van breuken[bewerken]

Hoe tellen we breuken bij elkaar op? Soms is het gemakkelijk:

\frac 27 + \frac 37 = \frac {2+3}7 = \frac 57,

want 2 stukken van 1/7 en nog eens 3 stukken van 1/7 betekent natuurlijk 5 stukken. Zo is:

\frac {8}{39} + \frac {5}{39} = \frac {8+5}{39} = \frac {13}{39} = \frac 13.

Maar wat als de noemers niet gelijk zijn?

\frac 27 + \frac 38 = ?

Dan moeten we ervoor zorgen dat de noemers wel gelijk aan elkaar zijn. We zeggen dat we de breuken gelijknamig maken, of op één noemer brengen. Daartoe vermenigvuldigen we de teller en de noemer met het zelfde getal, waardoor de breuk als getal niet verandert. We nemen voor dat getal de noemer van de andere breuk.

\frac 27 + \frac 38 = \frac{8\times 2}{8\times 7}+ \frac{7\times 3}{7\times 8} = \frac{16}{56} + \frac{21}{56} = \frac{16+21}{56} = \frac{37}{56}

Soms kan met kleinere getallen volstaan worden:

\frac {4}{21} + \frac {3}{14} = \frac{2\times 4}{2\times 21}+ \frac{3\times 3}{3\times 14} = \frac{8}{42} + \frac{9}{42} = \frac{8+9}{42} = \frac{17}{42}.

De eenvoudigste gemeenschappelijke noemer heet kgv (=kleinste gemene veelvoud) van de beide noemers.

Natuurlijk hadden we ook kunnen nemen:

\frac {4}{21} + \frac {3}{14} = \frac{14\times 4}{14\times 21}+ \frac{21\times 3}{21\times 14} = \frac{56}{294} + \frac{63}{294} = \frac{119}{294} = \frac{17}{42}.

Aftrekken van breuken[bewerken]

Ook voor het aftrekken van breuken is het het gemakkelijkst als ze dezelfde noemer hebben.

\frac 37 - \frac 27 = \frac {3-2}7 = \frac 17.
\frac {8}{39} - \frac {5}{39} = \frac {8-5}{39} = \frac {3}{39} = \frac {1}{13}.
\frac 38 - \frac 27 = \frac{7\times 3}{7\times 8} - \frac{8\times 2}{8\times 7} = \frac{21}{56} - \frac{16}{56} = \frac{21-16}{56} = \frac{5}{56}

We kunnen ook negatieve uitkomsten krijgen:

\frac {5}{39} - \frac {8}{39} = \frac {5-8}{39} = \frac {-3}{39} = -\frac {1}{13}.

Vermenigvuldigen van breuken[bewerken]

Om twee breuken met elkaar te vermenigvuldigen, moeten zowel de tellers als de noemers met elkaar vermenigvuldigd worden.

\frac 37 \times \frac 25 = \frac {3\times 2}{7\times 5} = \frac {6}{35}.

Delen door breuken[bewerken]

Als we iets met 1/2 vermenigvuldigen, is dat hetzelfde als delen door 2. We zeggen wel dat we iets "door de helft" delen, maar we bedoelen eigenlijk iets in twee helften delen, in tweeën delen. Vermenigvuldigen met 1/5, betekent in vijven delen, dus delen door 5. Daaruit leren we de eenvoudige regel: delen door een getal is vermenigvuldigen met het omgekeerde van dat getal. Delen door 2/3 is hetzelfde als vermenigvuldigen met 3/2.

5 : 2 = 5 \times \frac 12 =\frac 52
5 : \frac 12 = 5 \times 2 = 10
\frac 37 : \frac 58 = \frac 37 \times \frac 85  = \frac {24}{35}
\frac 37 : 2 = \frac 37 \times \frac 12  = \frac {3}{14}

 

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.