Twee variabelen, balpennen en potloden

In de inleiding heb je gezien dat er minstens twee verschillende manieren zijn om vergelijkingen met meer onbekenden op te lossen. De verschillen zaten voor een deel in de aard van de gegevens. Om voor elke soort gegevens een eigen manier te bedenken om het probleem op te lossen is niet zo handig. Aan de andere kant was het wel zo dat de oplossingen voor een deel ook makkelijk te vinden waren door de keuze van de getallen. In de wiskunde wordt gezocht naar algemene methoden die altijd werken met elk soort gegevens en zeker niet afhankelijk zijn van de toevallig gebruikte getallen.
In de late jaren 1400 was het in Italië gebruikelijk om wedstrijden te houden tussen wiskundigen. Twee professoren gaven elkaar problemen op, wie het eerst het probleem van de ander wist op te lossen was de winnaar. In die tijd was al bekend hoe de onbekende in een vergelijking kon vinden, maar twee vergelijkingen met twee verschillende onbekenden was nog een raadsel. In een van de wedstrijden bedacht iemand: ik doe gewoon alsof ik een onbekende al weet.

Doen alsof

Van verhaal naar wiskunde

Hieronder staat het probleem van de balpennen en potloden nog een keer:

Een voorbeeld kun je je misschien nog herinneren van de basisschool: Elsje koopt 5 balpennen en 4 potloden en betaald € 1,15. Jantje koopt 2 balpennen en 8 potloden en moet € 1,10 betalen. Wat is de prijs van één balpen en wat is de prijs van één potlood?

Voor de wiskundige is het niet belangrijk wie de aankoop gedaan heeft en of het in euro's, dollars of (Engelse) ponden wordt afgerekend is ook niet interessant. Alleen de getallen zijn belangrijk. Bovendien is een wiskundige nogal lui. Elke keer voluit balpen of potlood schrijven leidt maar tot kramp in je handen. De letter "p" is voldoende voor "potlood" en "b" voor balpen is ook wel duidelijk. De wiskundige noteert de aankoop van Elsje als:

5b\ +\ 4p\ =\ 1,15

Verg.1

Wiskundig noteren

Op dezelfde manier wordt de aankoop van Jantje vertaald:

2b\ +\ 8p\ =\ 1{,}10

Verg.2

In vergelijking 1 gaan je nu doen alsof je de waarde van de potloden (p) al weet. Bij het isoleren gaat p dus ook naar de rechter kant van de vergelijking:

5b\ =\ 1{,}15\ -\ 4p

Verg. 3

Doen alsof

Alleen de 5 moet nu nog naar de rechter kant:

b\ =\ {\frac {1{,}15\ -\ 4p}{5}}

Verg. 4

Gedaan alsof

Omdat de waarde die je voor de balpennen gevonden hebt ook in vergelijking 2 moet gelden kun je voor de "p" in die vergelijking vergelijking 4 invullen:

2\times \left({\frac {1{,}15\ -\ 4p}{5}}\right)\ +\ 8p\ =\ 1{,}10

Verg. 5

Eerst haken wegwerken

{\frac {2{,}30\ -\ 8p}{5}}\ +\ 8p\ =\ 1{,}10

Verg. 6

Breuken gelijknamig maken en optellen. Bedenk dat je "8p" ook kunt schrijven als "8p/1":

{\frac {2{,}30\ -\ 8p}{5}}\ +\ {\frac {40p}{5}}\ =\ 1{,}10\ \Longrightarrow \ {\frac {2{,}30\ -\ 8p\ +\ 40p}{5}}=1{,}10\ \Longrightarrow

\Longrightarrow \ {\frac {2{,}30\ +\ 32p}{5}}=1{,}10

Verg. 7

De factor 5 kan nu naar rechts, gevolgd door de 2,30:

2{,}30\ +\ 32p=5{,}50\ \Longrightarrow \ 32p\ =\ 5{,}50\ -\ 2{,}30\ =\ 3{,}20\ \Longrightarrow \ p\ =\ {\frac {3{,}20}{32}}\ =\ 0{,}10

Verg. 8

De waarde voor p in vergelijking 8 kan nu in vergelijking 1 of 2 worden ingevuld, waarna de waarde voor de balpennen "b" berekend kan worden: (met vergelijking 1):

5b\ +\ 4\times 0{,}10\ =\ 1,15

5b\ +0{,}40\ =\ 1{,}15\Longrightarrow \ 5b\ =\ 1{,}15\ -\ 0{.}40\ =\ 0{,}75\ \Longrightarrow b\ =\ {\frac {0{,}75}{5}}\ =\ 0{,}15

Verg. 9

Wiskunde klaar

Na de wiskunde moet je uiteraard nog even netjes antwoord geven op de vraag:

Antwoord: Een potlood kost € 0,10, voor een balpen moet je € 0,15 betalen.

Uiteraard wijkt het antwoord niet af van het antwoord dat in de inleiding is gevonden. Het is wel een voorbeeld op welke manier in de wiskunde met dit soort problemen wordt omgegaan.

Antwoord