Rekenen/Delen
Delen is een rekenkundige bewerking met twee getallen. Het ene getal, het deeltal, wordt gedeeld door het andere getal, de deler. Het resultaat of de uitkomst heet quotiënt. Delen is de omgekeerde bewerking van vermenigvuldigen.
De 48 kruisjes, die we verkregen door 12 met 4 te vermenigvuldigen, gaan we met z'n vieren delen; hoeveel krijgt elk? Elk krijgt er weer 12. In dit geval is het deeltal 48, de deler is 12 en het quotiënt is 4.
Om een uitkomst te krijgen, zijn er verschillende methoden.
Aftrekken
[bewerken]We kunnen delen opvatten als herhaald aftrekken: hoe vaak kunnen we 4 van 48 aftrekken? Dat gaat 12 keer:
48 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 = 0
Rekenen
[bewerken]We gaan niet meer tellen of aftrekken, maar rekenen gelijk uit:
48 : 4 = 12 (achtenveertig gedeeld door vier is twaalf).
Zo is
48 : 3 = 16 48 : 12 = 4 48 : 6 = 8.
Delen is dus het omgekeerde van vermenigvuldigen:
3 x 16 = 48 en 48 : 3 = 16 12 x 4 = 48 en 48 : 12 = 4 6 x 8 = 48 en 48 : 6 = 8
Maar wat als we 48 met z'n vijven delen? Elk krijgt dan 9 en er blijven nog 3 over. We noemen die overblijvende de rest van de deling.
48 : 5 = 9 rest 3
Dit is een andere manier om te schrijven:
48 = 9 x 5 + 3
Staartdeling
[bewerken]Ook voor delingen is er een systematische methode, staartdeling genaamd. Die berust weer op het decimale stelsel en voert de deling eigenlijk uit door herhaald aftrekken, maar dan voor de eenheden, de tientallen, de honderdtallen etc. in volgorde van groot naar klein, apart uit te voeren. We berekenen 11564 : 49. We noteren:
49 / 11564 \
en gaan na hoe vaak 49 van 115 kan worden afgetrokken. Die 115 vormt het eerste deel van het deeltal dat groter is dan de deler en stelt 115 100-tallen voor. Dat gaat 2 keer, wat we rechts noteren, waarna we de aftrekking uitvoeren.
49 / 11564 \ 2
98
———
17
We zijn klaar met de 100-tallen, en hebben er nog 17 over; dat zijn 170 tientallen. In het deeltal staan 6 tientallen, samen 176. We zeggen: we halen er een volgend cijfer bij:
49 / 11564 \ 2
98
———
176
en gaan weer na hoe vaak de deler van het ontstane getal 176 kan worden afgetrokken. Dit gaat 3 keer, wat we na de eerst geschreven 2 noteren, waarna we de aftrekking weer uitvoeren.
49 / 11564 \ 23
98
———
176
147
———
29
Zo gaan we verder:
49 / 11564 \ 236
98
———
176
147
———
294
294
———
0
Normaal ontstaat de staartdeling al rekenend, en zien we dus alleen het laatst getoonde resultaat. Daaruit zien we:
11564 : 49 = 236
Niet altijd gaat de deling op, wat inhoudt dat er geen rest (rest 0) is. Zo zal het resultaat van de deling: 11578 : 49 een rest opleveren:
49 / 11578 \ 236
98
———
177
147
———
308
294
———
14
Resultaat:
11578 : 49 = 236 rest 14
of anders geschreven:
11578 = 49 x 236 + 14.
Delen door nul
[bewerken]Een aparte vermelding verdient het getal 0. Door 0 kun je en mag je niet delen! Wat zou dat ook kunnen betekenen? De uitkomst zou altijd oneindig zijn.
Delen met negatieve getallen
[bewerken]Je kunt zowel met positieve als met negatieve getallen delen. Net als bij Vermenigvuldigen met negatieve getallen moet je tellen hoeveel negatieve getallen (getallen met min-tekens) bij de berekening zijn betrokken:
- Als het aantal negatieve getallen oneven is, is de uitkomst negatief.
- Als het aantal negatieve getallen even is, is de uitkomst positief.
Bijvoorbeeld:
-54 : 6 = -9 -54 : -6 = 9
Een beetje wiskunde
[bewerken]Rekenen is onderdeel van de wiskunde. Wiskunde is de wetenschap die getallen bestudeert. In de wiskunde probeert men patronen en abstracte structuren van getallen en bewerkingen met getallen te ontdekken, zoals rekenen. Die worden vastgelegd in formules en in wetten. Met behulp van die formules of wetten kunnen in allerlei situaties gemakkelijk en snel oplossingen worden gevonden. Je hoeft dan niet elke keer weer opnieuw zelf "het wiel uit te vinden" (wat veel tijd kost), maar je kunt zo'n formule of wet toepassen.
Formule voor delen
[bewerken]In de wiskunde worden veel formules gebruikt, met letters in plaats van cijfers, en met andere tekens. Elke letter heeft een andere betekenis. Op de plaats van de letters kunnen cijfers worden ingevuld, elke keer andere. Voor het delen bijvoorbeeld:
|
Hierin is:
|
Een voorbeeld: 57 = 8 * 7 + 1
We weten van deeltafels dat 56/8 gelijk is aan 7 en dat 56 + 1 gelijk is aan 57
De formule kunnen we ook anders schrijven:
D : d = q + r 57 : 8 = 7 + 1
Het is maar net waar je naar op zoek bent, welke volgorde van de formule je gebruikt.
Wetten over deelbaarheid
[bewerken]Naast formules worden er wetten in de wiskunde geformuleerd. Zo'n wet heeft niets met gewone wetten te maken, die in het recht worden gebruikt. Eigenlijk zou een wiskundige wet geen wet, maar een "wetmatigheid" moeten heten. Een wetenschappelijke "wet" is namelijk een uitspraak die een regelmaat of een verband beschrijft die universeel geldig is. Zo'n wet komt tot stand nadat de uitkomst ervan vele malen is vastgesteld, via waarnemingen en/of experimenten. Ook voor het delen bestaan zulke wetten (of eigenlijk zijn de eerste drie gevallen meer definities):
- Opgaande en niet opgaande deling
- Een opgaande deling is een deling waarbij de rest gelijk is aan 0, een niet-opgaande deling is een deling waarbij de rest niet gelijk is aan 0.
- Deelbaarheid
We zeggen dat een geheel getal deelbaar is door een ander geheel getal, als het resultaat van de deling weer een geheel getal is, dus als er geen rest is. De officiële formulering is:
- Een getal is deelbaar door een ander getal als en slechts als de deling van dat getal door het andere getal een opgaande deling is. We noemen het andere getal ook wel een deler van het eerste getal
- Veelvoud
- Een getal is een veelvoud van een bepaald getal als en slechts als dat getal het product is van dat bepaald getal met elk ander getal.
- Deelbaarheid per cijfer
Voor een aantal delers is snel te zien of een geheel getal deelbaar is door die deler. Deze "wetten" zijn de uitkomsten van heel vaak proberen geweest, waarbij de uitkomst nooit iets anders was, met welk getal je dat ook berekende.
- Deler 1
Elk geheel getal is deelbaar door 1, bijvoorbeeld 259 : 1 = 259
- Deler 2
Een geheel getal is deelbaar door 2 als het een even getal is, dus eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8.
Bijvoorbeeld 596 eindigt op 6, dus is 596 deelbaar door 2; 596 : 2 = 298.
- Deler 3
Een geheel getal is deelbaar door 3, als de som van de cijfers door 3 deelbaar is.
Bijvoorbeeld 4164 heeft als som van de cijfers 4 + 1 + 6 + 4 = 15. Omdat 15 deelbaar is door 3, weten we dat 4164 ook deelbaar door 3 is; 4164 : 3 = 1388.
- Deler 5
Een geheel getal is deelbaar door 5, als het eindigt op 0 of 5.
Voorbeeld: 3165 eindigt op 5 en is daarom deelbaar door 5; 3165 : 5 = 633.
- Deler 9
Een geheel getal is deelbaar door 9, als de som van de cijfers deelbaar is door 9.
Voorbeeld: 5274 heeft als som van de cijfers 5 + 2 + 7 + 4 = 18. Omdat 18 deelbaar is door 9, is ook 5274 deelbaar door 9; 5274 : 9 = 586.
- Deler 10
Een geheel getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.
Voorbeeld: 7530 eindigt op 0 en is dus deelbaar door 10; 7530 : 10 = 753.
- Deler 11
Of een geheel getal deelbaar is door 11, is als volgt te bepalen. Bereken de som van de cijfers die op de oneven plaatsen staan, bereken ook de som van de cijfers die op de even plaatsen staan. Trek beide getallen van elkaar af. Als het verschil deelbaar is door 11, dus het verschil is 0 of 11 of 22 of 33 of 44 of ….., dan is het oorspronkelijke getal deelbaar door 11.
Voorbeeld: 91674. We berekenen 9 + 6 + 4 = 19 en we berekenen 1 + 7 = 8. Het verschil is 19 - 8 = 11, dus deelbaar door 11. Daarom is ook 91674 deelbaar door 11, en wel is 91674 : 11 = 8334.